x - departamento de curso basico

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA INDUSTRIAL
DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO
EL CÁLCULO SUPERIOR
EN EL ENTORNO MATLAB
• APLICACIONES AL CALCULO DIFERENCIAL
o FUNCIONES
o LIMITES
o DERIVACION
o MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES
o SUMAS DE RIEMANN
o INTEGRACION
o APLICACIONES DE LA INTEGRAL
o SERIES
Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta
®
MATLAB Marca registrada por The MathWorks, Inc.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON MATLAB
Una función es una relación entre dos variables en
la cual a cada valor de la variable independiente le
corresponde siempre un único valor de la variable
dependiente. Por lo tanto, se dice que una relación
es una función cuando de cada elemento de su
dominio sale una y solo una flecha hacia algún
elemento del codominio o conjunto imagen. Es
decir cuando cada elemento del dominio está
relacionado una y solo una vez, con algún elemento
del codominio.
Una función
f : A→ B
Es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del conjunto B. Para
nosotros, A y B, serán, en general, conjuntos numéricos.
Para reconocer que una relación no es función alcanza con observar si un mismo elemento del
dominio se relaciona con dos o más elementos del codominio o conjunto imagen, por ejemplo:
Dominio de una función
El dominio de una función son todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados
con algún elemento del conjunto de llegada. Es decir son todos los elementos del conjunto de partida
de los cuales sale una flecha. A éstos elementos se los pueden llamar preimagenes y se los designa
con la letra x Recordemos que el conjunto de partida se representa gráficamente como el eje
horizontal (eje x ). Otra forma de definir el dominio de una función es decir que es el conjunto de
puntos o elementos de A para los que la función existe, en símbolos se expresa dom f = A .
Rango o imagen de una función
El rango o imagen de una función son todos los elementos del conjunto de llegada que están
relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Es decir son todos los elementos del
conjunto de llegada que reciben una o más de una flecha. A éstos elementos se los puede llamar
imágenes y se los designa con la letra y. Al conjunto de llegada se lo representa gráficamente como
el eje vertical y se lo suele llamar eje y .
Representación de una función
Las funciones se pueden representar de diversas maneras:
Por medio de un gráfico, el gráfico de una función f : A → B como el
conjunto de pares ordenados
( x, y )
, donde x es un elemento del
dominio e y es un elemento del codominio de la función.
En la representación gráfica el dominio se encuentra sobre el eje
horizontal y el codominio e conjunto imagen se encuentra sobre el eje
vertical
Mediante una tabla de valores. En las tablas de valores tenemos el listado de todos los pares
ordenados ( x, y ) que se relacionan.
HORA
0
TEMPERATURA 9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
8.5
8
7
5.5
6
8
12
12
6
4.4
4
La tabla representada contiene las temperaturas registradas durante un día. En la mayoría de los
casos las tablas sólo aportan una información parcial sobre la función.
Por medio de una fórmula que relaciona la variable dependiente (habitualmente la expresamos con la
letra y ) con la variable independiente (habitualmente la expresamos con la letra x ). El volumen V de
un cubo cuya arista mide x metros es igual a:
V ( x ) = x3
Mediante la descripción detallada del comportamiento de cierta variable con respecto de otra variable.
Por ejemplo: “Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la temperatura bajó con
rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba a 60ºC. Luego fue enfriándose con más lentitud. A los
20 minutos después de haberla sacado estaba a 30ºC, temperatura de la cual no bajó pues era la
temperatura que había en la cocina.” La temperatura del agua a lo largo del tiempo es una función.
Funciones pares
Una función f es par si para todo valor del dominio se verifica que: f ( x ) = f ( − x ) , es decir
imágenes iguales de preimágenes opuestas. Geométricamente la representación gráfica de las
funciones pares nos da funciones simétricas a sí misma respecto del eje de ordenadas (eje y ), sería
una simetría axial con respecto al eje y
Funciones impares
Una función
f
es impar si para todo valor del dominio se verifica que:
f (−x) = − f ( x) .
Geométricamente la representación gráfica de las funciones impares nos da funciones simétricas a si
misma respecto del punto de intersección de los ejes de coordenadas, sería una simetría central
respecto del origen (0,0). Simplificando podemos decir que una función es impar cuando elementos
opuestos del dominio se relacionan con elementos opuestos del codominio.
Toda función puede ser representada como una suma de sus componentes par e impar donde:
f par =
1
⎡ f ( x ) + f ( − x ) ⎤⎦ ∧
2⎣
fimpar =
1
⎡ f ( x ) − f ( − x ) ⎤⎦
2⎣
Propiedades
par
∧
par
=
impar
∧
par
= impar
impar
∧ impar
=
par
par
Composición de funciones
Dadas dos funciones f y g , la composición g o f = g ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦
es la función que le asigna a cada x el resultado de aplicar g
f ( x ) . Para que esta secuencia pueda realizarse, se
necesita que f esté definida en x y que g esté definida en
[ f ] f ( x ) . La función compuesta de g con f es la función
a
f o g = f ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ . Es decir que a un elemento del dominio de la
función g le aplicamos el vínculo de dicha función, obteniendo
g ( x ) . A continuación a g ( x ) le aplicamos el vínculo de la
función f y obtenemos f ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ :
Tenemos que tener en cuenta que se aplica primero la función
g y luego la función f . Por lo tanto, podemos verificar que
f o g y g o f son funciones diferentes. La condición que debe
darse para que exista función compuesta es que las imágenes
de la primera función pertenezcan al dominio de la segunda
componente, es decir, el conjunto imagen de la primer función
debe estar incluido o ser igual al dominio de la segunda
función.
El dominio máximo de g o f no coincide, en general, con el dominio máximo de f: tenemos la
relación Dom( g o f ) ⊆ Dom( f )
Luego:
•
•
El dominio máximo de g o f es x ∈ Dom( f ) I f ∈ Dom( g )
El dominio máximo de f o g es x ∈ Dom( g ) I g ∈ Dom( f )
Propiedades de la composición de funciones
•
•
•
•
•
Asociativa: h o ( g o f ) = (h o g ) o f
Conmutativa: No se verifica como puede verse en los ejemplos anteriores. g o f ≠ f o g
Si f es una función cualquiera, se verifica que f o I = I o f = f
( f + g ) o h = ( f o h) + ( g o h)
( f ⋅ g ) o h = ( f o h) ⋅ ( g o h)
Función inversa o recíproca
Dada una función f : A → B , donde A es el dominio y
B es el conjunto imagen. La inversa de dicha función
se obtiene cambiando el dominio por el conjunto
imagen (codominio) y se expresa como:
f −1 : B → A
Pero también se debe obtener el nuevo vínculo, que
se calcula despejando la variable independiente:
y = f ( x) = 2x + 1 ⇒
y −1
=x ⇒
2
f −1 ( x ) =
La representación gráfica de dos funciones inversas nos da gráficos
simétricos respecto de la recta y = x
Propiedades de la función inversa
•
•
f −1 o f = f o f −1 = I = X
( f o g )−1 = ( g −1 o f −1 )
1
1
x−
2
2
Funciones Especiales
Función Valor absoluto
Función signo
Función parte entera
⎧x x ≥ 0
y= x =⎨
⎩− x x < 0
Domf
x ∈ IR
Rngf
y ∈ [ 0, ∞[
⎧1 x > 0
⎪
y = sgn ( x ) = ⎨0 x = 0
⎪−1 x < 0
⎩
y = x = k ∧ k ≤ x < k +1
Domf
x ∈ IR
Rngf
y ∈ {−1, 0,1}
Domf x ∈ IR
Rngf y ∈ Z
COMANDOS MADLAB
ue
COMANDO
>> clc
>> clear all
>> symvar(S)
>> findsym(S)
>> ezplot(S)
>> ezplot(S,[xmin,xmax])
>> collect(S)
>> collect(S, ‘v’)
>> expand(S)
>> factor(S)
>> simple(S)
>> symplify(S)
>> pretty(S)
>> subs(S, old, new)
>> compose(F,G)
>> finverse(F)
ACLARACION
limpia la ventana de comandos de Matlab
borra todas las variables y funciones del espacio de trabajo de Matlab
respectivamente.
Devuelve la variable independiente de la expresión simbólica S.
Genera una gráfica de S, donde se supone que S es una expresión
de una variable; la variable independiente suele variar entre –2 y 2 .
Genera una gráfica de S, donde se supone que S es una expresión
de una variable; la variable independiente suele variar entre xmin y
xmax.
Agrupa términos semejantes de S
Agrupa términos semejantes de S respecto a la variable
independiente ‘v’
Realiza una expansión de S
Intenta factorizar S
Simplifica la forma de s a una forma más corta, si es posible.
Simplifica usando las reglas de simplificación de Maple
Exhibe S en una salida que semeja la tipografía usada en
matemáticas.
Substitución simbólica en una expresión o matriz simbólica
Halla la funcion compuesta de G con F o viceversa
Halla la funcion inversa de F
Graficar las siguientes funciones en el entorno simbólico:
f( x) = x
y=
>> syms x y
>> y=x*((2^x-1)/(2^x+1))
>> ezplot(y)
>> grid on
2x −1
2x + 1
x+2
4 − x2
(
+ In x3 − x
)
>> syms x y
>> ezplot((x+2)/(4-x^2)+log(x^3-x))
>> grid on
>> axis([-2 6 -6 10])
x 2 y + xy − 2 y − 2 = 0
>> syms x y
>> x^2*y+x*y-2*y-2
ans =
x^2*y+x*y-2*y-2
>> ezplot(ans)
>> grid on
x2 y 2 − x2 − y = 0
>> syms x y
>> x^2*y^2-x^2-4*y^2+1
ans =
x^2*y^2-x^2-4*y^2+1
>> ezplot(ans)
>> grid on
y = 2 cos ( 2 x ) + 1
>> syms x y
>> f=abs(2*cos(2*x)+1);
>> ezplot(f)
>> grid on
Graficar las siguientes funciones en el entorno numérico:
>> x=linspace(0,3,200);
1
y=
>> plot(x,1./(x-1).^2)
( x − 1)2
>> ylim([-2 100]), box off
>> grid on
y=
>> x=linspace(-4,4,111);
>> y = 1./x;
>> plot(x, y,'k','linewidth',2)
>> axis([-4 4 -10 10])
>> grid on
1
x
Se obtiene
gráfico con :
el
y = sen ( x ) − cos
mismo >> x = -4:0.1:4;
(
2x
)
>> plot(x', y)
>> plot(x, y')
>> plot(x', y')
>> ylim([-10 10]), box off
>> grid on
>> x=-2*pi:.1:2*pi;
>> y=sin(x)-cos(sqrt(2)*x);
>> plot(x,y,'k','linewidth',2)
>> axis light
>> grid on
>> xlabel('eje x')
>> ylabel('eje y')
y = e − x sen ( x )
>> x=0:0.01:5;
>> y=sin(x.*exp(-x.^2));
>> plot(x, y,'k','linewidth',2)
>> ylim([-0.1 0.5]), box off
>> grid on
Genere un vector de
tiempos uniforme desde
t=0 hasta t=1, de 1000
muestras. Construya una
función seno de amplitud
1 y frecuencia 5Hz, una
función
exponencial
decreciente
con
constante de tiempo igual
a 100ms las dos sobre
esa base. Genere una
tercera función producto
de las dos anteriores
>> Tinicial=0;
>> Tfinal=1;
>> Npoints=1000;
>> step=(Tfinal-Tinicial)/Npoints;
>> t=Tinicial:step:Tfinal-step;
>> y1=1*sin(5*2*pi*t);
>> tau=200e-3;
>> y2=exp(-t/tau);
>> y3=y2.*y1;
>> plot(t,y1,t,y2,t,y3)
>> xlabel('Tiempo'),
>> ylabel('Tension')
>> grid on
2
Graficar las siguientes funciones dadas en forma implicita:
>> syms x y
( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 5
>> f='(x-2)^2+(y-3)^2-5';
>> ezplot(f,[-1,5,0,6])
>> grid on
⎛x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝2⎠ ⎝ 5⎠
>> syms x y
>> z=(x/2).^2+(y/5).^2-1;
>> ezplot(z)
>> grid on
x2 y2
+
=1
9
4
>> x=-3:0.1:3;
>> y1=sqrt(4-4/9*x.^2);
>> y2=-sqrt(4-4/9*x.^2);
>> plot(x,y1)
>> hold on
>> plot(x,y2)
>> axis equal
>> grid on
2
2
Para esto:
y = ± 4−
4 2
x
9
x 2 + 2 y 2 + xy = 9
>> syms x y
>> ezplot('x^2+2*y^2+x*y-9 ');
>> grid on
Usando Matlab, podemos
observar esa curva, a
través de los comandos
meshgrid y contour en la
forma
>> x = linspace(-6,6,150);
>> y = linspace(-6,6,150);
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> Z=X.^2+2*Y.^2+X.*Y;
>> contour(X,Y,Z,[9 9]);
Esta curva también puede representarse como una curva de nivel (o contorno de nivel) de
f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 + xy , cuando f ( x, y ) = 9 . Es decir, una rebanada de la superficie f(x, y).
Aquí aparecen dos instrucciones nuevas. Por una parte mesgrid nos permite llenar dos matrices X y
Y como copias de los vectores x y y , y con esto, generamos sobre el cuadrado [−6, 6]×[−6, 6] una
colección de nodos o puntos interiores sobre los cuales evaluamos la función.
Por otra parte, esta la instrucción contour esta nos permite “rebanar” a la superficie f ( x, y ) = a la
altura z = 9 .
Hallar el rango de las siguientes funciones
( (
y = sen log x − x + 1
))
>> syms x y
>> y=sin(log(x-sqrt(x+1)))
>> axis([1.3 6 -1.2 1.3])
>> grid on
>> ezplot(y)
Rpta : y ∈ [ −1,1]
y=
4 x2 − 1
2x +1
>> syms x y
>> y=(4*x^2-1)/abs(2*x+1)
>> ezplot(y)
>> grid on
Rpta : y ∈ [ −2, ∞ ]
y=
x2
2 x2 + x + 1
>> syms x y
>> y=(x^2)/(2*x^2+x+1)
>> ezplot(y)
>> grid on
⎡ 4⎤
Rpta : y ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 7⎦
y = sen ⎛⎜ x 2 + x ⎞⎟ + 1
⎝
⎠
>> syms x y
>> y=abs(sin(sqrt(x^2+x)))+1
>> ezplot(y)
>> grid on
Rpta : y ∈ [1, 2]
y = cos ( x ) + sen x
Rpta : y ∈ ⎡⎣ −1, 2 ⎤⎦
>> syms x y
>> y=abs(cos(x))+sin(abs(x))
>> ezplot(y)
>> grid on
Graficar las siguientes funciones por tramos, explicitando los dominios cerrados y abiertos
Hay varias por mas de graficar una función por tramos, aquí vemos algunas.
⎧⎪ sen ( x ) sen ( x ) ≥ 0
y=⎨
sen ( x ) < 0
⎪⎩0
>> x=0:(6*pi/1000):6*pi;
>> y=sin(x);
>> y=y.*(y>0);
>> plot(x,y);
>> xlabel('eje x');
>> ylabel('eje y');
>> grid on
>> axis([0,6*pi,-0.4,1.2])
⎧ 2 + sen ( x ) − 10 ≤ x ≤ −5
⎪
⎪
−5< x < 2
y = ⎨e x
⎪
2
2 ≤ x ≤ 10
⎪⎩ In x + 1
>> x=-10:.1:-5;
>> y=2+sin(x);
>> z=-5:.1:2;
>> t=exp(z);
>> u=2:.1:10;
>> v=log(u.^2+1);
>> plot(x,y,z,t,u,v)
>> ylim([-0.5 8])
>> xlim([-11 11])
>> grid on
>> xlabel('x'), ylabel('f(x)')
(
⎧ x2
⎪
f( x ) = ⎨1
⎪2 − x
⎩
)
x<0
0 ≤ x <1
x ≥1
>> x=-2:0.01:3;
>> linspace(-2,3,3000);
>> y=(x.^2).*(x<0)+1.*((0<=x)&(x<1))+(-x+2).*(1<=x);
>> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función definida a trozos')
>> hold on
>> plot(0,1,'bo','linewidth',6)
>> plot(1,1,'bo','linewidth',6)
>> plot(0,0,'co','linewidth',6)
⎧0
x<0
⎪
⎪
f( x ) = ⎨ 3 x 2 − 6 0 ≤ x ≤ 4
2
⎪
x>4
⎪⎩ 32 x
>> x=-5:0.01:5;
>> linspace(-5,5,5000);
>> y=(1).*(x<0)+(3/2*x.^2-6).*((0<=x)&(x<4))+(6).*(4<=x);
>> plot(x,y, '.')
>> grid on
>> hold on
>> plot(0,1,'co', 0,-6,'bo', 4,18,'bo', 4,6,'co','linewidth',3.2)
Gg
Graficar las siguientes funciones especiales
Para graficar, primero generamos una tabla de valores en el dominio que queremos dibujar la función.
Aquí se esta definiendo el limite inferior en cualquier valor menor a cero (etc., -100,-20,-2) y el limite
superior en cualquier valor mayor que uno (3, 20, 100, etc).
Ahora definimos la función, multiplicando cada trozo por el índice lógico que describa el lugar donde
queremos dibujarlo y dibujamos
f( x) = x
>> x=-5:0.01:5;
>> linspace(-5,5,5000);
>> y=(-x).*((-5<=x)&(x<0))+(x).*((0<=x)&(x<=5));
>> plot(x,y,'.'),grid on,title('Función valor absoluto')
f ( x ) = sgn ( x )
>> x=-5:0.01:5;
>> linspace(-5,5,5000);
>> y1=(-1).*((-5<=x)&(x<0))+(0).*(0==x)+(1).*((0<x)&(x<=5));
>> plot(x,y1,'.'),grid on,title('Funcion signo')
>> hold on
>> plot(0,-1,'co',0,1,'co',0,0,'bo','linewidth',3.5)
>> axis('equal')
>> x=-2:0.01:3;
>> linspace(-2,2,2000);
>> y=(-2).*(( -2 <=x)&(x<-1))+(-1).*((-1<=x)&(x<0))+(0).*((0<=x)&(x<1))+…
f( x) = x
(1).*((1<=x)&(x<2))+(2).*((2<=x)&(x<3))+(3).*(x==3);
>> plot(x,y,'.')
