1. Variables aleatorias bivariadas y multivariadas Definición: Sean

1.
Variables aleatorias bivariadas y multivariadas
Definición: Sean Y1 y Y2 dos variables aleatorias discretas, la distribución de
probabilidad conjunta de Y1 y Y2 está dada por:
p(y1 , y2 ) = P (Y1 = y1 , Y2 = y2 )
con −∞ < y1 < ∞ y −∞ < y2 < ∞.
A p(y1 , y2 ) le daremos el nombre de función de probabilidad conjunta.
Teorema: Si Y1 y Y2 son variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta p(y1 , y2 ), entonces
1. p(y
P 1 , y2 ) ≥ 0 para todo y1 y y2 .
2.
y1 ,y2 p(y1 , y2 ) = 1.
Definición: La función de distribución conjunta F (y1 , y2 ) de dos variables aleatorias cualesquiera Y1 y Y2 está dada por
F (y1 , y2 ) = P (Y1 ≤ y1 , Y2 ≤ y2 )
con −∞ < y1 < ∞ y −∞ < y2 < ∞.
Definición: Sean Y1 y Y2 variables aleatorias continuasa con función de distribución conjunta F (y1 , y2 ). Si existe una función no negativa f (y1 , y2 ) tal que
Z
y1
Z
y2
F (y1 , y2 ) =
f (t1 , t2 )dt1 dt2
−∞
−∞
entonces f (y1 , y2 ) recibirá el nombre de función de densidad conjunta para Y1 y
Y2 .
Teorema: Si Y1 y Y2 son variables aleatorias con función de distribución conjunta F (y1 , y2 ), entonces
1. F (−∞, −∞) = F (−∞, y2 ) = F (y1 , −∞) = 0.
2. F (∞, ∞) = 1.
3. Si y1∗ ≥ y1 y y2∗ ≥ y2 , entonces
F (y1∗ , y2∗ ) − F (y1∗ , y2 ) − F (y1 , y2∗ ) + F (y1 , y2 ) ≥ 0.
Teorema: Si Y1 y Y2 son variable aleatorias continuas con función de densidad
conjunta f (y1 , y2 ), entonces
1. Rf (y1 ,Ry2 ) ≥ 0 para todo y1 y y2 .
∞
∞
2. −∞ −∞ f (y1 , y2 )dy1 dy2 = 1.
1
2
Ejemplo. A continuación se muestra la función de probabilidad conjunta asociada a los datos obtenidos en un estudio sobre los accidentes de automóvil en los
que viajaba un niño menor a cinco años.
Y1 =

 0
1
Y2 =

2
,
,
,
0
1
,
,
si el niño sobrevive
si el niño no sobrevive
si el niño no usaba cinturon de seguridad
si el niño usaba cinturon de seguridad de adulto
si el niño usaba cinturon de seguridad del asiento de bebé
La distribución de probabilidad es:
y2
0
1
2
y1
0
0.38
0.14
0.24
0.76
1
0.17
0.02
0.05
0.24
0.55
0.16
0.29
1.00
Calcule
a F (1, 2).
b P (Y1 = 0, Y2 ≥ 1).
c P (Y1 = 1, Y2 = 0).
Solución.
a)
F (1, 2) = P (Y1 ≤ 1, Y2 ≤ 2) = 1.¿Por qué?
b)
P (Y1 = 0, Y2 ≥ 1) = p(0, 1) + p(0, 2) = 0,14 + 0,24 = 0,38.
c)
P (Y1 = 1, Y2 = 0) = p(1, 0) = 0,17.
Ejemplo. La densidad conjunta de
Y1 el nivel de gasolina que alcanza el tanque cuando se abastece a principios de
semana
Y2 la proporción de combustible que se vende durante la semana
3
viene dada por
f (y1 , y2 ) =
, 0 ≤ y2 ≤ y1 ≤ 1
, en cualquier otro punto
3y1
0
Calcule F (1/2, 1/3) y P (Y2 ≤
Y1
2 ).
Solución.
Z 1/3 Z 1/2
3y1 dy1 dy2
F (1/2, 1/3) = P (Y1 ≤ 1/2, Y2 ≤ 1/3) =
y2
0
#
Z 1/3 "Z 1/2
Z 1/3 3 3 2
3y1 dy1 dy2 =
=
− y2 dy2
8 2
0
y2
0
= 0,1065.
Por otro lado
Y1
)=
P (Y2 ≤
2
Z
1
Z
y1
2
Z
3y1 dy2 dy1 =
0
Z
0
1
=
0
y1
3y1 [y2 ]02
0
3 2
1
y dy1 = .
2 1
2
1