Práctico 8 - Eva - Universidad de la República

Licenciatura en Fı́sica
Probabilidad y Estadı́stica Aplicada
Curso 2015
Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Práctico 8
1. Dados dos números, k ∈ N y a ∈ R, se define X una variable aleatoria tal que su función
de densidad está dada por:
k
bx
si
0≤x≤a
fX (x) =
0
en otro caso.
donde b es una constante (decimos que X tiene distribución P ol(k, a)).
a) Calcular b en función de a y k.
b) Calcular la mediana de la variable X en función de a y k.
c) Calcular E(X) como función de a y k.
2. Sea X una variable aleatoria con función de densidad fX (x) = kx + 1/2, para todo x ∈
[−1, 1].
a) Determinar los valores de k para los cuales fX (x) es ciertamente una función de
densidad.
b) Calcular la esperanza.
c) ¿Para qué valores de k se minimiza la varianza de X?
3. Sea L2 (Ω) el conjunto de las variables aleatorias tales que EX 2 < ∞.
a) Demostrar que [X, Y ] = cov(X, Y ) es un producto interno.
b) Deducir V ar(X + Y ) ≤ 2 V ar(X) + V ar(Y ) .
4. Sean X e Y variables aleatorias tales que E(X) = 1, E(Y ) = 2, V ar(X) = 1 y V ar(Y ) = 4.
Sea Z = 3X − Y + 9. Hallar E(Z) y V ar(Z) en cada uno de los siguientes casos:
a) X e Y son independientes;
b) X e Y son no correlacionadas;
c) El coeficiente de correlación ρ(X, Y ) = 0,6.
5.
a) Probar que si X e Y son variables aleatorias independientes entonces cov(X, Y ) =
ρ(X, Y ) = 0.
b) Mostrar con un ejemplo que el recı́proco no es cierto en general.
(Sugerencia: Sean U y V dos variables aleatorias independientes pero con la misma distribución. Considerar X = U + V e Y = U − V ).
6. Sean X e Y variables aleatorias tales que E(X) = 0, E(Y ) = 0, V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 1
y ρ(X, Y ) = r. Calcular V ar(X − rY ) y el coeficiente de correlación entre X − rY e Y .
7. Sea pX,Y la siguiente densidad:
1
3 (x + y)
pX,Y (x, y) =
0
si
en otro caso.
Calcular E(X) y E(Y ).
1
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
8. Sea fX,Y la siguiente densidad:
fX,Y (x, y) =
kxy
0
si
en otro caso.
0≤x≤y≤1
a) Hallar k.
b) Hallar la esperanza y varianza de X y de Y y la covarianza entre X e Y .
9. Una partı́cula se mueve aleatoriamente en un plano, dando saltos independientes de largo
a. Si comienza desde el origen, designamos por (Xn , Yn ) la posición de la partı́cula luego
de n movimientos, donde
Xn =
n
X
a cos φk
Yn =
k=1
n
X
a sen φk .
k=1
Los ángulos φk son variables aleatorias independientes, con distribución uniforme en el
intervalo [0, 2π].
a) Calcular E(Xn ), E(Yn ), V ar(Xn ) y V ar(Yn ).
b) Demostrar que X1 e Y1 son no correlacionados (su correlación es nula) y sin embargo
no son independientes.
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