>> grid on
>> title('Función parte entera')
>> axis on
>> xlim([-3 3]), box off
>> ylim([-2.1 3.1]), box off
>> hold on
>> plot(-2,-2,'bo', -1,-1,'bo', 0,0,'bo', 1,1,'bo', 2,2,'bo', 3,3,'bo','linewidth',2.7)
Para la parte entera seleccionamos un dominio, en nuestro caso
[ −2, 3]
y en este dominio
desarrollamos la parte entera según su definición:
y= x =k
∧ k ≤ x < k +1 ⇒
⎧−2 −2 ≤ x < −1
⎪ −1 −1 ≤ x < 0
⎪
⎪0
0 ≤ x <1
y= x =⎨
1≤ x < 2
⎪1
⎪2
2≤ x<2
⎪
x=3
⎩3
Gráficamente:
2
Calcular la función inversa de f ( x) = x − 4
La función cuadrática no es inyectiva, pero si descomponemos
su dominio en dos trozos separados por el vértice de la parábola:
⎧⎪ f1 ( x) = x 2 − 4
f ( x) = x − 4 = ⎨
⎪⎩ f 2 ( x) = x 2 − 4
2
si
x<0
si
x≥0
en cada uno de ellos, la función si es inyectiva y podremos
calcular su inversa:
y = x2 − 4
⇒
x = y2 − 4
⇒
y =± x+4
y, hablando con mayor propiedad, la inversa será:
f1−1 ( x) = − x + 4 ⎫⎪
⎬ si x ≥ 4
f 2−1 ( x) = + x + 4 ⎪⎭
El código Matlab para esto es:
>> syms x y;
>> f=x^2-4;
>> h=finverse(f);
>> subplot(311)
>> ezplot(f);
>> grid on
>> axis ([-4 4 -5 6])
>> subplot(312)
>> ezplot(h)
>> axis ([-5 6 -1 4])
>> grid on
>> subplot(313)
>> ezplot(f,[0,6])
>> hold on
>> ezplot (h)
>> ezplot(y-x)
>> grid on
>> axis ([-5 6 -5 6])
>> pretty(h)
retty(h)
Warning: finverse(x^2-4) is not unique.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
1/2
(4 + x)
;
Encontrar la función inversa de f ( x) = x − 6 x + 4.
2
Gráficamente:
El vértice de la parábola es el punto de abscisa x = 3 que será
el que nos descompone el dominio en trozos de forma que en
cada uno de ellos la función es inyectiva:
⎧⎪ f1 ( x) = x 2 − 6 x + 4
f ( x) = x − 6 x + 4 = ⎨
⎪⎩ f 2 ( x) = x 2 − 6 x + 4
2
si x < 3
si x ≥ 3
Calculamos su inversa:
y = x2 − 6x + 4 ⇒ x = y 2 − 6 y + 4 ⇒ y2 − 6 y + (4 − x) = 0
y, despejando:
y=
6 ± 36 − 4(4 − x) 6 ± 2 9 − (4 − x)
=
= 3± 5+ x
2
2
En consecuencia,
f1−1 ( x) = 3 − 5 + x ⎫⎪
⎬ si x ≥ −5
f 2−1 ( x) = 3 + 5 + x ⎪⎭
El comando Matlab
>> syms x y;
>> f=x^2-6*x+4;
>> h=finverse(f);
>> subplot(311)
>> ezplot(f);
>> grid on
>> axis ([-0 6 -6 8])
>> subplot(312)
>> ezplot(h)
>> axis ([-6 5 3 7])
>> grid on
>> subplot(313)
>> ezplot(f,[3,12])
>> hold on
>> ezplot (h,[-6,15])
>> ezplot(y-x,[ -6 8])
>> grid on
>> axis ([-6 8 -6 8])
>> pretty(h)
Warning: finverse(x^2-6*x+4) is not unique.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at
line 43
1/2
3 + (5 + x)
Observe el mensaje de advertencia en la salida del código Matlab, esto se debe a que las funciones
graficadas no tienen inversa única. Otras funciones tienen inversa única como las siguientes:
Hallar la inversa de las siguientes funciones
⎛ x −1 ⎞
f( x ) = 2 sen ⎜
⎟ +1
⎝ x +1⎠
>> syms x y;
>> f=2*sin((x-1)/(x+1))+1;
>> h=finverse(f);
>> subplot(311)
>> ezplot(f);
>> grid on
>> axis ([-6 6 -1.5 3.5])
>> subplot(312)
>> ezplot(h)
>> axis ([-1.5 4 -1.5 8])
>> grid on
>> subplot(313)
>> ezplot(f)
>> hold on
>> ezplot (h)
>> ezplot(y-x)
>> grid on
>> axis ([-1 3 -1.5 4])
>> pretty(h)
>> pretty(h)
1 + asin(-1/2 + 1/2 x)
- -----------------------1 + asin(-1/2 + 1/2 x)
x
−x
10 ) − (10 )
(
y=
+1
x
−x
10
+
10
( ) ( )
>> syms x y;
>> f= (10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)+1;
>> h=finverse(f);
>> subplot(311)
>> ezplot(f);
>> grid on
>> axis ([-2 2 -0.5 2.5])
>> subplot(312)
>> ezplot(h)
>> axis ([-0.5 2.5 -2 2])
>> grid on
>> subplot(313)
>> ezplot(f)
>> hold on
>> ezplot (h)
>> ezplot(y-x)
>> grid on
>> axis ([-1.5 2 -1.5 2])
>> pretty(h)
pretty(h)
x
log(- ------)
-2 + x
1/2 ------------log(10)
Componer las siguientes funciones
Si f( x ) =
x +1
3x 2 − 1
y g( x ) =
, hallar
x −1
x−3
f og
∧
go f
>> syms x
f=
>> f=(x+1)/(x-1)
(x+1)/(-1+x)
>> g=(3*x^2-1)/(x-3)
g=
>> h1=compose(g,f)
(3*x^2-1)/(x-3)
>> h2=compose(f,g)
h1 =
>> gof=simplify(h1)
(3*(x+1)^2/(-1+x)^2-1)/((x+1)/(-1+x)-3)
>> fog=simplify(h2)
h2 =
>> pretty(gof)
((3*x^2-1)/(x-3)+1)/(-1+(3*x^2-1)/(x-3))
>> pretty(fog)
gof =
-(x^2+4*x+1)/(x-2)/(-1+x)
fog =
(3*x^2-4+x)/(-x+2+3*x^2)
Dadas las funciones f ( x) =
x2
y g ( x) = 2
, calcular las funciones f o g
x +1
x( x − 1
1
>> syms x
f=
>> f=1/(x*sqrt(x-1))
1/x/(-1+x)^(1/2)
>> g=x^2/(x^2+1)
g=
>> h3=compose(f,g)
x^2/(x^2+1)
>> h4=compose(g,f)
h3 =
>> gof=simplify(h3)
1/x^2*(x^2+1)/(-1+x^2/(x^2+1))^(1/2)
>> fog=simplify(h4)
h4 =
>> pretty(gof)
1/x^2/(-1+x)/(1/x^2/(-1+x)+1)
>> pretty(fog)
gof =
∧
go f
1/x^2*(x^2+1)/(-1/(x^2+1))^(1/2)
fog =
1/(1-x^2+x^3)
También se puede utilizar la orden subs para calcular la composición de dos funciones, ya que la
variable x puede substituirse por un valor numérico o por una expresión simbólica.
Dadas las funciones f ( x) = x 2 + 5 x + 3 y g ( x ) = cos ( 2 x + 1) , calcular las funciones f o g
Define variable
Define las funciones
Calcula composición
Calcula composición
>> syms x
>> f=x^2+5*x+3
>> g=cos(2*x+1)
>> fog=subs(f,x,g)
>> gof=subs(g,x,f)
∧
f=
x^2+5*x+3
g=
cos(2*x+1)
fog =
cos(2*x+1)^2+5*cos(2*x+1)+3
gof =
cos(2*x^2+10*x+7)
go f
Explicitar las siguientes funciones:
⎛ x +1 ⎞
⎟=
⎝ x−2⎠
Dadas la función f ⎜
Define variable
Define función
Cambio de variable
Despeja x
Reemplaza en f
simplifica
Escribe en formato
MAPLE
x2 − 2 x + 1
x 2 − 3x + 4
calcular f ( x )
>> syms x
>> f_original=(x^2-2*x+1)/(x^2-3*x+4);
>> u=(x+1)/(x-2);
>> equis=finverse(u);
>> f_de_u=subs(f_original,x,equis);
>> f_de_x=simplify(f_de_u)
>> pretty(u)
>> pretty(equis)
>> pretty(f_de_x)
f_de_x =
(4+4*x+x^2)/(8-x+2*x^2)
La función es:
f ( x) =
x2 + 4 x + 4
2 x2 − x + 8
Al ejecutar la orden simplify, el programa efectúa una serie de procesos de simplificación y, de entre
los resultados obtenidos, escoge uno. Si la simplificación presentada por la orden simplify no es
satisfactoria, podemos pedirle al programa, mediante la orden simple, que nos muestre los
resultados de todas las simplificaciones efectuadas. Observa el siguiente ejemplo:
Con
expresión >> syms x
f = x 2 + 2 x + 1 no se modifica. >> f=x^2+2*x+1
Sin embargo, utilizando simple f =
simplify
la
>> simple(f)
simplify:
x^2+2*x+1
x^2+2*x+1
radsimp:
x^2+2*x+1
>> simplify(f)
combine(trig):
x^2+2*x+1
ans =
factor:
(x+1)^2
x^2+2*x+1
expand:
x^2+2*x+1
combine:
x^2+2*x+1
convert(exp):
x^2+2*x+1
convert(sincos):
x^2+2*x+1
convert(tan):
x^2+2*x+1
collect(x):
x^2+2*x+1
ans =
(x+1)^2
Graficar paso a paso
>> syms x
>> f1=x^2;
>> u=x+3;
>> f2 =subs(f,x,u);
>> f3=4*f2;
>> f4=f3-2;
>> subplot(221)
>> ezplot(f1,[-8,8])
>> grid on
>> subplot(222)
>> ezplot(f1)
>> hold on
>> ezplot(f2,[-8,8])
>> grid on
>> subplot(223)
>> ezplot(f1)
>> hold on
>> ezplot(f2)
>> ezplot(f3,[-5,-1])
>> grid on
>> subplot(224)
>> ezplot(f1)
>> hold on
>> ezplot(f2)
>> ezplot(f3)
>> ezplot(f4,[-5,-1])
>> grid on
f ( x) = 4( x + 3) 2 − 2 partiendo de f ( x) = x 2
Partimos de la función cuadrática
Sumamos 3 unidades a la variable: trasladamos a lo largo del eje x 3 unidades
a la izquierda.
Multiplicamos por 4 la función: dilatamos a lo largo del eje y.
Restamos 2 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 2 unidades
hacia abajo
Graficar paso a paso f ( x) =
12 x − 18
1
partiendo de f ( x) =
−3x + 5
x
Se trata de representar:
f ( x) = −4 +
2
2
1
= −4 + ⋅
−3x + 5
3 −x + 5
3
>> x=-2:0.01:5;
>> y1=1./x;
>> y2=-1*y1;
>> y3=1./(5/3-x);
>> y4=2/3* y3;
>> y5=-4+y4 ;
>> plot(x,y1, '--',x,y2, '--',x,y3, '-.',x,y4, '-.',x,y5, '-')
>> ylim([-15 10]), box off
>> grid on
>> legend('y1','y2','y3','y4','y5')
Partimos de f ( x) =
1
x
Multiplicamos la variable por −1 : calculamos la simétrica respecto del eje y
Sumamos
5
5
unidades a la variable: trasladamos
unidades a lo largo del eje x a la izquierda.
3
3
Multiplicamos por 2/3 la función: contraemos a lo largo del eje y.
Restamos 4 unidades a la función: trasladamos a lo largo del eje y 4 unidades hacia abajo.
LA CALCULADORA DE FUNCIONES
Con la sentencia funtool se accede a una calculadora de funciones en la que se recogen la mayoría
de los comandos que hemos visto y que, por tanto, sirve para manipular de forma interactiva
funciones reales de una variable real. La calculadora consta de tres ventanas: dos ventanas graficas
y una con el teclado. En cada instante la calculadora mostrara dos funciones f(x) y g(x) en las
ventanas graficas. El resultado de la mayoría de las operaciones se guarda en f(x) borrando el
contenido anterior.
>> funtool
En las casillas etiquetadas por ’f = ’ y ’g = ’ se puede introducir, en cualquier momento, la función que
uno desee escribiendo la correspondiente expresión. La casilla ’x = ’ puede cambiarse para
especificar un nuevo dominio. La casilla ’a = ’ puede modificarse para introducir un nuevo valor del
parámetro a.
Todos las teclas de la fila superior son operaciones que afectan solo a la función f(x). Son los
siguientes:
df/dx
int f
simple f
num f
den f
1/f
finv
Derivada de f(x).
Integral de f(x).
Simplifica la expresión, si es posible.
Extrae el numerador de una expresión racional.
Lo mismo, pero ahora el denominador.
Cambia f(x) by 1/f(x).
Cambia f por su función inversa
Obviamente, las operaciones int f y finv pueden fallar si la correspondiente expresión simbólica no
existe o no puede expresarse en términos de funciones elementales.
La segunda fila de teclas sirve para trasladar y escalar la función f por el parámetro a. Las
operaciones posibles son:
f+a
f-a
f*a
f/a
f^a
f(x+a)
f(x*a)
Reemplaza f(x) por f(x) + a.
Reemplaza f(x) por f(x)-a.
Reemplaza f(x) por af (x).
Cambia f(x) por f(x)/a.
Cambia f(x) por f(x)ˆa.
Reemplaza f(x) por f(x + a).
Reemplaza f(x) por f(a*x)
La tercera fila de teclas son operaciones en las que intervienen las dos funciones f(x) y g(x).
Las operaciones son:
f+g
f-g
f*g
f/g
f(g)
g=f
swap
Reemplaza f(x) por f(x) + g(x).
Reemplaza f(x) por f(x) - g(x).
Reemplaza f(x) por el producto f(x)*g(x)
Reemplaza f(x) por f(x)/g(x).
Reemplaza f(x) por la composición f(g(x)).
Reemplaza g(x) por f(x)
Intercambia f(x) y g(x).
Las primeras tres teclas de la cuarta fila sirven para manejar la colección de funciones de la
calculadora. Por defecto, la calculadora de funciones incluye una selección de interesantes ejemplos.
La tecla Insert añade la función activa en ese momento a la colección.
La tecla Cycle nos permite recorrer una por una las funciones de la colección.
La tecla Delete elimina la función activa de la colección.
La tecla Reset reestablece los valores por defecto de f, g, x, a y la colección de funciones.
La tecla Help presenta estas breves instrucciones de ayuda en ingles.
La tecla Demo propone un curioso problema. Se puede generar la función sen(x), sin tocar el
teclado, usando solo el ratón? La demostración resuelve el problema reiniciando la calculadora con
Reset y luego pulsando 9 veces el ratón. Si eres capaz de resolver el problema con menos
pulsaciones de ratón, por favor, envía tu solución a [email protected].
Finalmente, la tecla Close apaga la calculadora, cerrando las tres ventanas que la componen.
Dadas f ( x) = x 2 + x + 1 y g ( x ) = tg ( sen ( x ) ) − sen ( tg ( x ) ) , graficar las funciones f o g
go f
Para f ( x ) = 5e
3
− x
5
f og
y g( x ) = 3sen ( 2 x ) graficar
h( x) = 15e
3
− x
5
⎛g⎞
∧ ⎜ ⎟
⎝ f ⎠( x )
( f ⋅ g )( x )
3
h( x ) = e
5
sen ( 2 x )
(
Para la función f ( x ) = x sen ( 2 x ) dibujar la grafica de f x + 1
(
f x+ 1
2
)
2
)
∧
3
x
5
sen ( 2 x )
f ( x) + 5
f ( x) + 5
∧
go f
TRABAJO PRÁCTICO VII
ANALISIS DE FUNCIONES CON MATLAB
Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo numérico
1
y = ln(x 2 ) + ln x
2
y = x− x
3
6−
4
4
y=x e
y=
y = − x 3 + 3 x 2 + 4 x − 12
5
x2
2
x2 + 3
x x2 − 1
10 x + 5
6
y=
7
y=
8
y = x x2 + 4
(
2− x
2+ x
)
⎛ x2 ⎞
y = ctgh ⎜
⎟
⎜ x −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ x2 − 1 ⎞
y = sh ⎜
⎟
⎜ x−2 ⎟
⎝
⎠
10
x 4 + x3 + 2 x − 4
x −1
+
x +1
y = lg 2 (1 + x )
9
11
2
y = − cos ( x ) ⎡⎣ x − sec ( x ) ⎤⎦
12
Graficar las siguientes funciones en un dominio adecuado utilizando en calculo simbólico
1
2
y = sen x
y = (1 + x )
3
y=
4
2
5
y
1
x
2x
2− x
( x − 1) = x
3
f ( x) = x − 1 − x + 2
x −1
3
6
f(x)=
7
f ( x ) = x2 − 1
y = 2 − sen ( 3x )
15
y=
9
y = sen ( x ) + x
16
y=
10
x ( x − 1) y = x 2 − 4
17
11
( x − 6) y
( x − 4)
18
12
f ( x ) = x2 − 3 − 2 + 1
19
13
f ( x) = 2 − 3 − x 2 − 1 + 6
20
y = sgn x 2 − 4 x − sgn x 2 + 2 x
14
y = x3 sen ( 3 x ) ∧
21
f(x)= x +
2
=x
2
[ −10,10]
1
2
f⎛ x −1 ⎞ =
y=e
3
f −1( x −1) =
∧
3 x3 + 1
⎜
⎟
⎝ x+2 ⎠
x3 + 1
+
x + 2 −1
x
e
x −1
)
y 2 x2 − 4 = x4
⎛ x 2 − 3x + 2 ⎞
y = ch ⎜
⎟
⎜ x2 + 3x + 2 ⎟
⎝
⎠
f ( x) = x + x + 2 + x − 3
(
)
( )
log 4+ 7 x 2
∧
(
x
−1
3
[ −4, 2]
Para las siguientes funciones explicitar las funciones y hallar f o g
3
x+2
(
x −x
sen 3 x 2
⎛ x2 − 3x ⎞ 2
y = sgn ⎜
⎟+ x
⎜ x +1 ⎟
⎝
⎠
f( x − 2 ) =
1
8
g⎛ x ⎞ =
⎜ ⎟
⎝2⎠
∧
x +1
∧
x −1
x+5
x
g⎛ 1 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ x⎠
3x + 5
x−6
g −1⎛ 1 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝x⎠
x+5
x−5
3 x3 + 1
3
f⎛ x −1 ⎞ =
5
f⎛ x −1 ⎞ =
6
5x + 3
f −1⎛ x −1 ⎞ =
⎜
⎟ 4x − 5
⎜
⎟
⎝ x+2 ⎠
⎜
⎟
⎝ x+2 ⎠
⎝ x+2 ⎠
x3 + 1
∧
∧
go f
g⎛ 1 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝x⎠
3x 2 + x − 2
x −1
∧
∧
3x + 5
x−6
g⎛ 1 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ x⎠
g −1( x ) =
3 x 2 + 25
x 2 − 36
x
1 + x2
)
Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares de forma
grafica:
1
2
2 x + 2− x
x
y = In ⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟
⎝
⎠
y=
(
3
⎛ 3− x ⎞
y = In ⎜
⎟
⎝ 3+ x ⎠
5
y = 5 x + 5− x
4
⎛ x +1 +1⎞
y = In ⎜⎜
⎟⎟
⎝ x −1 +1 ⎠
6
y=
)
2
sen ( x ) − x cos ( x )
In ( x )
Graficar las siguientes curvas dadas de forma implícita
1
x3 + y3 − 6 xy = 0
1
2
( x − 1)
100
+ ( y + 1)
100
=1
7
2
x +y =a
1
2
5
( sen ( x ) ) y = cos ( x ) + y
8
3
x4 + y 4 = 4 x2
6
( y − x + 3 )2 = 4 − x 2
9
3
2
1
2
4
3
2
x +y =2
3
2
y3 ( x − 2 ) = 1
2
xe
xy
2
− xy = 0 ∧
[ −10,10]
x99 + y99 = 4
Graficar las siguientes funciones por tramos
1
⎧x
x < −1
⎪
y = ⎨1
0≤ x<2
⎪ 2
x≥2
⎩− x
4
2
⎧ x+3
⎪⎪
y = ⎨2 x 2
⎪
⎪⎩12 − 2 x
[ −5, −1]
]−1, 2]
]2,5]
5
3
⎧−1
⎪
⎪2
⎪
y = ⎨ 2x
⎪ x −1
⎪ 2x
⎪
⎩x−2
]−5, 0]
]0,1[
]1, 2[
]2,3[
6
⎧ 1− x
x < −1
⎪⎪
y = ⎨1 − x 2 − 1 ≤ x < 1
⎪
x ≥1
⎪⎩ x − 1
⎧ 2
[ −5, −3]
⎪ x −9
⎪
y = ⎨ x + 3 -2
]−3,5]
⎪ 2
⎪⎩ x − 10 x + 26 ]5, 7 ]
⎧2 − x
⎪
⎪1 − x
⎪
y = ⎨x
⎪
⎪x −1
⎪x − 2
⎩
[ −2, −1[
[ −1, 0[
[ 0,1[
[1, 2[
[ 2,3[
Graficar la parte par y la parte impar de las siguientes funciones
7
8
9
⎧ 1− x
x < −1
⎪⎪
y = ⎨1 − x 2 − 1 ≤ x < 1
⎪
x ≥1
⎪⎩ x − 1
⎧ x 2 + 3x − 2 [ 0, 2]
⎪
⎪
y = ⎨ x2 − x + 1
]2,3[
⎪
[3,5]
⎪⎩5 − x
⎧ 2 − x [ −7, −2[
⎪
⎪⎪ x 2 -1
[ −2, 0[
y=⎨
⎪ x2
[0, 2[
⎪ 2
⎪⎩ x + 1 x = 2
Para las siguientes funciones graficar paso a paso
1
1
f ( x) = − ( x − 3)3 − 2 partiendo de f ( x) = x3
4
2
f ( x) = 2 −3 x + 2 Partiendo de f ( x) = x
3
4
5
f ( x ) = 4 ⋅ 2 2 x − 4 Partiendo de f ( x) = 2 x
4 f ( x) = −3log3 (2 x) Partiendo de f ( x) = log3 x
f ( x) =
8 x − 17
1
Partimos de f ( x) =
x
2x − 5
Con la ayuda de la calculadora de funciones graficar:
1
π⎞
⎛
f = 2e −2 x g = cos ⎜ 2 x + ⎟ h = f ⋅ g
4⎠
⎝
2
− x +1
f = In ( x ) g = 3 − e ( ) h = f ⋅ g
3
f = 2− x
∧
x ≤ 2 h = f ( x) ⋅ f (2 − x)
⎛x ⎞
x − 2 g = sen ⎜ − 1⎟ h = f ⋅ g
⎝2 ⎠
4
f =
5
f = sen ( x ) g = 2 cos ( x ) h = f + g
6
f = 2− x
∧
x ≤ 2 h = f ( x) ⋅ f (−x)
CALCULO DE LIMITES CON MATLAB
El concepto de límite es un concepto básico y un instrumento principal del Análisis Matemático, ya
que muchos problemas importantes de la Matemática y de otras ciencias dependen de él. Sin los
límites, el sistema de los números reales estaría seriamente incompleto. La teoría de límites es el
aparato que permite estudiar sistemáticamente las cantidades variables que aparecen en los
diferentes fenómenos de la naturaleza y los procesos tecnológicos. Las ideas de límite y continuidad
son muy importantes en la aplicación de las matemáticas a problemas económicos. Numerosos
resultados de la Matemática y la Economía son válidos solamente para funciones continuas.
Euler, uno de los más grandes matemáticos de todas las
épocas, escribió que “todo el análisis infinitesimal gira
alrededor de las cantidades variables y sus funciones”. Con
los precedentes sobre la teoría de funciones y gráficas,
trasladamos a este capítulo el estudio de aspectos
interesantes e importantes de la teoría de límites de
funciones.
y
f(x)
L
Idea intuitiva
El límite de f (x) es L “si puede lograrse que f (x) esté tan
0
próximo a L como se desee, siempre que se tomen valores
de x lo suficientemente próximos a x0”. (Ver la figura).
x
x0
Figura 2.1
Definición épsilon-delta
Sea f (x) una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a El límite de f (x) cuando
x tiende a a es L , y se escribe
Operaciones con expresiones infinitas
FORMAS DETERMINADAS
(+∞) + a = +∞
(+∞ )·(± a ) = ±∞
(+∞) + (+∞) = +∞
(+∞)·(+∞) = +∞
(−∞ )·(± a ) = −∞
(−∞) + a = −∞
(−∞) + (−∞) = −∞
−(−∞) = +∞
(−∞) + (−∞ ) = m ∞
(+∞)( +∞ ) = +∞
⎧⎪a ( +∞ ) = +∞
a >1 ⎨
⎪⎩a ( −∞ ) = 0
⎧⎪a ( +∞) = 0
0 < a <1 ⎨
⎪⎩a ( −∞) = +∞
(+∞)( −∞ ) = 0
(+∞)( + a ) = +∞
(+∞)( − a ) = 0
±∞
0
a
=0
=± ∞
=0
±∞
0
±∞
a
=±∞
si a ≠ 0
0
FORMAS INDETERMINADAS
0
0
∞
∞
±∞·0
∞−∞
1∞
∞0
00
Límites laterales
Se ha estudiado el concepto de límite de una función f cuando x tiende a a , tanto por valores
mayores que a , como por valores menores que a . Definamos límites laterales de una función en un
punto. Para valores mayores que a , debemos exigir: 0 < x − a < δ y para valores menores que a ,
0<a−x<δ
Límite lateral derecho
Se dice que f tiene límite lateral derecho, cuando x tiende a a , si para todo ε >0 existe δ >0 tal
que si 0 < x − a < δ entonces, f ( x ) − L < ε .
lim f ( x ) = L
Notación:
x→a+
Se define análogamente límite lateral izquierdo y se denota:
lim f ( x ) = L
x→a−
El límite de la función en a no existe, porque los límites laterales son diferentes. Se cumple:
Teorema
y
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x )
x→a
x→a+
x→a−
Para que exista el límite de una función f en un punto a , los
límites laterales alrededor de dicho punto tienen que ser iguales.
L1
Infinitos e infinitésimos
L2
0
x0
x
Figura 2.4
En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función,
cuando la variable independiente toma valores cada vez mayores
(o cada vez menores) y en estos casos, determinar si la función se
aproxima a un valor determinado.
Existen algunos problemas en los que interesa estudiar el
comportamiento de una función que, cuando la variable
independiente x se acerca a a , la función toma valores cada vez
mayores (o cada vez menores), o se acercan a cero.
Límite finito cuando la variable independiente tiende hacia
infinito
Dada la función f , definida en el intervalo ( a ; + ∞ ), se dice que
el límite de f cuando x tiende a + ∞ es L, si para todo número
positivo ε , existe un M > 0, tal que si x > M, entonces
f ( x ) − L < ε Notación: lim f ( x) = L .
y
L+⌧
L
L- ⌧
x →+ ∞
De manera similar se define el límite cuando x tiende a - ∞ , para
el cual se utiliza la notación: lim f ( x ) = L .
x→− ∞
Todas las propiedades del límite en un punto, estudiadas
anteriormente, son válidas también para los límites en el infinito.
Comandos simbólicos para limites
0
M X
Figura 2.5
COMANDO
>> limit(F,x,n)
>> limit(F,x,n,’right’)
>> limit(F,x,n,’left’)
x
ACLARACION
Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n.
Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n
por la derecha.
Entrega la expresión simbólica del límite de S cuando x tiende a valor n
por la izquierda.
Calcular los siguientes límites y mostrar el valor de forma grafica:
L = lim
x −5
L=
x →5 ( x + 4 )3
0
>> syms x;
>> f=(x-5)/(x+4)^3;
>> L=limit(f,x,5)
>> ezplot(f,[-6,6])
>> hold on
>> plot(5,0,'ko','linewidth',3.2)
>> grid on
2
2
−
2
x → 2 3x − 6 2 x − 5 x + 2
L = lim
>> syms x;
>> f=2/(3*x-6)-2/(2*x^2-5*x+2);
>> L=limit(f,x,2)
>> ezplot(f,[-6,6])
>> hold on
>> plot(2,4/9,'ko','linewidth',3.2)
>> grid on
L = lim
x →3
x2 − 2 x + 6 − x2 + 2 x − 6
x2 − 4 x + 3
L=
4/9
L=
-1/3
>> syms x;
>> f=(sqrt(x^2-2*x+6)-sqrt(x^2+2*x-6))/(x^2-4*x+3);
>> L=limit(f,x,3)
>> ezplot(f,[-6,6])
>> hold on
>> plot(3,-1/3,'ko','linewidth',3.2)
>> grid on
L = lim
x →∞
3x 2 + x + 2 x
x 2 + 3x
>> syms x;
>> f=( 3*x^2+sqrt(x)+2*x)/(x^2+3*x);
>> L=limit(f,x,inf)
>> ylim([0 3.5]), box off;
>> ezplot(f,[-2,1000])
>> hold on
>> plot(700,3,'ko','linewidth',3)
>> grid on
Ggg
L=
3
Calcular los seguintes limites:
L = lim
x→
1 − ctg 3 ( x )
π 2 − ctg ( x ) − ctg 3 ( x )
L=
3/4
4
>> syms x;
>> f=( 1-(1/tan(x))^3)/(2-(1/tan(x))- (1/tan(x))^3);
>> L=limit(f,x,pi/4)
>> ezplot(f,[-2,3])
>> hold on
>> plot(pi/4,3/4,'ko','linewidth',3)
>> grid on
⎛ π x2 ⎞ π x2
⎛ 1 ⎞
L = lim ⎜
⎟ sen ⎜⎜ 2 x + 1 ⎟⎟ + 2
x →∞ ⎝ x 2 + 1 ⎠
⎝
⎠ 2x +1
L=
1/2*pi
f= inline('sin(pi*x.^2./(2*x+1))./(x.^2+1)+pi*x.^2./(2*x.^2+1)');
>> fplot(f,[-1,100])
>> syms x
>> f=sin(pi*x^2/(2*x+1))/(x^2+1)+pi*x^2/(2*x^2+1);
>> L=limit(f,x,inf)
>> hold on
>> plot(90,pi/2,'ko','linewidth',3)
>> ylim([0 2]), box off;
>> grid on
x3 + 1) sen ( x )
(
L = lim =
x →0
log x
>> syms x
>> f=((x^3+1)/log(abs(x)))*sin(x)
>> L= limit(f,0)
>> ezplot(f,[-3,3])
>> hold on
>> plot(0,0,'ko', 0,0,'ko','linewidth',3)
>> grid on
1
3x +1
L = lim =
1
x →0
x
L=
NaN
3 −1
>> syms x
>> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1)
>> L= limit(f,0)
L_der =
>> syms x
>> f=(3^(1/x)+1)/(3^(1/x)-1)
2
>> L_der=limit(f,x,0, 'right')
>> L_izqu=limit(f,x,0, 'left')
>> ezplot(f,[-3,3])
L_izqu =
>> hold on
>> plot(0,-1,'ko', 0,1,'ko','linewidth',3)
-1
>> ylim([-4 4]), box off;
>> grid on
En este ultimo limite si lo evaluamos directamente , el resultado es L=NAN, esto quiere decir que el
limite no existe por lo que se debe tomar limites laterales y efectivamente se ve que los limites
laterales no son iguales
L_der =
x3 − 1
L = lim
3
x →1 x − 1 + x − 1 2
>> syms x;
>> f=abs(x^3-1)/(abs(x-1)+(abs(x-1))^2);
>> L_der=limit(f,x,1, 'right')
>> L_izqu=limit(f,x,1,'left')
>> ezplot(f,[-5,5])
>> hold on
>> plot(1,3,'ko','linewidth',3)
>> grid on
L=
(
)
⎡ x 2 + sgn x 2 − 1 − 1 ⎤
± ⎢
⎥⎦
x →− 2 ⎣
lim
>> syms x;
>> f= x^2+(abs(abs(x^2-1)-1))/(abs(x^2-1)-1)
>> L_der=limit(f,x,-sqrt(2), 'right')
>> L_izqu=limit(f,x,-sqrt(2),'left')
>> ezplot(f,[-3,3])
>> hold on
>> plot(-sqrt(2),1,'ko', -sqrt(2),3,'ko','linewidth',3)
>> grid on
L = lim =
x 2 sgn ⎡⎣( x − 1) x + 2 ⎤⎦
x →1
x −1 − x
L_izqu =
3
L_der =
1
L_izqu =
3
L_der =
-1
>> syms x;
>> f= (x^2*(abs((x-1)*sqrt(x+2))/ ((x-1)*sqrt(x+2)))/(abs(x1)-abs(x)))
>> L_der=limit(f,x,1, 'right')
>> L_izqu=limit(f,x,1, 'left')
>> ylim([-5 5]), box off;
>> ezplot(f,[-2,2])
>> hold on
>> plot(1,-1, 'ko', 1,1, 'ko', 'linewidth',3)
>> grid on
Para este ultimo caso tener en cuenta sgn ( x ) =
L_izqu =
-1
x
x
=
x
x
TRABAJO PRÁCTICO VIII
CALCULO DE LÍMITES CON MATLAB
Calcular los siguientes limites:
3 x 20 + 2 x14 − 5
8
7
2 − x −1
15
L = lim
2
1
L = lim
=2
24
x →1 x50 − 2 x + 1
16
⎛
⎞
1 1 1
1 1 1⎟
⎜
L = lim
+ +
− − +
=1
x x
x x x⎟
x→0 ⎜ x
⎝
⎠
3
5
1 + x ) − (1 + 5 x )
(
L = lim
= 10
17
L = lim
18
2
⎡ 5
⎤
2
x
1
−
⎢
4⎥⎛ 1 ⎞
L = lim ⎢
− x ⎥⎜
= 150
5x⎟
x →−1 ⎢ x 2 − 2 x + 1
+
1
⎝
⎠
⎥
⎣
⎦
19
L = lim
20
L = lim
21
2 x 2 + 1)
(
64
L = lim
=
4
x →∞
(3x3 + 1) 81
22
⎛ 3 x3 + 6 x 2 − 16 − x ⎞ 1
⎟=
L = lim ⎜
x →∞ ⎜ x 2 + 2 x + 1 − x 2 − x ⎟ 3
⎝
⎠
23
L = lim
24
L = lim
25
L = lim
26
L = lim
27
L = lim
28
⎛1−cos(x) ⎛ 1 ⎞ cos( 3x) −cos(2x) ⎞ 5
lim ⎜⎜
cos⎜ ⎟ +
⎟⎟ =−
x→0⎝ tg ( x)
⎝ x⎠
x2
⎠ 2
1
L = lim
x →1 4 x 23 − x15 − 3
=
x100 − 2 x + 1
2
x +x
x →0
(
5
x 2 − x − 20
)
20
10
⎛3⎞
=⎜ ⎟
10 ⎝ 2 ⎠
x→2 3
x − 12 x + 16
4
L = lim
5
x x2 − 1 − 6
7
L = lim
=−
3− x
2
x →3
(
)
3
x 2 − 8 x + 12
6
L = lim
7
x 2 − 8 ⋅ ⎛⎜ x 2 + x + 1 − 1⎞⎟
⎝
⎠ =1
L = lim
3
x →∞
x ⋅ x3 + 1
8
L = lim
x → 2 3 x3 + 19 −
x →∞
3 4
x2 + 5
5
x + 3 − x3 + 4
3 7
x +1
= 18
3 3
x + 5 + 4 x2 + 6 − 2 x
3
10
3
L = lim x 2 ⎡⎣ x + 2 − 2 x + 1 +
x →∞
x ⎤⎦ = −
11
L = lim
12
L = lim
x →∞
x →0
L = lim
x →∞
13
14
L = lim
x − x3 + 12 x 2 + 1
tg ( 2 x ) − sen ( 2 x )
x3
=4
( ) = −2
x −2 − 2arctg x −1
x −1
x3 + 1 − cos ( x )
x →0 x 2 In x + 3tg ( x )
x3
⎛ 3x 2 − x + 1 ⎞1− x
L = lim ⎜
⎟
x →∞ ⎜⎝ 2 x 2 + x + 1 ⎟⎠
=
e
2 3
=0
−
1
3 2
x −1
= −3
3 2
x +7 − x+3
2
3x + 2 x − 5
x →1
(
=−
1
96
)
1 + 7 x 3 5 x + 1 − 1 31
=
x
6
x →0
2 x3 + x 2 + 1
x →∞
x3 + 1
=2
6
=0
1
=−
16
9
x →5 1 − 3 3 −
1
4
x →−1+
x →∞
−9 x + 3 x − 2
7
=−
x +1
6
(
x 2 arctg
( x ) − π ) = −2
1 + sen ( x ) − cos ( x )
1
=
p
x → 0 1 + sen ( px ) − cos ( px )
2 x − arcsen ( x ) 1
=
3
x → 0 2 x + arctg ( x )
x2 − 2 x
x→2 x2 − 5x + 6
= −2
1
⎛ a x2 + b x2
L = lim ⎜
x →0 ⎜ a x + b x
⎝
⎞x
⎟ = 1
⎟
ab
⎠
x3 − 2 x 2 − 4 x + 8
=0
x−2
x→2
1
⎞x
⎛ x + 2x −1
L = lim ⎜
⎟ =1
x →∞ ⎜⎝ 2 x 2 − 3 x − 2 ⎟⎠
2
x3 − x 2 + 3 x − 3
=4
x −1
x →1
L = lim
L = lim
⎡ 1
⎤
lim ⎢
+sen (x−1) + x⎥ =∞
x→1 ⎣⎢(x −1)2
⎦⎥
L = lim 3 x + sgn x 2 − 1 − 1 = 0
L = lim x
1
1+ In sen ( x )
x →0
L = lim
=e
L = lim
lim
x →0
4 ⎡cos ( x ) − cos 2 ( x ) ⎤
⎣
⎦
x − sen 2 ( x )
L = lim
1
ex
x →0 1
ex
−e
+e
−
−
1
x
1
x
6x2 + 2x + 1
x →±∞ 5 x 2 − 3 x + 4
( )
e x + sen ( x ) − 1
=0
x2 + x − 2
L = lim
sen ( 2 x ) + 2sen x 2 − 2sen ( x )
x →0
4 x3 − 1
x →1 ( x − 1) 2
⎡ ( x + 2)( x + 2) ( x) x ⎤
L = lim ⎢
⎥=0
x →∞ ⎢⎣ ( x + 1) 2( x +1) ⎥⎦
L = lim
x2 + x − 2 + 1
x →±∞
⎛1⎞
x 2 sen ⎜ ⎟
⎝x⎠
L = lim
senx
x →0
x
e + sen ( x )
L = lim x
x →∞ e + cos ( x )
)
(
x →0
L = lim
2 x3
x →+∞ x 2 + 1
L = lim
=
6
5
=∞
cx − d x
x →0 a x − b x
L = lim
x p −1
x →1 x q − 1
⎛ x +1 ⎞
3
x sgn ⎜⎜
⎟⎟ − 5
x→ 5
⎝ x −2⎠
lim
CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB
La Tangente a una curva en un punto
Si alguien -que de todo hay- nos preguntara que es la
tangente a una curva en un punto, nosotros, pensando
quizás en el caso de la circunferencia de la figura,
podríamos responder que es la recta que corta a la curva
en ese único punto... No nos quedara entonces mas
remedio que admitir que la segunda recta del dibujo no
será tangente a la sinusoide y que, en cambio, si lo será
la tercera a la parábola
La cuestión se resuelve así:
Como se observa en la figura, la recta secante a
la grafica de la función y = f ( x ) en los puntos
A[ x0 , f ( x0 ) ], y B [ x1 , f ( x1 ) ] es la recta que
pasando por A tiene por pendiente:
tg (α ) = m AB =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
Al valor ∆x se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) el
incremento de la función.
Por otro lado, la tangente en el punto A parece ser la recta a la que tenderían las secantes en A y B
cuando el punto B tendiera a confundirse con el A.
Por todo ello, se define formalmente la tangente a la función y = f ( x ) en el punto A[ x0 , f ( x0 ) ]
como la recta que pasando por dicho punto tiene por pendiente:
m = lim =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
x → x0
En el supuesto de que tal limite exista. Interesa observar que si donde pone x1 ponemos x0 + ∆x , y
donde figura f ( x1 ) ,escribimos f ( x0 + ∆x ) , la pendiente de la tangente vendrá dada por:
m = lim =
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x
∆x → x0
∆f
∆x → 0 ∆x
= lim
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y = f ( x ) en el
intervalo [ a, b ] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
TVM [ a, b ] =
f (b) − f ( a )
b−a
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f ( x ) = 3 − x 2 en el intervalo [0,2]
TVM [ 0, 2] =
f ( 2 ) − f ( 0 ) −1 − 3
=
= −2
2−0
2
Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [ a, a + h ] sería
f ( a + h) − f ( a)
.
h
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:
f ( x + h) − f ( x)
h
h →0
A este valor se le llama la derivada de la función y = f ( x ) en el punto a y se designa por f ' ( a ) ,
lim =
por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando
el incremento de la variable tiende a 0.
f ' ( a ) = lim =
h →0
f ( x + h) − f ( x)
h
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a .
Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [ a, a + h ] es la pendiente de la recta secante a la
gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a + h .
Si h tiende a cero, el punto a + h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta
tangente a la curva. Por lo tanto:
(
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto a, f( a )
)
Función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f ' ( x ) se llama la función derivada de f
y se denota por f ' .
Comandos simbólicos para la derivada de una función
Se usa la función diff para determinar la derivada simbólica de una expresión simbólica. Hay cuatro
formas de usar la función diff para realizar una derivación simbólica:
COMANDO
>> diff(f)
>> diff(f,’t’)
>> diff(f,n)
>> diff(f,’t’,n)
ACLARACION
Devuelve la derivada de la expresión f respecto a la variable
independiente por omisión.
Devuelve la derivada de la expresión f respecto de la variable t.
Devuelve la de orden n de la expresión f respecto a la variable
independiente por omisión.
Devuelve la derivada de orden n de la expresión f respecto a la variable
t.
**La función diff, puede diferenciar (de acuerdo a sus argumentos) si debe realizar derivación
simbólica o numérica.
eee
eee
Calcular la primera derivada de:
⎛ 1
3
x3 + 3sen ⎜ x
⎜⎜
⎝
y=
5x−4
5−e
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
>> syms x;
>> f=(x^3+3*sin(x^(1/3)))/(5-exp(5*x+4));
>> derivada=diff(f,x,1)
>> pretty(derivada)
derivada =
(3*x^2+cos(x^(1/3))/x^(2/3))/(5-exp(5*x+4))+5*(x^3+3*sin(x^(1/3)))/(5-exp(5*x+4))^2*exp(5*x+4)
y=
1− x2
1+ x2
−
1
1+ x2 ⎜⎛ x + 1+ x2 ⎟⎞
⎝
⎠
>> syms x;
>> f=sqrt((1-x^2)/(1+x^2))-1/((sqrt(1+ x^2))*(x+sqrt(1+ x^2 )))
>> derivada=diff(f,x,1);
>> derivada_simplificada=simple(derivada)
>> pretty(derivada_simplificada)
deriv_simplific =
(-2*x+(1-x^2)^(1/2))/(1+x^2)^(3/2)/(1-x^2)^(1/2)
⎛ b + a cos x ⎞
y = arccos ⎜
⎟
⎝ a + b cos x ⎠
>> syms x a b;
>> f= acos((b+a*cos(x))/(a+b*cos(x)))
>> derivada=diff(f,x,1);
>> derivada_simplificada=simple(derivada)
>> pretty(derivada_simplificada)
derivada_simplificada =
-i*sin(x)*(-b^2+a^2)^(1/2)/(a+b*cos(x))/(-1+cos(x)^2)^(1/2)
y' = −
ddd
b 2 − a 2 sgn ( sen x )
a 2 − b 2 a + b cos x
Calcular la derivada de orden superior:
Hallar
2
y ( ) si: y =
sen ( x )
5 − e5 x
>> syms x;
>> f=(sin(x))/(5-exp(5*x));
>> der_2=diff(f,x,2)
>> pretty(der_2)
der_2 =
-sin(x)/(5-exp(5*x))+10*cos(x)/(5-exp(5*x))^2*exp(5*x)+50*sin(x)/(5-exp(5*x))^3*exp(5*x)^2+
25*sin(x)/(5-exp(5*x))^2*exp(5*x)
Hallar
y=
2
y ( ) si:
arccos x 1 ⎛⎜ 1 − 1 − x 2
+ In
x
2 ⎜ 1 + 1 − x2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
>> syms x;
>> f= acos(x)/x+0.5*log((1-sqrt(1- x^2))/(1+sqrt(1- x^2)))
>> segunda_derivada= diff(f,x,2);
>> derivada_simplificada_2=simple(segunda_derivada)
>> pretty(derivada_simplificada_2)
derivada_simplificada_2 =
(x+2*acos(x)*(1-x^2)^(1/2))*x/(1-x^2)^(1/2)/(1+(1-x^2)^(1/2))^2/(-1+(1-x^2)^(1/2))^2
50
Hallar y ( ) si:
y = x 2 sen ( x )
derivada_simplificada_50 =
2450*sin(x)+100*x*cos(x)-x^2*sin(x)
Fff
>> syms x;
>> f= x^2*sin(x);
>> derivada_50= diff(f,x,50);
>> derivada_simplificada_50=simple(derivada_50)
>> pretty(derivada_simplificada_50)
Hallar y', y'' Si
arctg
y
= ln x 2 + y 2
x
>> syms x y dy;
>> f= atan(y/x)-0.5*log(x^2+y^2);
>> derivada= diff(f)+ dy *diff(f,y);
>> y_prima=solve(derivada, 'dy')
>> pretty(y_prima)
>> segunda_deriv=diff(y_prima)+dy*diff(y_prima,y);
>> y_segunda=subs(segunda_deriv ,dy,y_prima)
>> simplificando=simplify(y_segunda)
>> pretty(simplificando)
y_prima =
(y+x)/(x-y)
y_segunda =
1/(x-y)-(y+x)/(x-y)^2+(y+x)/(x-y)*(1/(x-y)+(y+x)/(x-y)^2)
simplificando =
2*(x^2+y^2)/(x-y)^3
Hallar y', y'' Si
⎧ x = arctg ( t )
⎪
⎨
2
⎪⎩ y = In 1 + t
(
y_prima =
2*t
y2prima =
2+2*t^2
)
>> syms t;
>> x= atan(t); y=log(1+t^2) ;
>> dx= diff(x,t);
>> dy=diff(y,t);
>> y_prima=dy/dx
>> pretty(y_prima)
>> y2prima=diff(y_prima,t)/dx;
>> pretty(y2prima)
TRABAJO PRÁCTICO IX
CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB
Calcular las siguienetes derivadas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
− (3b + 2 x ) bx − x 2
b− x
3
1
1
y=
−
−
7
6
5
56 ( 2 x − 1)
24 ( 2 x − 1)
40 ( 2 x − 1)
y = 3b 2 arctg
⎛ x2 + 2 x + 1 ⎞
⎛ 2x ⎞
1
y=
ln ⎜
+
arctg ⎜⎜
⎟
⎟⎟
2
4 2 ⎜⎝ x 2 − 2 x + 1 ⎟⎠ 2 2
⎝ x −1 ⎠
2
2⎞
⎛
e− x arcsen ⎜ e− x ⎟
⎝
⎠ + 1 ln ⎛1 − e−2 x 2 ⎞
y=
⎜
⎟
2 ⎝
⎠
−2 x 2
1− e
y' =
(
1− e
)(
)
)
(
(
(
y' =
y'=
(
) (
)
1
1 + x3
1
4
1 + x4
−1
(1 − x ) 3 x
y'=
−8 x 2
1 + x2
b2 − a2 + 1
y' =
a + b cos ( x )
)
2
2
2
14 Hallar y ' ' si sen y − x − In y − x + 2 y − x − 3 = 0
3
y ' = sen 2 x cos 4 x
)
Hallar y ' ' si ax 2 + 2b x ⋅ y + cy 2 + 2d x + 2e y + k = 0
x +1
y ' = cos6 x
x 2 y + x3 −1
3
2
12 Hallar y ' ' si In x + yx − 5 = e
13
1
4
y'=
sen x
6
(
8
−2 x 2
)
⎛
⎞
8x 1 − x2 x4 − 6 x2 + 1
⎜
⎟
y = arctg ⎜
− 8x
2
2⎟
⎜ x 4 − 6 x 2 + 1 − 16 x 2 1 − x 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ b + a cos x + b2 − a2 senx ⎞
⎛ a −b x ⎞
2
⎟+
y = In ⎜
arctg ⎜⎜
tg ⎟
2
2
a + b ) cos x
a + b 2 ⎟⎠
⎜
⎟
(
⎝
−
a
b
⎝
⎠
2 ( 2 x − 1)
2
2⎞
⎛
2 xe− x arcsen ⎜ e − x ⎟
⎝
⎠
y' = −
1
1
1
⎛ 2x −1 ⎞
In (1 + x )1 In x 2 − x + 1 +
arctg ⎜
⎟
2
6
3
⎝ 3 ⎠
⎛ cos5 x 5
⎞ 15
+ cos3 x ⎟ + ( sen x ⋅ cos x + x )
⎜
⎜ 3
⎟ 48
4
⎝
⎠
4
⎛ 4 1 + x4 ⎞
1 ⎛ 1 + x 4 + x ⎞⎟ 1
⎟
y = ln ⎜
− arctg ⎜
4 ⎜ 4 1 + x4 − x ⎟ 2
⎜
x ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
3
2
sen x cos x ⎛ cos x 1 ⎞ 1
3
y=
+ ⎟ − ( sen x cos x − x )
⎜
⎜
⎟
2
4 ⎠ 16
⎝ 3
⎛
⎞
⎛ 1 + 23 x ⎞
1− 3 x
⎜
⎟
y = ln
+ 3 arctg ⎜
⎟
⎜
⎜⎜
2 ⎟⎟
3 ⎟⎠
3
3
⎝
⎝ 1+ x + x ⎠
y=
x2 − 1
y' =
1
y=
x
b− x
y' = 4 x
y '' =
⎛ y+x⎞
y '' = 6 ⎜
⎟
⎝ x2 ⎠
ctte
( bx + cy + e )3
y '' = 2
2
x −y
15 Hallar y ' ' si:
2
x2 + y2
−
+e
x
y
y '' = 0
=4
⎪⎧ x = a ⎣⎡ sen ( t ) − t cos ( t ) ⎦⎤
16 Hallar y ' ' si ⎨
⎪⎩ y = a ⎡⎣cos ( t ) + tsen ( t ) ⎤⎦
17 Hallar y ' ' '( x )
Hallar y ' ' '( x )
⎧
⎛ t⎞
⎪ x = In ⎜ tg 2 ⎟
⎝
⎠
⎪
si: ⎨
⎪ y = arctg ⎛⎜ sen ( t ) − cos ( t ) ⎞⎟
⎜ sen ( t ) + cos ( t ) ⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
d3y
dx3
⎧
⎛ ⎛ t ⎞⎞
⎪ x = In ⎜ tg ⎜ ⎟ ⎟ + cos ( t ) − sen ( t )
si: ⎨
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
⎪ y = sen ( t ) + cos ( t )
⎩
x2 + x +1
18 Hallar y si: y = 3
.
x − 7x + 6
(n )
y = x 2e2x
(n )
2a t sen3t
= cos ( 2t ) sen ( t )
sen( t )
⎡⎣cos ( t ) − sen( t ) ⎤⎦ cos3 ( t )
n
(
− 1) n! ⎡
=
20
7
28 ⎤
− 15
+
+
⎢
n +1
n +1
(x + 3)
(x − 2)n+1 ⎥⎦
⎣ ( x − 1)
(
20
y ( ) = 220 e 2 x x 2 + 20 x + 95
n
2 x
22 Hallar y ( n ) si: y = e x cos ( x )
(n)
⎡ ( a +1) x + 1⎤ e x
23 Hallar y si: y = e
⎢⎣
dx2
=
1
3 ⋅ 5 ⋅ 7 L ( 2n + 1) x
n
y( ) =
2n
n−3
50
y( ) = ( −2) e−2x ⎡−8x3 +12nx2 − 6n ( n −1) x + n ( n −1)( n − 2) ⎤
⎣
⎦
n
y ( ) si: y = x3e−4 x
21 Hallar y ( 20 ) si:
d2 y
y
19 Hallar y ( n ) si: y = x n x
20 Hallar
y '' = −
⎥⎦
)
π⎞
⎛
n
y( ) = 2 e cos ⎜ x + n ⎟
4⎠
⎝
n
a+1 x
y( ) = (a + 2)n ⎡e( ) +1⎤ ex
⎣⎢
⎦⎥
ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB
El cálculo de mínimos relativos de funciones no lineales se hace, con MATLAB, mediante la función:
>> fminsearch(funcion,x0)
>> [x,fvalor]=fminsearch(funcion,x0)
>> fminsearch(@fun,x0,options,p1,p2,...)
funcion es el nombre de una función que evalúa la
función f(x). Puede ser - un objeto inline o bien una
referencia a una m-funcion fun.m: @fun, x0 es un valor
"próximo" al mínimo que se busca
Devuelve el minimizador encontrado, x, y el valor de la
función en x (si el algoritmo no converge, x=NaN)
options permite dar valores a una serie de parámetros
que intervienen en el cálculo. Ver documentación de
MATLAB para más detalles. Si no se necesita, poner
una matriz vacía: [] en su lugar. p1,p2,... son
parámetros que serán pasados como argumentos a la
mfunción fun.m cuando sea llamada
La búsqueda de mínimos absolutos en un intervalo acotado de funciones escalares se hace mediante
>> fminbnd(funcion,x1,x2)
>> [x,fvalor]=fminbnd(funcion,x1,x2)
>> fminbnd(@fun,x1,x2,options,p1,p2,...)
>> [x,fval] = fminbnd(fun,x1,x2,opciones)
>> [x,fval,exitflag] = fminbnd(fun,x1,x2,opciones)
funcion es el nombre de una función que
evalúa la función f(x). Puede ser - un objeto
inline o bien una referencia a una m-funcion
fun.m: @fun, x1, x2 son los extremos del
intervalo
Devuelve el minimizador,x, y el valor de la
función en x
mismo significado que en los casos anteriores
En este caso en fval se devuelve el valor de la
función fun evaluada en la solución x
En el parámetro exitflag la función devuelve un
valor que describe la condición de salida de
fminbnd:
exitflag > 0 indica que la función converge a
la solución
exitflag = 0 indica que se ha excedido el
máximo número de evaluaciones de la función
exitflag < 0 indica que no se ha encontrado
solución
Para calcular el máximo de una función y = f( x ) en un intervalo [ a, b ] , hay que calcular el mínimo de
la función y = − f( x ) en el mismo intervalo
(
Hallar el mínimos absoluto para la siguiente funcion: f( x ) = sen In ( x )
f=
>> f=inline('sin(log(x))'),
Inline function:
>> syms x;
f(x) = sin(log(x))
>> xmin=fminsearch(f,1)
>> ezplot(f)
xmin =
>> ymin=subs(f,x,xmin)
0.2079
>> hold on
>> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3)
ymin =
>> grid on
)
-1.0000
( )
Hallar el mínimo absoluto para la siguiente funcion: f( x ) = sen x 2 In ( x )
∧
[0, π ]
f=
>> f=inline('sin(x^2).*log(x)');
>> syms x;
>> xmin=fminbnd(f,0,pi)
>> ezplot(f,[0,pi])
>> ymin=subs(f,x,xmin)
>> hold on
>> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3)
>> grid on
Inline function:
f(x) = sin(x^2).*log(x)
xmin =
2.2006
ymin =
-0.7820
Hallar el mínimo absoluto para la siguiente funcion: f( x ) = x3 − x
f=
>> f=inline('x^3-x');
>> syms x;
>> xmin= fminbnd(f,-1,1)
>> ezplot(f,[-2,2])
>> ymin=subs(f,x,xmin)
>> hold on
>> plot(xmin,ymin,'ko', 'linewidth',3)
>> ylim([-8 4]), box off;
en
[ −2, 2]
Inline function:
f(x) = x^3-x
xmin =
0.5774
ymin =
-0.3849
>> grid on
( )
Hallar un máximo relativo para la siguiente funcione: f( x ) = sen x 2 In ( x )
xmax =
>> f=inline('-sin(x^2).*log(x)');
>> g=inline('sin(x^2).*log(x)');
>> syms x;
>> xmax=fminbnd(f,0,pi)
>> ezplot(g,[0,pi])
>> ymax=-subs(f,x,xmax)
>> hold on
>> plot(xmax,ymax,'ko', 'linewidth',3)
>> grid on
1.4586
ymax =
0.3205
∧
[0, π ]
Hallar los mínimos y máximos para la siguiente funcione: f( x ) = 8 x −3 − 6 x −1
>> f=inline('-(8/x^3-6/x)');
xmin =
>> g=inline('8/x^3-6/x');
2.0000
>> syms x;
fval_1 =
>> [xmin,fval_1] = fminbnd(g,-5,5)
-2.0000
>> [xmax,fval] =fminbnd(f,-5,5)
xmax =
>> fval_2=-fval
-2.0000
>> ezplot(g,[-5,5])
>> hold on
fval =
>> plot(xmin,fval_1,'ko',
-2.0000
xmax,fval_2,'ko','linewidth',3)
>> grid on
fval_2 =
2.0000
Hallar los mínimos y máximos para la siguiente funcione: f( x ) = x 2 − 9
xmin1 =
>> f=inline('-(abs(x^2-9))');
>> g=inline('abs(x^2-9)');
>> syms x;
>> [xmin1,fval_1] = fminbnd(g,-4,0)
>> [xmin2,fval_2] = fminbnd(g,0,4)
>> [xmax,fval] =fminbnd(f,-3,3)
>> fval_3=-fval
>> ezplot(g,[-5,5])
>> hold on
>> plot(xmin1,fval_1,'ko', xmin2,fval_2,'ko',
xmax,fval_3,'ko','linewidth',3)
>> grid on
-183016/61005
fval_1 =
23/233852
xmin2 =
183016/61005
fval_2 =
23/233852
xmax =
-1/30023997515331
fval =
-9
fval_3 =
9
Graficar indicando, intersecciones con el eje x, puntos
máximos, mínimos y de inflexión
INSTRUCCION
Define variable
Define función
Calcula 1ra derivada
Calcula 2da derivada
f( x ) =
COMANDO
>> syms x;
>> f=(x^2-3*x+2)/(x^2+3*x+2)';
>> y_1=diff(f);
>> y_2= diff(f,2);
>> y_prima =simplify(y_1)
Simplifica las derivadas
>> y_segunda = simplify(y_2)
x 2 − 3x + 2
x 2 + 3x + 2
RESPUESTA
y_prima =
6*(x^2-2)/(x^2+3*x+2)^2
y_segunda =
-12*(x^3-6*x-6)/(x^2+3*x+2)^3
intersec_x =
Intersección_eje_x
>> intersec_x=solve(f)
[ 1]
[ 2]
pto_critico =
Puntos críticos
>> pto_critico=solve(y_prima)
[ 2^(1/2)]
[ -2^(1/2)]
3562/1251
-1781/1251 + 884/3117i
-1781/1251 - 884/3117i
Puntos de inflexión
>> p_i=solve(y_segunda)
P_I en formato numerico >> numeric(ans)
AQUÍ TERMINA EL ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS, AHORA TENEMOS QUE GRAFICAR , PARA ESTO:
Encuentra valores de y
Grafica
>> p1=2^(1/2);
>> p2=-2^(1/2) ;
>> p3=3562/1251;
>> y_1=subs(f,x,p1)
>> y_2=subs(f,x,p2)
>> y_3=subs(f,x,p3)
y_1 =
-34/1155
y_1 =
-0.0294
y_2 =
-1155/34
y_2 =
-33.9706
y_3 =
852/10151
y_3 =
0.0839
>> subplot(211)
>> ezplot(f,[-6,8])
>> ylim([-60 60]), box off;
>> grid on
>> subplot(212)
>> ezplot(f,[-1,9])
>> ylim([-0.5 0.5]), box off;
>> grid on
Graficar indicando, intersecciones con el eje x, puntos
máximos, mínimos y de inflexión
y_prima =
>> syms x;
>> f=x^3-9*x^2+15*x+3;
3*x^2-18*x+15
>> y_1=diff(f);
y_segunda =
>> y_2= diff(f,2);
>> y_prima =simplify(y_1)
6*x-18
>> y_segunda = simplify(y_2)
pto_critico =
>> pto_critico=solve(y_prima) [ 1]
>> p_i=solve(y_segunda)
[ 5]
>> eje_x=solve(f);
p_i =
>> intersec_x=numeric
3
(eje_x)
>> p1=1;
>> p2=5;
>> p3=3;
>> y_1=subs(f,x,p1)
>> y_2=subs(f,x,p2)
>> y_3=subs(f,x,p3)
Intersec_x =
6.6913 + 0.0000i
-0.1801 - 0.0000i
2.4889 - 0.0000i
y_1 =
10
y_2 =
-22
y_3 =
-6
>> ezplot(f,[-1,7])
>> ylim([-25 12]), box off;
>> grid on
TRABAJO PRÁCTICO X
f( x ) = x3 − 9 x 2 + 15 x + 3
ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB
Utilizando los comandos fminbnd, fminsearch mostrar claramente en la grafica los maximos y
minimos relativos y absolutos de las siguientes funciones:
[π , 2π ]
1
f( x ) = x ⋅ sen ( x ) ∧
2
f( x ) = sen ( x ) −
3
⎛π ⎞
f( x ) = cos ⎜ ⎟ ∧
⎝x⎠
4
f( x ) = 2− x sen ( x ) ∧
5
f( x ) = 2 x − x 2
6
f( x ) = In x 2 − 1 +
7
10
f( x ) = cos ( In ( x + 1) )
11
f( x ) = x3e 4 − x
12
f( x ) =
sen ( 3 x )
sen ( x )
13
f( x ) =
19
f( x ) = x x + 3
20
f( x ) = x 4 − x
21
f( x ) =
x +2
x −2
22
f( x ) = x3 +
14
f( x ) = 2 x 2 − 8 x + 5
23
f( x ) =
[ −3,3]
15
f( x ) = x 2 − x
24
f( x ) = cos ( x ) − cos 2 ( x ) ∧
[ −π , 2π ]
16
f( x ) = x 2 − 8 − 2
25
8
f( x ) = sen3 ( x ) − cos3 ( x ) ∧
[ −π , 2π ]
17
f( x ) =
9
f( x ) = sen ( x ) − sen ( 2 x ) ∧
[0, 2π ]
18
f( x ) =
sen ( 3 x )
3
(
[ −5,5]
[ −π , π ]
[ −2, 2]
∧
)
[ −π , π ]
∧
1
2
x −1
∧
2
[0, π ]
∧
x2 − x − 2
x −5
2
x + 10 x + 9
26
27
x 2 − 10 x + 9
In ( x )
x
12
x −1
x3 + 2
x
1
f( x ) = x 2 +
x2
4x
f( x ) =
x2 + 4
6x
f( x ) = 3 +
2
x +3
f( x ) = 3 x 4 − 6 x 2
Graficar las siguientes funciones, indicando, intersecciones con el eje x, puntos máximos,
mínimos y de inflexión
f( x ) = 2 xe − x
1
f( x ) = 2 x3 − 3 x 2 − 12 x + 8
7
2
f( x ) = 3 x5 − 20 x3
8
f( x ) =
2
x3
3
f( x ) = 6 x5 − 10 x3 + 2
9
f( x ) =
3 2
4
f( x ) = 3 x5 − 25 x3 + 60 x
10
f( x ) = x 8 − x 2
5
f( x ) = ( x − 1)
11
f( x ) =
6
(
f( x ) = 2 + x
2
2
( x + 2 )3
)e
− x2
12
f( x ) =
− x2
13
2
f( x ) = e8 x − x −14
14
f( x ) =
15
f( x ) = ( x + 1) In 2 ( x + 1)
16
f( x ) = 3 ( x − 2 ) + 3 ( x − 4 )
17
f( x ) = 2 x + 2 − 33 ( x + 1)
18
x
⎛
x2 ⎞ 2
f( x ) = ⎜ 2 + ⎟ e
⎜
2 ⎟⎠
⎝
x
x −1
2 x3 − 5 x 2 + 4 x
x2 − 2 x + 1
2 + x − x2
1 − 2 x + x2
CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB
1
x2 − 1
(
)
+ In x 2 − 1
2
2
2
En MATLAB se utiliza la función int para integrar la expresión simbólica f. Esta función intenta
encontrar la expresión simbólica F tal que diff(F)=f. Es posible que la integral (o antiderivada) no
exista en forma cerrada o que Matlab no pueda obtener la integral. En estos casos la función
devolverá la expresión sin evaluarla. La función int puede usarse de las siguientes formas:
Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por
>> int(S)
omisión.
Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable t.
>> int (f,’t’)
Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por
>> int (f,a,b)
omisión, evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas.
>> int (f,’t’, a,b) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable t, evaluada en el
intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas.
>> int (f,’m’,’n’) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por
omisión, evaluada en el intervalo [m,n], donde m y n son expresiones simbólicas.
Retorna un valor de doble precisión para x,
If X is already a double precision
>> double(x)
array, DOUBLE has no effect.
Para evitar posibles problemas, es recomendable especificar la variable independiente en la
derivación y en la integración simbólica.
Calcular la siguiente integral I =
∫(
)
2 x3 + 1
7
x 2 dx
>> syms x;
>> integrando=(2*x^3+1)^7*x^2;
>> resultado=int(integrando);
>> pretty(resultado)
I=
Esta última expresión es equivalente a
(
)
8
1
2 x3 + 1 solo que aquí la expresión es desarrollada
48
completamente.
x
∫ x2 + 1 dx
Calcular la siguiente integral I =
>> syms x;
>> resultado=int(x/(x^2+4));
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I =
ex
∫ 4 + 9e2 x dx
>> syms x;
>> integrando=exp(x)/(4+9*exp(2*x));
>> resultado=int(integrando);
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I =
∫
1/6 atan(3/2 exp(x))
arctg ( x )
x2
dx
>> syms x;
>> integrando=atan(x)/x^2;
>> resultado=int(integrando);
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I = e x sen ( x ) dx
∫
>> syms x; pretty(simple(int(exp(x)*sin(x))))
- 1/2 exp(x) (cos(x) - sin(x))
Calcular la siguiente integral I =
∫
6 x 2 + 22 x − 23
( 2 x − 1) ( x2 + x − 6 )
dx
>> syms x;
>> result2 = int((6*x^2 + 22*x - 23) / ((2*x - 1)*(x^2 + x - 6)));
>> pretty(result2)
Calcular la siguiente integral I =
x +1
∫ x3 − x2 − 2 x dx
1/2 log(x) - 2/3 log(x + 1) + 1/6 log(x - 2)
>> syms x; pretty(int((x-1)/(x^3-x^2-2*x)))
Calcular la siguiente integral I =
log(2 x - 1) - log(x + 3) + 3 log(x - 2)
∫
12dx
( 2 x − 1)
( 4 x2 − 4 x − 8)
3
>> syms x;
>> integ=12/((2*x-1)*sqrt(4*x^2-4*x8)^3);
>> resultado=int(integ);
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I =
∫
x 2 dx
x2 + 4 x − 5
>> syms x;
>> integ=(x^2)/sqrt(4*x^2+4*x-5);
>> resultado=int(integ);
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I =
∫
( x + 3) dx
x 2 3x2 + 2 x + 1
>> syms x;
>> integ=(x+3)/((x^2)*sqrt(3*x^2+2*x+1));
>> resultado=int(integ);
>> pretty(resultado)
Calcular la siguiente integral I =
cos ( x ) dx
∫ sen2 ( x ) − 6sen ( x ) + 5
>> syms x;
>> integrando=cos(x)/((sin(x))^2-6*sin(x)+5);
>> resultado=int(integrando);
>> result_simplificado=simplify(resultado)
>> pretty(result_simplificado)
Calcular la siguiente integral I =
∫
x + 2a a − x
dx
x+a a+x
>> syms x a;
>> integrando=((x+2*a)/(x+a))*sqrt((a-x)/(a+x));
>> resultado=int(integrando);
>> pretty(resultado)
- 1/4 log(sin(x) - 1) + 1/4 log(sin(x) - 5)
TRABAJO PRÁCTICO XI
CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
xdx
1
∫ (x
2
∫ (x − a ) (x − b )
3
I =∫
4
⎛ x3
1− x ⎞
⎟ dx
I = ∫⎜
+
⎜ x2 + 1
x ⎟
⎝
⎠
5
I =∫
6
I =∫
7
I =∫
8
I =∫
2
− 1) x − x + 1
dx
2
n +1
n
n −1
x−2
x x − 1 x2 − x + 1
x7
(1 − x 4 ) 2
dx
dx
x2
dx
1 + x3 + (1 + x3 )3
dx
x ⋅ 3 x (1 + 3 x ) 2
dx
( x − 1) ( x 2 − 2 x + 5)
2
dx
16
I =∫
17
I =∫
1− ex
18
I =∫
1
x
dx
32
I =∫
x −1
dx
x +1
33
6e 4 x
tan ( x )dx
19
∫
20
I = ∫ 4 + e dx
34
x
4
x
37
I =∫
dx
38
I =∫
39
I =∫
22
I =∫
3x + 2
dx
x −3
I =∫
1 + x8
dx
x
9
I =∫
x+2
dx
⋅
2
2 x + 3 3x + 11x + 10
24
⎛ x⎞
I = ∫ tgh−1 ⎜ ⎟ dx
⎝a⎠
10
I =∫
a−x
dx
a− x
25
I =∫
11
⎛
x3
1− x ⎞
⎟ dx
I = ∫⎜
+
⎜ x 2 + +1
x ⎟
⎝
⎠
26
I =∫
12
I = ∫ e x ( ctgx + In( senx) ) dx
27
I = ∫ tgh ( x )dx
13
I =∫
14
I =∫
15
I =∫
x
2
x − x −1
dx
( a + b ) + ( a − b ) x2
x5
( x2 + 9)
3
x2 + 9
+2
dx
40
dx
4 4
x +1
41
42
I =∫
I = ∫ sen 22 ( x ) dx
44
I =∫
I = ∫ cos37 ( x ) dx
45
I =∫
29
30
x8 + a
dx
3 + sen ( x )
4
sen3 ( 2 x )
sen5 ( x )
(sec
tg ( x )
9999
dx
cos ( x ) dx
⎞
⎟dx
⎟
⎠
dx
)
x +1
2
dx
( x + 1)dx
( x 2 + 2 x) x 2 + 2 x
x2 − 1
2
x 1 + 3x + x
4
dx
x3 + 4 x + 1
dx
x4 + x2 + 1
x + 2a a − x
I =∫
dx
x+a x+a
aIn ⎛⎜ x + a + x 2 + 2ax ⎞⎟
⎝
⎠ dx
I =∫
2
( x + a)
dx
I =∫
cos ( x) 1− sen( 2x) + 2cos2 ( x)
43
28
dx
a+x
dx
x
x2
I =∫
36
I=
11
35
2 − sen ( x )
)
⎛ x3 + 2 ⎞
1
I = ∫⎜
x − dx
⎟
⎜ x3 ⎟
x
⎝
⎠
⎛
x
I = ∫ ⎜ arcsenx +
⎜
1 − x2
⎝
I =∫
21
23
)(
I = ∫ x3 + 1 2 x 4 + 8 x
x +1
∫e
(
31
6
I =∫
x5
⎛ 1+ x ⎞
In ⎜
⎟ dx
1 − x2 ⎝ 1 − x ⎠
sen ( 2 x ) + 3cos ( x )
9 + 4 sen ( x ) − cos
2
In ⎛⎜ x + x 2 + 1 ⎞⎟
⎝
⎠ dx
2
x +1
( x)
dx
NOTACION SIGMA (SUMATORIAS) CALCULO DE AREAS POR SUMATORIAS Y SUMAS DE
RIEMANN CON MATLAB
Sumatorias
En la integral definida usaremos sumas de muchos números. Para expresar tales sumas en forma
compacta es conveniente utilizar la notación de sumatoria
Por ejemplo dado un conjunto de
∑
números {a1, a2 , a3 ,..., an } , el símbolo
n
∑ ak Representa la suma indicada o sumatoria. Es decir:
k =1
n
∑ ak =1 +a2 + a3 + L + an
La letra griega Sigma Mayúscula
∑
k =1
denota la sumatoria y ak representa el k-ésimo término. La letra
k se llama índice de sumatoria o variable de sumatoria y adquiere los valores enteros positivos
sucesivos. Los enteros 1 y n denotan los valores extremos del índice de sumatoria.
Propiedades de sumatorias
Si ak = c
∀ k ⇒
n
∑ c = nc
n
n
n
k =1
n
k =1
∑ ( ak − bk ) ∑ ak − ∑ bk
n
n
k =1
n
k =1
n
k =1
k =1
k =1
k =1
∑ ( ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
∑ cak = c ∑ ak
∀ c ∈ IR
k =1
Sumas telescópicas
n
n
∑ ⎡⎢⎣( k + 1)
∑ ( ak +1 − ak ) = an +1 − a1
k =1
k =1
2
(
)
− k 2 ⎤ = n + 12 − 1
⎥⎦
Sumas especiales
n
n ( n + 1)
k =1
2
∑ k = 1+ 2 + 3 +L+ n =
⎡ n ( n + 1) ⎤
∑ k =1 + 2 + 3 +L+ n = ⎢ 2 ⎥
⎣
⎦
k =1
n
3
3
3
3
n
n ( n + 1)( 2n + 1)
k =1
6
∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + L + n2 =
2
3
(
)
n
n ( n + 1) 6n3 + 9n2 + n −1
k =1
30
∑ k 4 = 14 + 24 + 34 + L+ n4 =
Suma de Riemann
Sea f definida en un intervalo cerrado [ a, b ] en la cual puede haber valores positivos y negativos e
[ a, b] en subintervalos (no
[ x0 , x1 ] , [ x1, x2 ] , . . . [ xn −1, xn ] donde n es un
incluso no necesita ser continua. Sea P cualquier división de
necesariamente de la misma longitud) de la forma
entero positivo por medio de los puntos a = x0 < x1 < x3 < L < xn = b y sea ∆x = xk − xk −1 una suma
de Riemann de f( x ) para P, es una expresión R p de la forma R p =
Donde xk es un numero de [ xk −1 , xk ] ∧
k = 1, 2, 3, 4, Kn
n
∑ f ( xk ) ∆xk .
k =1
Comandos de matlab
Realiza una suma simbólica, A+B
Entrega el resultado de la sumatoria de la expresión simbólica S respecto a
la variable simbólica v de a hasta b.
>> symadd(A,B)
>> symsum(S,v,a,b)
>>rsums(f)
Aproxima el valor de una integral definida para f desde 0 hasta 1 o desde a
hasta b por sumas de Riemann
>> rsums(f,a,b)
>> rsums(f,[a,b])
Hallar la suma de:
Solución Analítica
S=
S=
S=
S=
10
10
∑k
k =1
10
∑k
k =1
10
∑
k =2
10
∑k =
k =1
2
k4
∑ 2k ( k − 5 )
k =1
S=
Solución Matlab
10 (10 + 1)
= 55
2
10
∑ k2 =
k =1
10
10 (10 + 1)( 20 + 1)
= 385
6
S = ∑ k4 −1 =
k =1
10
10(11)( 6000)+9000+10-1
-1 = 25332
30
10
k =1
S=
55
>>S=symsum(k^2,1,10);
S=
385
>>symsum(k^4,1,10);
S=
25,332
>> symsum(2*k*(k-5),1,10);
ans =
22
10
S = ∑ 2k ( k − 5) = 2 ∑ k 2 −10 ∑ k = 220
k =1
>>S=symsum(k,1,10);
k =1
ss
Hallar la suma de: S =
3
2k
∑ k + 1)
k =0 (
El programa solicita una ecuación de sumatoria y retorna un valor numérico equivalente al resultado
de la sumatoria. k que representa el índice en la sumatoria, la variable g sirve para almacenar la
ecuación que se pide evaluar.
Solución Analítica
Solución Matlab
20
21
22
23 16
S=
+
+
+
=
0 +1 1+1 2 +1 3 +1 3
La entrada es
>> syms g k;
>> g = input('introduzca la función a evaluar:');
(2 ^ k)/( k + 1)
>> S = symsum(g,0,3)
S=
16/ 3
Calculo de áreas con sumatorias
La definición de la integral definida esta íntimamente relacionada con las áreas de ciertas regiones en
un plano coordenado. Se puede calcular fácilmente el área de una región si la misma está acotada
por rectas. Por ejemplo, el área de un rectángulo es el producto de longitud y su anchura. El área de
un triángulo es la mita del producto de una de sus alturas por la base correspondiente, etc. El área
debe satisfacer cinco propiedades:
1. El área de una región plana es un número real no negativo
2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos medidos en las mismas
unidades). El resultado esta en unidades cuadradas, por ejemplo pies cuadrados o
centímetros cuadrados.
3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.
4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta, es la
suma de las áreas de las dos regiones.
5. Si una región esta contenida en una segunda región, entonces el área de la primera región es
menor o igual al de la segunda.
Cuando consideramos una región con frontera curva, el
problema de asignar un área es significativamente más
difícil. Sin embargo hace más de 2000 años,
Arquímedes proporcionó la clave de la solución.
Él dijo considérese una sucesión de polígonos inscritos
que aproximen a la región curva con precisión cada vez
mayor. Arquímedes fue mas allá considerando también
polígonos circunscritos, demostró que se obtiene el
mismo valor para el área del circulo de radio 1 si se
inscriben o circunscriben polígonos.
Área de polígonos inscritos (Área menor)
Sea R una región de un plano coordenado acotado por las rectas
verticales x = a ∧ x = b por el eje x y por la gráfica de una función
f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [ a, b ] , como
f ≥ 0 para todo x en [ a, b ] , ninguna parte de la gráfica está debajo del
eje x .
Sea n un entero positivo arbitrario, se divide el intervalo [ a, b ] en n
b−a
. Esto se hace escogiendo
n
números x0 , x1, x2 ,..., xn con a = x0 ∧ b = xn .
b−a
Para k = 1, 2, 3,..., n . Si la amplitud
se denota por ∆x , entonces para cada k , ∆x = xk − xk −1 y
n
xk = xk −1 + ∆x . Como f es continua en cada subintervalo [ xk −1, xk ] , f alcanza un mínimo en
subintervalos de la misma amplitud
algún número mk del subintervalo. Para cada k se construye un rectángulo de anchura ∆x y una
( ) del eje x a la gráfica de f , como se ilustra en la figura. El
f ( m ) ∆x . La frontera de la región formada por todos estos
altura igual a la distancia mínima f m
área del k-ésimo rectángulo es
k
k
rectángulos es el polígono rectangular inscrito correspondiente a la subdivisión de
[ a, b ]
en n
subintervalos iguales. El área de este polígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos
componentes, es decir,
A(R ) =
( ) es el mínimo (altura mínima) de
Donde f m
k
n
∑ f ( mk ) ∆xk
k =1
f en [ xk −1, xk ] , si n es muy grande y si ∆x es muy
pequeño, entonces la suma de las áreas de los rectángulos debe ser casi igual al área total R. Si A
n
denota el área de R entonces la diferencia
A ( R ) − ∑ f ( mk ) ∆xk , es el área de la región no
k =1
sombreada que se encuentra bajo la gráfica de f y arriba del polígono rectangular inscrito. Este se
puede considerar como el error que se comete al usar el área del polígono rectangular para estimar
el área de A. Se ve que el error se hace tan pequeño como se desee escogiendo rectángulos de
anchura ∆x muy pequeña
Área por medio de polígonos circunscritos (Área mayor)
( ) (ver figura). Su área
Considérese un rectángulo representativo con base [ xk −1 , xk ] y altura f m
k
es la unión Sn de los rectángulos que forman un polígono circunscrito para la región S .
( ) se calcula en analogía con el calculo del área usando
El área A S
n
polígonos inscritos.
El número M
k
es la altura en [ xk −1 , xk ] en el que f( x ) alcanza su
valor máximo (el punto xk del subintervalo)
A ( R k ) = f ( M k ) ∆x ⇒
A ( Sn ) =
n
∑ f ( xk ) ∆x
k =1
Ejemplos
Calcular el área bajo la curva f( x ) = 16 − x 2 en [ −3, 3] , dividiendo en 6 subintervalos.
Solución analítica. Si se divide el intervalo [ −3, 3] en 6
subintervalos iguales, entonces la longitud de delta x de cada
subintervalo es
b − a 3 − ( −3)
=
= 1 , con a = −3 ∧ b = 3 ,
n
6
n
A = ∑ f ( mk )∆xk = 1⎡⎣ f ( −3) + f ( −2) + f ( −1) + f (1) + f ( 2) + f ( 3) ⎤⎦
k =1
= 1[ 7 +12 +15 +15 +12 + 7] = 1[ 68] = 68
Solución en Matlab, creamos una función denominada Areapol
a la cual le pasamos como parámetro la formula a evaluar, el
intervalo y el valor de n respectivamente, cabe señalar que para
este caso se utilizaron las propiedades de la sumatoria.
El programa lee del teclado la formula, y los valores extremos de
la curva en cuestión así como el valor de los subintervalos
function Areapol(f,a,b,n)
syms k ;
deltax = (b - a)/n;
u = subs(f,'x',deltax*k);
s1=symsum(u*deltax,1, n);
disp(s1);
>> syms x;
Escribimos en la línea de comandos la sentencia para llamar a la
>> f = 16-x^2;
función
>> Areapol(f,-3,3,6)
=
La respuesta es
5
Calcular el área bajo la curva f( x ) = x 2 en [ 0, 2] , con n = 10
Para la solución analítica, tenemos el intervalo: ∆x =
b−a 2−0
=
= 0.2
10
n
10
A( Sn ) = ∑ f ( xk )∆x = ∆x ⎡⎣ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 ) + f ( x5 ) + L+ f ( x10 ) ⎤⎦
k =1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 0.2 ⎡⎢( 0.2) + ( 0.4) + ( 0.6) + ( 0.8) + (1) + (1.2) + (1.4) + (1.6) + (1.8) + ( 2) ⎤⎥
⎣
⎦
= 0.2[ 0.04 + 0.016 + 0.36 + 0.64 +1+ 1.44 +1.96 + 2.56 + 3.24 + 4] = 3.08
Solución en Matlab con la función Areapol creada
anteriormente. (se calcula del mismo modo salvo por el valor
>> syms x; f = x^2; Areapol(f,0,2,10)
de m que usa como mínimo el polígono inscrito y el valor
k
M k que usa el polígono circunscrito como máximo.
La respuesta es
=
3.0800
1 3
Hallar el área bajo la curva f( x ) = x + 1 Divida el intervalo [0, 3] en 30 subintervalos de
4
3 3
= 0.1 considerando el correspondiente polígono circunscrito S30 .
longitud ∆x = =
n 30
Para la solución analítica. El f x ∆x = ⎡ 1 0.1k 3 +1⎤ 0.1 = ⎛ 0.001 k3 +1⎞ 0.1 = 0.0001 k3 + 0.1
( k) ⎢ ( ) ⎥ ⎜
⎟
área del k-ésimo rectángulo es
4
⎣4
⎦
⎝ 4
⎠
A( Sn ) = f ( x1 ) ∆x1 + f ( x2 ) ∆x2 + f ( x3 ) ∆x3 + L+ f ( x30 ) ∆x30
Por lo que
30
Utilizando las propiedades de la
sumatoria y las formulas para
las sumas especiales tenemos:
30
0.0001 3 30
0.0001 30 3
k + ∑ 0.1 =
∑k +3
4
4 k =1
k =1
k =1
A( Sn ) = ∑ f ( xk )∆xk = ∑
k =1
=
0.0001( 216,225)
0.0001 ⎡ 30 +1⎤
21.6225
30
+3 =
+3 =
+ 3 = 8.41
⎢
⎥
4 ⎣
2 ⎦
4
4
2
>> syms x; f = ((x^3)/4) + 1;
>> Areapol(f,0,3,30)
ans =
Solution Matlab
La respuesta es
8.4056
Ejemplos
Evalúe la suma de Rieman para f( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [-1, 2] usando los puntos de la
partición, con la separación equidistante, -1< -0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 con el punto de
muestra xk Como el punto medio del i-ésimo intervalo.
6
( )
Rp = ∑ f xk ∆xk = ∆x ⎡⎣ f ( −0.75) + f ( −0.25) + f ( 0.25) + f ( 0.75) + f (1.25) + f (1.75) ⎤⎦
k =1
= 0.5[1.5625 +1.0625 +1.0625 +1.5625 + 2.5625 + 4.0625] = 5.9375
Solución con Matlab, creamos la función Sriemann, a la cual le
enviamos como parámetro la suma a evaluar y el intervalo. Primero
calculamos la distancia entre los puntos equidistantes para
encontrar el valor de xk como los puntos medios de cada
subintervalo, los sustituimos en la función y almacenamos los
resultados en el vector u , luego sumamos los elementos del vector
para multiplicarlo con el valor de ∆xk y así tenemos el valor de la
suma, luego mandamos a graficar la suma.
Escribimos en la línea de comandos la siguiente sentencia
La función rsums de MATLAB, crea la grafica de la suma
de Riemann en forma interactiva, donde pueden hacerse
las modificaciones necesarias para visualizar el
comportamiento de esta para diferentes valores.
La respuesta es
=
5.9375
function Sriemann(f,a,b)
xmed = (b - (b-1))/2;
j=1;
for i=a:xmed:b-xmed
u(j) = subs(f,'x',i+(xmed/2));
j=j+1;
end
s1=sum(u)*xmed;
disp(double(s1));
rsums(f,a,b)
>> syms x;
>> Sriemann(x^2 + 1,-1,2);
Calcular el área de f( x ) = 4 − x en [-4,4]
Con la función Sriemann,
>> syms x;
escribimos en la línea de
>> Sriemann( 4-abs(x) ,-4,4);
comandos
La
respuesta
del =
programa
16
Respuesta de la ventana
grafica
2.006920
La respuesta correcta
16
Calcular el área de f( x ) = 2 x en [0,4]
Con la función Sriemann,
>> syms x;
escribimos en la línea de
>> Sriemann(2*sqrt(x),0,4);
comandos
La
respuesta
del =
programa
10.7045
Respuesta de la ventana
2.667514
grafica
La respuesta correcta
Rpta : 32 / 3
Calcular el área de f( x ) = x3 en [-1,1]
>> syms x;
Con la función Sriemann,
>> Sriemann(x^3,,1);
La respuesta es
=
0.2188
Rpta :
1
2
Como se ve este calculo no es exacto esto depende de la longitud de ∆x = xk − xk −1
Recuerde que en la función Areapol es la ecuación de la curva a evaluar, el intervalo es [ 0, 2] , y 10
es el numero de subintervalos ( n ) en los que dividimos la curva. Concluimos que si ∆xk se hace muy
pequeño tendiendo al cero y si n se hace muy grande tendiendo a infinito tenemos el valor más
exacto para el área buscada. Si usted quiere, realice varias pruebas utilizando esta función e
incremente n en cada una de ellas para verificar la proximidad del área al valor de A(Sn )=2.67
TRABAJO PRÁCTICO XII
SUMATORIAS Y CÁLCULO DE AREAS POR SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB
Hallar la suma de:
1000
1
2
⎛ k +1 ⎞
S = ∑ In ⎜
⎟
k +3⎠
k =1 ⎝
S=
300
1
∑ 4k 2 − 1
3
S=
2000
∑
k =1
4
S=
k =1
k +2
k ( k + 1) 2
1000
∑
5
k
S=
106
⎛
1
⎞
∑ arctg ⎜⎝ 1 + k + k 2 ⎟⎠
k =1
k2
6
2
k =1 4k − 1
S=
1020
2k + 3k
k =0
5k
∑
Calcular el área de las regiones por sumatorias
1
f( x ) = 10 − x 2 en [1, 3]
A = 34 / 3
4
f( x ) = x 2 − x3 en [ −1, 0 ] ,
A = 7 /12
2
f( x ) = 3 x 2 + 5 x + 2 en [ 2, 4] ,
A = 90
5
f( x ) = 4 x3 + 2 x en [ 0, 3] ,
A = 90
3
f( x ) = x 2 − 2 x + 3 en [ −2,1]
A = 15
6
f( x ) = 3 + x + x3 en [ −1, 2 ]
A = 57 / 4
Estimar el área de las regiones por sumas de Riemann
1
f( x ) = ( x − 1)
2
4
f( x ) = 3x − 3x 2 − x3 en [ 0,1]
3
3
en [3,8]
2385
4
1
A=
6
A=
3
⎡ π π⎤
f( x ) = cos ( x ) en ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦
A=2
4
y = 3 x 2 ∧ y = −1 − 3x 2 en [ 0, 3] ,
A = 57
En los últimos tres ejemplos desarrollados observe que la respuesta generada por el
programa Sriemann, y la respuesta generada en la ventana grafica son diferentes explicar a que se
debe esto.
En los problemas siguientes use MATLAB para calcular la suma de Riemann con los datos
que se dan, cree la función que da la solución y grafique.
1
f( x ) = x − 1 con la partición p : 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7
y los correspondientes puntos
muestras x1 = 3, x2 = 4 x3 = 4.75, x4 = 6, x5 = 6.5
x
f( x ) = − + 3 con la partición p : −3 < −1.3 < 0 < 0.9 < 2 y
2
muestras x1 = −2, x2 = −0.5 x3 = 0, x4 = 2
2
3
f( x ) = x3 − 5 x 2 + 2 x + 8 + 3 con la partición
los
correspondientes
puntos
x1 = 0.5, x2 = 1.5 x3 = 2.5, x4 = 3.6, x5 = 5 y los
correspondientes puntos muestras p : 0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5
4 f( x ) =
x2
+x ∧
2
5 f( x ) = 4 x 3 + 1 ∧
[ −2, 2] Se divide en ocho subintervalos iguales,
[0,3] Se divide en seis subintervalos iguales,
xi es el punto medio.
xi es el punto extremo derecho.
CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS APLICACIONES CON MATLAB
n
∑ ( )
f xk ∆xk , entonces,
Sea f( x ) una función definida en un intervalo cerrado [ a, b ] , si existe lim
p →∞ k =1
decimos que f( x ) es integrable en [ a, b ] . Además
b
∫ f( x )dx
se denominada integral definida de f( x )
a
b
desde a hasta b , y está dada por:
∫ f( x )dx =
a
lim
∑ f (Wk )∆xk
p →∞ k
Entonces, si existe la integral definida de f( x ) entre a y b (o de “ a ” a “ b ”), entonces se dice que
f( x ) es integrable en [ a, b ] y que la integral
b
∫ f( x )dx existe, al proceso de determinar el número
a
representado por el límite se llama evaluar la integral.
El símbolo
∫
en la definición es el símbolo de integral y se usa para indicar la relación entre las
integrales definidas y las sumas de Riemann. Los números a y b se llaman extremos(o límites) de
integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior. La expresión f( x ) que aparece a la
derecha del símbolo de integración se llama integrando. Y el símbolo diferencial dx esta relacionado
con el incremento ∆xk de una suma de Riemann de f( x ) .
Se notara que hemos modificado la noción de nuestro análisis del área realizado anteriormente,
ahora permitimos de que f( x ) puede ser negativa en parte o todo [ a, b ] , utilizamos particiones con
subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y se permite que xi sea cualquier punto del ib
ésimo subintervalo. Ahora precisemos la relación entre la integral definida y el área.
∫ f( x )dx
que da
a
el área con signo de la región encerrada entre la curva f( x ) y el eje x en el intervalo [ a, b ] , queriendo
decir que asocia un signo positivo a las áreas de partes que están por arriba del eje x y se asocia un
signo negativo a las partes que están abajo del eje x . Esto es:
b
∫ f( x )dx = area arriba - area abajo
a
Propiedades de la integral Definida
b
1. Al definir
∫ f( x )dx ,
implícitamente supusimos que a < b , con las propiedades siguientes
a
a
eliminamos esa restricción.
∫ f( x )dx = 0
a
∧
b
a
a
b
∫ f( x )dx = −∫ f( x )dx
2. Si f( x ) es continua en [ a, b ] y f( x ) ≥ 0 para todo x en [ a, b ] , entonces, la integral
b
∫ f( x )dx es
a
el área bajo la curva entre a y b . Análogamente si a < c < b , entonces las integrales
c
∫
b
f( x ) dx y
a
∫ f( x )dx
son las áreas bajo la curva entre a y c y entre c y b , respectivamente.
c
Entonces.
b
c
b
a
a
c
∫ f( x )dx = ∫ f( x )dx + ∫ f( x )dx
3. Comparación. Si f( x ) y g( x ) son integrables en [ a, b ] , si f( x ) ≤ g( x ) para toda x en [ a, b ] ,
entonces
b
∫
b
f( x ) dx ≤ ∫ g( x ) dx
a
a
4. Acotamiento. Si f( x ) es integrable en [ a, b ] y m ≤ f( x ) ≤ M para toda x en [ a, b ] , entonces
b
m ( b − a ) ≤ ∫ f( x ) dx ≤ M ( b − a )
a
5. Linealidad. Si f( x ) y g( x ) son integrables en [ a, b ] , y que k es una constante entonces
kf( x ) y f + g son integrables, esto es:
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
∫ kf( x )dx = k ∫ f( x )dx ∧
∫ ⎡⎣ f( x ) ± g( x ) ⎤⎦ dx = ∫ f( x )dx ± ∫ g( x )dx
6. Valor medio para integrales. Sea f( x ) continua en
[ a, b ] .
El valor medio(o promedio)
f( x ) de f( x ) en [ a, b ] es
b
1
f( x ) =
f dx
b − a ∫ ( x)
a
7. Simetría
a
a. Si f( x ) es función par, entonces
∫
−a
a
f( x ) dx = 2∫ f( x ) dx
0
a
b. Si f( x ) es una función impar, entonces
∫
−a
f( x ) dx = 0
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea f( x ) continua en el intervalo cerrado [ a, b ] y sea x
un punto (variable) en ( a , b ) . Entonces
x
⎞
d ⎛
⎜ ∫ f( t ) dt ⎟ = f( x )
⎟
dx ⎜
⎝0
⎠
Segundo teorema fundamental del cálculo. El primer teorema fundamental del cálculo, proporciona
la relación inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque no es aparente esta relación
nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales definidas. Esta herramienta se
denomina el segundo teorema fundamental del cálculo, y lo aplicaremos con mucha más frecuencia
que el primer teorema.
Sea f( x ) continua e integrable en [ a, b ] , y sea F cualquier antiderivada de f( x ) en [ a, b ] . Entonces
b
∫ f( x )dx = F ( b ) − F ( a )
a
No toda función es integrable en un intervalo
[ a, b ] ,
por ejemplo la función no acotada
⎧ 1 x≠0
⎪
f( x ) = ⎨ x 2
no es integrable en el intervalo [-2, 2], puede demostrarse que para esta función no
⎪⎩1 x = 0
acotada la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente grande. Por lo tanto el límite de la suma
de Riemann no existe en [-2, 2].
Teorema de integrabilidad. Si f( x ) es continua y acotada en [ a, b ] , excepto en un número finito de
puntos, entonces f es integrable en [ a, b ] . En particular, si f es continua en todo el intervalo [ a, b ] ,
es integrable en todo [ a, b ] . Como consecuencia de este teorema, las funciones siguientes son
integrables en todo el intervalo cerrado [ a, b ] .
•
•
•
Funciones polinomiales
Funciones seno y coseno
Funciones racionales, con tal que el intervalo
[ a, b ]
no contenga puntos en donde el
denominador sea cero.
Aplicaciones de la integral definida
Área de una curva acotada por los ejes. Considérese la
región R acotada por las gráficas de y = f( x ) , x = a , x = b y
y = 0 . Nos referimos a R como la región bajo y = f( x ) entre
x = a , x = b . Su área esta dada por:
b
A ( R ) = ∫ f( x ) dx
a
Área entre dos curvas. Considérese las curvas y = f( x ) y
y = g( x ) con g( x ) ≤ f( x ) en a ≤ x ≤ b . Ellas determinan la
región que se muestra en la figura Note que f( x ) − g( x ) da la
altura, aun cuando la grafica de g( x ) este por debajo del eje x .
El área esta dada por:
b
A ( R ) = ∫ ⎡ f( x ) − g( x ) ⎤ dx
⎣
⎦
a
Comandos de Matlab
>>rsums(f)
>> rsums(f,a,b)
>> rsums(f,[a,b])
rr
Aproxima el valor de una integral definida para f desde 0 hasta 1 o desde a
hasta b por sumas de Riemann
Aproxima la integral desde a hasta b ya sea un calculo numérico o
simbólico Se puede modificar a gusto el numero de subdivisiones del
intervalo de integración moviendo el cursor (a derecha o izquierda) que
aparece en la base de la ventana grafica.
1
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I = e −5 x dx
∫
2
0
Calculo de la integral
Resultado numérico
>> syms x
>> f= exp(-5*x^2)
>> I=int(f,0,1)
>> double(I)
f=
exp(-5*x^2)
I=
1/10*erf(5^(1/2))*5^(1/2)*pi^(1/2)
ans =
0.3957
La aproximación por >> rsums exp(-5*x^2)
sumas de Riemann
2
∫
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I = xe x dx
0
Calculo de la integral
Resultado
>> syms x
>> f= x*exp(x)
>> I2=int(f,0,2)
>> double(I2)
I=
exp(2)+1
ans =
8.3891
La aproximación por
sumas de Riemann
>> rsums('x.*exp(x)',[1,2])
∫ cos ( x
0.5
Calcule la integral y compare con su aproximación por sumas de Riemann I =
0
Calculo de la integral
Resultado
>> syms x
>> f= cos(x^2)
>> I2=int(f,0,0.5)
>> double(I2)
ans =
0.4969
La aproximación por
sumas de Riemann
>> rsums('cos(x^2)',[0,1])
es definidas
2
) dx
1
Para la integral I =
x
∫ x2 + 1 dx
0
Su Solución
>>y=x/(x^2+1)
>>int(y,0,1)
ans=
1/2*log(2)
El resultado en forma numérica:
>>numeric(ans)
ans =
0.3466
Para mas decimales:
>>vpa(ans,6)
ans =
.346574
Calcular las siguientes integrales definidas
5
I = ∫ x 2 − 4 dx
2
2π
I=
sen ( x ) dx
∫
0
4
x2 − 4
dx
x
I =∫
2
π
x sen ( x )
I=∫
2
0 1 + cos ( x )
3
x2
2
(1 + x )
I =∫
3
3
∫
dx
dx
I=
I=
∫
xe
>> syms x;
>> double(int(sqrt(x^2 - 4) / x,2,4))
ans =
>> syms x;
>> double(int(x*sin(x)/(1+(cos(x)) ^2),0,pi))
ans =
(pi)^2/4
>> syms x;
>> double(int(x^2/(1+x^3)^3,2,3))
ans =
>> syms x;
>> double(int(1/(1+x^2),-inf,inf))
>> syms x;
>> double(int(abs(x)*exp(-x^2),-inf,inf))
dx
I=
(
−1
π
2
)
x
5
∫ cos ( x )
>> syms x;
>> double(int(((1-x^3)^(1/3))/x^5,-1,1))
0
∞
I = ∫e
− ax
ans =
0/0
dx
6 sen ( x ) − sen
ans =
1
1
1 1 − x3 3
∫
ans =
355/113
−∞
I=
ans =
109/3
dx
∫
ans =
4
>> syms x;
>> double(int(abs(x^2+x-6),-4,4))
x + x − 6 dx
2
−∞ 1 + x
∞
− x2
>> syms x;
>> double(int(abs(sin(x)),0,2*pi))
352/190783
2
−4
∞
ans =
32.0780
1.3697
4
I=
>> syms x;
>> double(int(x*sqrt(x^2 - 4),2,5))
2
( x )dx
cos ( bx ) dx
0
>> syms x a b;
>> int(exp(-a*x)*cos(b*x),0,inf)
>> pretty(ans)
>> syms x;
ans =
>> int(cos(x)*sqrt(6*sin(x) sin(x)^2),0,pi/2)
-5^(1/2)-9/2*asin(2/3)+9/4*pi
= 1.5487
ans =
limit(-(a*exp(-a*x)*cos(b*x)-b*exp(-a*x)*sin(b*x)-a)/(a^2+b^2),x = inf)
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x 4 − 2 x3 + 2 en [ −1, 2 ]
ans =
5.1000
>> syms x;
>> f =(x^4 -2*x^3 + 2);
>> disp(double(int(f,-1,2)))
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y =
x2
− 4 , el eje x , x = −2 y x = 3
3
ans =
>> syms x;
>> f =-1*((x^2)/3 - 4);
>> disp(int(f,-2,3))
145/9
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x3 − 3 x 2 − x + 3 , x = −1 y x = 2
ans =
>> syms x;
>> f =x^3 - 3*x^2 - x +3;
>> disp((int(f,-1,1) - int(f,1,2)))
23/4
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y = x 4 y y = 2 x − x 2
Creamos una función denominada Area2c y le mandamos como parámetro las dos curvas a evaluar.
En esta función encontramos los puntos de intersección de las curvas que ocuparemos como límites
de integración y evaluamos mediante puntos de muestra si g( x ) ≤ f( x ) para hacer g( x ) − f( x )
function Area2c(f,g)
a = solve(f - g); % Calcula los puntos de intersección
m=double(subs(f, a(1)+0.1)); % Evalúa un punto muestra incluido en el intervalo
n=double(subs(g, a(1)+0.1));
if m < n % verifica el mayor valor para restarlo con el menor
disp(int(g - f, a(1), a(2)));
else
disp(int(f - g, a(1), a(2)));
end
E la línea de comandos la >> syms x;
sentencia para llamar a la >> f = x^4;
función
>> g = 2*x - x^2;
>> Area2c(f,g)
La respuesta es:
ans=
7/15
Encuentre el área de la región R limitada por las curvas: y 2 = 4 x y 4 x − 3 y = 4
Creamos la función llamada Area2c1 a partir de la función Area2c creada anteriormente con la
variante que ahora las rebanadas se hicieron horizontales en función de y, en la cual le mandamos
solamente las dos curvas. Dentro de la función se realizan el resto de procedimientos necesarios para
esta evaluación
function Area2c1(f,g)
% Esta función calcula el área entre dos curvas que se intersecan en dos
% puntos comunes.
%encuentra los puntos de intersección de las curvas
[x,y]=solve(g,f);
f = solve(f, 'x'); %para integrar horizontalmente despejamos x en ambas curvas
g = solve(g, 'x');
m=double(subs(f, y(1)+0.1)); %evaluamos un punto incluido en el
,
……………………………………………%subintervalo por cada curva
Escribimos desde la ventana
de comandos la sentencia
La respuesta es:
n=double(subs(g, y(1)+0.1));
if m < n%Evalua el valor más grande de x para restarlo al más pequeño
disp(double(int(g - f, y(1), y(2))));
else
disp(double(int(f - g, y(1), y(2))));
end
>> syms x y;
>> Area2c1(y^2 - 4*x, 4*x - 3*y - 4)
ans=
125/4
Momentos y centros de masa
En esta sección se presentan métodos para calcular los momentos y centros de masa de una lamina
(una placa plana y delgada).
Supóngase que dos masas de tamaños m1
∧ m2 se colocan en un sube y baja a distancias
respectivas d1 y d2 del punto de apoyo en los lados opuestos. El sube y baja se equilibrará si y solo
si d1 ⋅ m1 = d 2 m2 . Un buen modelo matemático para esta situación se obtiene de reemplazar este
sube y baja por un eje coordenado horizontal que tenga su origen en el punto de apoyo.
El producto de la masa de una partícula por su distancia desde un punto (brazo de palanca) se
denomina momento de la partícula con respecto a ese punto. Y mide la tendencia de la masa a
producir una rotación alrededor de ese punto.
Sea “l” una recta de coordenada y S un conjunto de n partículas de masas m1, m2 , m3,K, mn
localizadas en los puntos de coordenadas x1, x2 , x3,K, xn respectivamente. m =
total.
∑i =1 xi ⋅ mi
n
•
El momento de S con respecto al origen es M =
•
El centro de masa de S es el punto con coordenada x tal que
n
∑ xi ⋅ mi
M i =1
n
x=
=
= mx = ∑ k =1 mk xk
n
m
∑ mi
i =1
∑ i =1 mi
n
Sea la masa
El número m ⋅ x en la definición anterior se puede considerar como el momento de una partícula de
masa m colocada en el punto con coordenada x .
Sea f( x ) una función continua y no negativa en [ a, b ] . Si una lámina homogénea con densidad
superficial δ tiene la forma de la región bajo la gráfica de f entre a y b , entonces
•
La masa de la lámina es m = δ
b
∫ f ( x ) dx
a
•
Los momentos M y y M x de la lámina son M x =
δ
b
⎡ f ( x ) ⎤⎦ dx y M y = δ ∫ x ⋅ f ( x ) dx
2 ∫⎣
a
•
b
2
a
( )
El centro de masa ( gravedad) de la lámina , el punto P x, y tal que m y = M x y mx = M y
b
Resolviendo tenemos:
x=
My
m
δ
δ ∫ x ⋅ f ( x ) dx
= a
b
δ ∫ f ( x ) dx
∧
M
y= x =
m
a
b
⎡ f ( x ) ⎦⎤
2 ∫⎣
2
dx
a
b
δ ∫ f ( x ) dx
a
Las coordenadas del centro de masa dependen sólo de la forma de la lámina y no de su densidad
Ejemplos
Hallar las coordenadas del centroide de la región acotada por y = x 2 + 1 x = 0 , x = 1 y y = 0
Creamos la función centrom( ); a la cual le mandamos como parámetro la curva y los puntos en
( )
donde es acotada la lámina. Como resultado tenemos el punto P x, y mandamos a graficarlo.
function centrom(f, a, b)
% Calcula centro de masa de lamina homogenea con densidad rho = 1
syms x;
m = int(f,a,b); % Calcula la masa de la lamina
Mx = 1/2*int(f^2,a,b); % Calcula los momentos Mx y My
My = int(x*f,a,b);
v(1) = My/m; % Calcula el centro de masa
v(2) = Mx/m;
disp(v);
c =['y = ',char(f)];
u=-2:.01:2;
%Grafica el centro de masa y la región de la lámina
plot(u,double(subs(f,'x',u))),title('Centro de masa de
una lamina'),
text(b+0.5,subs(f,'x',b)+0.5,c);
axis([-5,5,-5,5]),
text(double(v(1)),double(v(2)),'*');
line([-5 0; 5 0], [0 -5; 0 5],'LineStyle','-');
line([a, a]', [0, subs(f,'x',a)]', 'color', 'r');
line([b, b]', [0, subs(f,'x',b)]', 'color', 'r');
Escribimos desde la
>> syms x;
ventana de comandos
>> centrom(x^2 + 1, 0, 1)
La respuesta es:
ans=
[ 9/16, 7/10]
Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x 2 y y = x
Para hacer la programación mas sencilla, creamos la función denominada centroide() a la cual le
mandamos como parámetro las dos curvas y los límites de integración
function centroide(f,g,a,b)
% Esta funcion calcula el centroide entre las curvas %f(x) y g(x)
syms x;
f = solve(f, 'y'); % Se deja la funcion dependiendo %de x
g = solve(g, 'y');
% Verifca si f(x)>g(x) y realiza la resta
if double(subs(f, 'x', a+0.1)) < double(subs(g, 'x', b+0.1))
s = g - f;
s1= g^2 - f^2;
else
s = f - g;
s1= f^2 - g^2;
end
% Calcula el centroide
v(1) = int(x*s,a,b)/int(s,a,b);
v(2) = 1/2*int(s1,a,b)/int(s,a,b);
disp(v);
%Grafica el centro de masa y la región de la lámina
hold on;
for i=a:.01:b;
line([i, i]', [subs(g,'x',i), subs(f,'x',i)]', 'color', 'y');
end
u=a -1: .01: b+1;
plot(u,real(subs(f,'x',u))),
title('El centroide de la región se representa con un * '),
plot(u,real(subs(g,'x',u))),
axis([-1,3,-3,3]),
line([-3 0; 3 0], [0 -3; 0 3],'LineStyle','-');
text(b+0.5,subs(f,'x',b)+0.5,['y = ',char(f)]);
text(b+0.5,subs(g,'x',b)+1.5,['y = ',char(g)]);
text(double(v(1)),double(v(2)),'*');
Escribimos desde la ventana >> syms x y;
de comandos la sentencia
>> centroide(y - x^3, y-sqrt(x), 0, 1)
La respuesta es:
[ 12/25, 3/7]
TRABAJO PRÁCTICO XIII
CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CON MATLAB
Calcule las integrales definidas y compare cada uno de los resultados con su aproximación
por sumas de Riemann y explique por que estos resultados en algunos casos no son iguales
1
1
I =∫
In (1 + x )
0 1+ x
π
2
dx =
xsen ( x )
π
In ( 2 )
8
3
e−2
I =∫
dx =
2
2
0 (1 + x )
dx =
6
4
dx
I =∫
1 x6
( 65 − x )
4
1/ 6
=
I=
x − 1 dx =
7
I=
16π
−2 3
3
sec ( x )
∫
π / 6 sec ( x ) + csc ( x )
∫ ⎢⎣( x
2
xe
2
4
( x)
I=
π /3
π +2
I=∫
0 1 + cos
1
x
5
1
2
2
)
∫ arctg (
16
⎡ 5 + x3 + x
−2
)
dx =
π
12
1 + x 4 + 3⎥⎤ dx = 12
⎦
1/ 2
1023
12300
8
I=
⎡
⎤
⎛ 1+ x ⎞
⎢cos ( sen ( x ) ) In ⎜ 1 − x ⎟ + 3x + 4 ⎥ dx = 4
⎝
⎠
⎦
−1/ 2 ⎣
∫
Calcular las siguientes integrales impropias
∞
1
I=
∫
0
(a
∞
dx
2
+b
2
)(b
2
+x
2
)
2
I=
dx
∫ x 4 + 5 x3 + x 2 + x + 1
1
3
I=
∫3
−1
1
dx
5
x2 − 1 x4 − 1
Implemente una función en Matlab que evalúe el área limitada por las curvas
1
2
3
4
( )
y = In x 2 , y = In ( 4 ) y x = e
A = ( 4 − eIn ( 4 ) )
y = 3x − x 2 y y = x 2 − x
8
3
1
A = 28 7 − 62
3
⎛ 729 ⎞
A = In ⎜
⎟
⎝ 256 ⎠
A=
(
y = x2 x2 = 4 y x + y = 6
xy = 1 , x − xy = 3 , x − xy = 1 , xy = 3
)
Utilizando la propiedad de suma de áreas graficar y calcular el área limitada por las curvas
3
, y= x y y=4
1
y = x3 + x − 4 , y = x y y = 8 − x
3
y=
2
y = x − 2 , y = − x2 y x = 3 x = 1
4
x2 y = 2 , x + y = 4 y x = 2 x = 1
1 − x2
Implemente una función en Matlab que evalúe el área limitada por las curvas
1
y = x 2 , y = 4 x al rededor del eje x
2
y= x−
1
, x = 1 x = 4 y = 0 alrededor del eje x
x
2048
π
15
3⎞
⎛
V = π ⎜ In ( 4 ) + ⎟
2⎠
⎝
V=
16
π
15
3
y = x3 + x , x = 1 x = 0 al rededor del eje y
V=
4
y = 4 − x 2 , y = 1 x = 0 x = 3 al rededor del eje x
5
y = 3x 2 , y = 4 − 6 x 2 alrededor del eje y
V = 2π 3
8
V= π
9
Elabore un programa que pueda calcular el área de una curva que se encuentra dividida en
dos regiones, una arriba y otra abajo del eje x, y validar el caso cuando el valor del área sea
positiva y cuando sea negativa para realizar el negativo del área, ya que no puede haber área
negativa. Nótese que podríamos haber escrito esta área como una integral utilizando el
símbolo del valor absoluto.
2
I=
∫
x3 − 3 x 2 − x + 3 dx
−1
En los siguientes problemas encuentre el centroide de la región acotada por las curvas dadas,
para esto, puede utilizar las funciones de Matlab mostradas anteriormente haciendo los
cambios que considere pertinentes. Por otro lado puede plantear otra funcion en Matlab, Haga
un grafico, utilice simetría cuando sea posible.
1
y = x2 − 4 , y = 2 x − x2
2
y = x2 , y = x − x2
3
y = In ( x ) , y = 4 y = 4 − 4 x 2
4
y = x2 , y = 4 x
5
x 2 − 4 y = 0 , x 2 − 16 y = 24
6
x − 2 y + 8 = 0 , yx + 3 y + 5 = 0 x = 4 x = −2
7
y = x2 − 2 x − 3 , y = 6 x − x2 − 3
8
y = sen ( x ) , y = 0 x = π x = 0
9
y 2 = 20 x , x 2 = 20 y
⎛1 3⎞
⎜ , ⎟
⎝2 2⎠
⎛1 1⎞
⎜ , ⎟
⎝ 4 8⎠
(14.61,3.15 )
⎛ 16 64 ⎞
⎜ , ⎟
⎝ 15 21 ⎠
⎛ 4⎞
⎜ 0, ⎟
⎝ 5⎠
⎛ 88 50 ⎞
⎜ , ⎟
⎝ 39 39 ⎠
( 2,1)
⎛π π ⎞
⎜ , ⎟
⎝2 8⎠
( 9, 9 )
SUCESIONES Y SERIES CON MATLAB
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo
rango es un conjunto de números reales.
Se puede denotar una sucesión por a1, a2 , a3,K, an
SUCESION
TERMINO N-SIMO
∨
{a n }
DESARROLLO DE 4 TERMINOS
⎧ n ⎫
⎨
⎬
⎩ n + 1⎭
⎧ 2n ⎫
⎨
⎬
⎩ 3n + 1 ⎭
1 ⎫
⎧
⎨1 − n ⎬
⎩ 2 ⎭
n
1234
n +1
2345
2n
143 8
3n + 1
2 7 5 13
1
1 3 7 15
1−
2 4 8 16
2n
Límites de Sucesiones. Una sucesión {an } puede tener la propiedad de que cuando n aumenta,
an se acerca a algún número real L ; es decir, an − L ≈ 0 para n grande.
Una sucesión {an } tiene el límite L , o converge a L , lo cual se denota por lim {an } = L , si para
n →∞
cada número positivo ε existe un número positivo N tal que n ≥ L ⇒ an − L < ε
Si no hay un número finito L al que converja una sucesión, se dice que la sucesión no tiene límite o
diverge.
La coordenada x de cualquier punto es siempre un entero
positivo
Para cualquier ε > 0 , los puntos ( n, an ) se encuentran entre
las rectas L = ±ε , para n suficientemente grande.
La expresión
lim {an } = ∞ no significa que el límite existe
n →∞
sino que los números
{an }
crecen sin acotación alguna
cuando n aumenta.
De la misma forma existe lim {an } = −∞ significa que
n →∞
{an }
decrece sin acotación alguna cuando n aumenta.
Sucesiones Monótonas. Se dice que una sucesión es monótona si sus términos sucesivos no
decrecen, es decir,
O bien si no crecen
a1 ≤ a2 ≤ L ≤ an ≤ L
a1 ≥ a2 ≥ L ≥ an ≥ L
Una sucesión es acotada si existe un número real positivo U tal que ak ≤ U para todo k .
n
⎧ n ⎫ 1 2 3 4
, L Es
⎬ = , , , ,L,
n +1
⎩ n + 1⎭ 2 3 4 5
Por ejemplo, la sucesión ⎨
monótona (sus términos van creciendo) y acotada (porque
k
< 1 para todo k ). Observe que cualquier número U ≥ 1
k +1
es una cota de la sucesión. Sin embargo, si k < 1 , entonces
k
k no es una cota, ya que k <
para k suficientemente
k +1
grande.
La expresión sucesión monótona se usa para describir una sucesión no decreciente o no
creciente, además es importante señalar que “no es necesario que las sucesiones {an } y {bn }
sean monótonas inicialmente; basta que lo sean a partir de cierto punto, es decir, para n ≥ k .
Debemos agregar también que “la convergencia o divergencia de una sucesión no depende del
carácter de los términos iniciales, sino de lo que ocurra para n grande”.
Ejemplos
⎧⎪ 3n 2 + 2 ⎫⎪
⎬
2
⎪⎩ 5n − 2n + 1 ⎪⎭
Calcular el límite de la sucesión ⎨
{
Calcular el límite de la sucesión 1 + ( 0.1)
⎧ 5n ⎫
Calcular el límite de la sucesión ⎨
⎬
⎩ e2n ⎭
⎧⎪ cos 2 n ⎫⎪
Calcular el límite de la sucesión ⎨
n ⎬
⎩⎪ 3 ⎭⎪
⎪⎧ e n ⎪⎫
Calcular el límite de la sucesión ⎨ ⎬
4
⎪⎩ n ⎪⎭
n
}
>> clc;
>> clear all;
>> syms n;
>> f = (3*n^2 + 2) / (5*n^2 - 2*n + 1);
>> result = limit(f,n,inf);
>> disp(result)
>> syms n;
>> funcion = 1+(0.1)^n;
>> result1=limit(funcion,n,inf);
>> disp(result1)
>> syms n;
>> f=(5*n) / (exp(2*n));
>> result1 = limit(f,n,inf);
>> disp(result1)
>> syms n;
>> funcion = cos(n)*cos(n) / 3^n;
>> result2 = limit(funcion,n,inf);
>> disp(result2)
>> syms n;
>> funcion1= (exp(n)) / n^4;
>> result3 = limit(funcion1,n,inf);
>> disp(result3)
result=
3/5
result=
1
result=
0
Result2=
0
Result3=
inf
Series Infinitas
Sea {an } una sucesión infinita. La expresión a1 + a2 + a3 + L + an + L Se denomina serie infinita o,
simplemente serie
Esta serie se expresa también con notación de sumatoria como:
∑ an
∨
∞
∑ an
n =1
La variable de sumatoria es n . Cada número ak es un término de la serie y an es el n-simo término.
Tipos de Series
o
Serie geométrica. a + ar + ar 2 + L + ar n −1 + L es convergente y su suma es
a
si r < 1
1− r
es divergente si r ≥ 1
∞
1 1
1
1
o Serie Armónica. Es la serie infinita divergente 1 + + + L + + L = ∑
n
n
2 3
n =1
o
Serie P. 1 +
1
p
+
1
2
3
y diverge si p ≤ 1 .
p
+L+
1
n
p
+L =
∞
1
∑ n p . Donde
p es una constante, y converge si p > 1
n =1
Criterios de convergencia
Las dos preguntas fundamentales que surgen al estudiar las series infinitas generales son:
o
o
La serie converge? y
si converge ¿cuál es su suma?
Podríamos sugerir el uso de la computadora para responder las preguntas siendo ésta nuestra
herramienta de apoyo. Pero hay que dejar bien claro que: una computadora no puede sustituir los
criterios matemáticos para la convergencia y divergencia de una serie infinita.
Un ejemplo de esto, es la serie armónica la cual diverge muy lentamente siendo necesario más de
272 millones de términos para comprobar que la suma parcial Sn crece sin límite. Dadas las
limitaciones en cuanto al número de dígitos que maneja una computadora, en algún momento dado
nos enviaría valores repetidos para Sn que incorrectamente nos harían pensar que está
convergiendo.
Por lo que es necesario tener una buena comprensión sobre los criterios de convergencia o
divergencia que se basan en un análisis del n-ésimo término. Dichos criterios se aplican solo para
determinar si la serie converge o diverge, no para calcular la suma.
Se consideran criterios para series de términos positivos, es decir series en las que an ≥ 0
para todo n .
•
Criterio del n-ésimo término para la divergencia. Si
lim an ≠ 0 entonces la serie
n →∞
•
∑ an es divergente.
Si ∑ an y ∑ bn son series infinitas tales que ai = bi
•
positivo, entonces ambas series convergen o ambas divergen.
Si
an es una serie convergente,
bn divergente y c ≠ 0 , entonces
infinita
∑
o
o
•
•
∑ [ an + bn ] diverge.
∑ cbn diverge.
∑
Criterio básico de Comparación. Sean
∑ bn converge
para todo i > k , donde k es un entero
∑ an y ∑ bn
dos series de términos positivos.
y an ≤ bn para todo entero positivo n , entonces
o
Si
o
convergente.
Si
bn diverge y an ≥ bn para todo entero positivo n , entonces
∑
Criterio de la suma acotada. Una serie
∑ an
es
∑ an es divergente.
∑ an de términos no negativos converge si y solo sí
sus sumas parciales están acotadas por arriba.
•
•
Criterio de la Razón. Si
∑ an una serie de términos positivos tal que nlim
→∞
an +1
=L
an
o
Si L < 1 , la serie es convergente
o
Si L > 1 o bien  lim
o
Si L = 1 , hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o divergente.
an +1
= ∞ , la serie es divergente.
n →∞ an
Criterio de la Integral. Sea f una función continua, positiva, no creciente, definida en el
intervalo [1, ∞ ] y suponga que ak = f( k ) para todo entero positivo k . Entonces la serie
infinita
∑ ak :
∞
Converge si y solo sí la integral impropia
o
∫ f( x ) dx converge.
0
∞
Diverge si
o
∫ f( x ) dx es divergente.
0
Series Alternantes
Es una serie en las que el signo de sus términos va alternándose entre positivo y negativo, y tienen la
forma siguiente:
a1 − a2 + a3 − a4 L + an − L ∀ n
Criterios de Convergencia
•
Criterio de la serie alternante. Sea a1 − a2 + a3 − a4 L Una serie alternante con an > an +1 > 0
Si lim an = 0 , entonces la serie converge. Además, el error cometido al usar la suma Sn de
n →∞
•
los primeros n términos para aproximar la suma S de la serie no es mayor que an +1 .
Criterio de Convergencia Absoluta. Si
an converge, entonces
an converge.
•
Criterio del cociente absoluto. Si
lim
n →∞
o
o
o
∑
∑ an una
∑
serie de términos no nulos tal que
an +1
=L
an
Si L < 1 , la serie es convergente
a
Si L > 1 o bien  lim n +1 = ∞ , la serie es divergente.
n →∞ an
Si L = 1 , hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o divergente.
Series de Potencias
Sea x una variable. Una serie de potencias en x es una serie de la forma:
∞
∑ an xn = a0 + a1x + a2 x2 + L + an xn + L
n =1
Donde cada an es un número real.
El intervalo de convergencia
Es el conjunto de todos los números para los que converge una serie de potencias.
El intervalo de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo de uno de los
siguientes tres tipos:
•
•
El único punto x = 0 .
Un intervalo ( − R , R ) incluyendo posiblemente a uno o ambos extremos.
•
Toda la recta real.
Representación de funciones por series de potencias
Se puede usar una serie de potencias para definir una función f cuyo dominio es el intervalo de
convergencia de la serie. Para cada x en este intervalo, se define f como la suma de la serie: o sea
f( x ) = a0 + a1x + a2 x 2 + L + an x n + L
∞
Entonces se dice que f está representada por la serie de potencias o que
∑ an xn
es una
n =1
Representación en serie de potencias de f( x )
Serie de Maclaurin para f( x ) alrededor de x = 0 
Si f es una función tal que   f( x ) =
∞
∑ an x n
para todo x en un intervalo abierto ( − R , R ) entonces
(n)
( n)
f0
f0
f '( 0 )
f ''( 0 )
f '''( 0 )
( ) n
( ) n
f( x ) = ∑
x = f( 0 ) +
x+
x2 +
x3 + L +
x
!
1!
2!
3!
!
n
n
n=0
Serie de Taylor para f( x ) alrededor de x = a
Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo ( a − R, a + R ) . La serie de
Taylor
∞
(n)
(n)
fa
fa
f '( a )
f ''( a )
f '''( a )
( )
( )
n
2
3
f( x ) = ∑
x
−
a
=
f
+
x
−
a
+
x
−
a
+
x
−
a
+
L
+
(
)
(
)
(
)
(
)
( x − a )n
a)
(
1!
2!
3!
n!
n!
n =0
Comandos Matlab
En esta sección haremos uso del comando symsum que forma parte de las funciones de la librería
de matemática simbólica de MATLAB. Su función consiste en realizar la sumatoria simbólica y su
sintaxis es la siguiente:
Matlab dispone de una función que nos permitirá aproximar funciones mediante series de Taylor o de
Maclaurin. Para determinar el polinomio de Taylor de una función f , de orden n en el punto x = a ,
Matlab cuenta con la función taylor, cuya sintaxis es:
>> taylor( f,n,v )
>> taylor( f,n,v,a )
Devuelve el polinomio de Maclaurin de orden (n-1) como una aproximación a
la función f, donde f es una expresión simbólica que representa a una función
y v especifica la variable independiente en la expresión. v puede ser una
cadena o una variable simbólica.
Determina la serie de Taylor en el número a como la aproximación a la
función f. El argumento a puede ser un valor numérico, un símbolo o una
cadena que representa un valor numérico o uno desconocido.
Nótese que, si desea el polinomio de orden n , en la función taylor se indica n + 1 , que es el número
de términos de que consta dicho polinomio.
Hallar la suma de las series:
S=
1
1
1
+ +L+
+L
45 56
( n + 3)( n + 4 )
S = 0.8 + 0.08 + 0.008 + L +
S = 1+
1
2
S=
∞ ⎡
2
+
1
2
3
7
+L+
1
n
2
2 ⎤
∑ ⎢ n ( n + 1) + 3n −1 ⎥
n =1 ⎣
⎦
8
10
+L
n
+L
>> clear all;
>> syms n;
>> sum1 = symsum(1 /( (n + 3) * (n +
4)),n,1,inf);
>> disp(sum1)
>> clear all;
>> syms n;
>> sum2 = symsum(8/10^n,n,1,inf);
>> disp(sum2)
>> syms n;
>> sum3 = symsum(1 / n^2,n,1,inf);
>> disp(sum3)
>> syms n;
>> sum4= symsum(7 / (n*(n + 1)) + 2 / (3^(n
- 1)),n,1,inf);
>> disp(sum4)
sum1 =
1/4
sum2 =
8/9
sum3 =
1/6*pi^2
sum4 =
10
gg
Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = ( x + 1) sen 2 ( x ) de orden 14 en el origen
serie =
>> syms x
>> f=(x+1)*sin(x^2);
x^2+x^3-1/6*x^6-1/6*x^7+1/120*x^10+1/120*x^11-1/5040*x^14
>> serie=taylor(f,15,x)
>> pretty(serie)
Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = cos ( x ) de orden 9 en el origen
T=
>> syms x;
>> f = cos(x);
1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6+1/40320*x^8
>> T= taylor (f, 10, x)
>> pretty(T)
Determinar el polinomio de Taylor de f( x ) = xe −2x de orden 15 en el origen
>> syms x;
>> f = x*exp(-2*x);
>> T= taylor (f, 16, x);
>> pretty(T)
Matlab dispone de otra función para obtener el polinomio de Taylor. Se trata de la función taylortool
que nos abre una ventana grafica donde aparece la grafica de la función y del polinomio de Taylor.
Ademas, permite ir cambiando el orden del polinomio, el punto x = a , etc, manipulando
adecuadamente los correspondientes "botones". La ventana grafica se
>> taylortool
Aproximar la función f( x ) = ( x + 1) sen 2 ( x ) por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0
>> taylortool('(x+1)*sin(x^2)')
Cambiando el valor de n
Aproximar la función f( x ) = In ⎛⎜ x + x 2 + 1 ⎞⎟ por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0
⎝
⎠
>> taylortool('log(x+sqrt(x^2+1))')
Cambiando el valor de n
Aproximar la función f( x ) = x 2 sen ( x ) por medio de su polinomio de Taylor alrededor de x = 0
>> taylortool('x^2*sin(x)')
Cambiando el valor de n
x + 3x − 2
Aproximar la función f( x ) = sen ( 3 x ) + x 2 cos ( 3 x )
por
Aproximar la función f( x ) =
2
x
+
x
−
6
1
1
por medio de su polinomio de Taylor alrededor
medio de su polinomio de Taylor alrededor de
de x = 3
4
x = −2
( )
Aproximar la función f( x ) = 2 cos 2 x 2 + 1 por
Aproxima
medio de su polinomio de Taylor alrededor de
x =1
f( x ) = sen ( x ) cos3 ( x ) − cos ( x ) sen3 ( x )
por
medio de su polinomio de Taylor alrededor de
x=2
(
)
Aproximar la función f( x ) = 3sen ( x ) + cos ( 3 x + 1)
por medio de su polinomio de Taylor alrededor de
Aproximar f( x ) = cos x 2 − 1 + cos( x 2 + 1 por
medio de su polinomio de Taylor alrededor de
x=2
x=2
TRABAJO PRÁCTICO XIII
CALCULO SUCESIONES Y SERIES CON MATLAB
Calcular el límite de las sucesiones
( ) ( ) ⎫⎪ = 3
⎬
( ) ⎪⎭
1
⎧ 3n 4 + sen 2 1 In 1 + 1
⎪
n
n
⎨
n
π
⎪⎩ ( n + 2 ) cos 4n +1
2
4
2
⎧⎪ ⎛
⎞ ⎫⎪ −3
1
1
6
⎟⎬ = e
−
⎨n ⎜⎜ n
⎪⎩ ⎝ n 2 + 3 n n n + 3 ⎠⎟ ⎪⎭
5
3
⎧ 2
⎪⎪ 3n + 1
⎨
⎪ n2 − 2
⎩⎪
(
(
) ⎡⎣1 − cos ( 1n )⎤⎦ ⎬⎪⎪ = 3
) In ⎜⎝⎛1 + n1 ⎟⎠⎞ ⎭⎪⎪ 2
⎫
2
Hallar la suma de las siguientes series
6
(
)
⎧ 3− n n + 2 ⎫
1
⎪3
⎪
⎨
⎬=−
8n − 4
2
⎪
⎪
⎩
⎭
2
⎧
− ( n +1) ⎫
⎪ ( n + 1) e
⎪
⎨
⎬=0
−n
ne
⎪
⎪
⎩
⎭
n
⎧
⎡
n ⎤⎫
⎪⎪
2
⎢
⎛ 2 ⎞ 4 ⎥ ⎪⎪ π
1
− ⎜1 + ⎟ ⎥ ⎬ =
e
⎨ n ⎣⎡ arctgh ( n ) ⎦⎤ ⎢ 1+
⎝ n ⎠ ⎥⎪ 8
n
⎪
⎢
⎣
⎦ ⎭⎪
⎩⎪
( )
∞
1
2
3
4
5
⎡
⎤ π
1
S = ∑ arctg ⎢
⎥=
⎣1 + n ( n + 1) ⎦ 4
n =1
S=
S=
S=
( )
In nn+1
∞
∑ In ( n ) In ( n + 1)
n=2
∞
=
1
In ( 2 )
n
⎛ 25
6 ⎞
n =3
∞ −1 n −1
( ) =−4
S=
n
5
n =1 4
7
S=
∑
n = 2 In ( n )
n
∞
n
⎡ In ( n + 1)n +1 ⎤
⎣⎢
⎦⎥
1
2 In ( 2 )
=
1
1
∑ ( 2n + 1)( 2n + 3)( 2n + 5) = 60
8
S=
1
1
1
+
+L+
+L = 1
1⋅ 2 2 ⋅ 3
n ( n + 1)
9
S=
1
1
1
1
+
+L+
+L =
1⋅ 4 4 ⋅ 7
3
( 3n − 2 )( 3n + 1)
10
S=
1
∑ ⎜⎝ 10n − 100n ⎟⎠ =
S=
( n + 1) In (1 + 1n )
n =1
∑ ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) = 4
n =1
∞
6
∞
2150
99
∑
1
1
+
+L+
1⋅ 3
3⋅5
1
( 2n − 1)( 2n + 1)
+ L = ??
Desarrollar en series de potencia las funciones utilizando la sentencia Taylor:
2
1
f( x ) = e − x
2
f( x ) =
x
(1 − x )
2
3
f( x ) = arctg ( x )
4
f( x ) =
x2 + x
(1 − x )
3
5
f ( x ) = x −1
6
f( x ) =
7
8
1
1+ x
2
f( x ) =
f( x ) =
In ( x + 1)
x2 + 1
1
(1 − x )2
Aproximar gráficamente y para distintos valores de n la serie de Taylor de:
1
1 − cos ( x )
f( x ) =
x
2
⎛ x +1⎞
f( x ) = In ⎜
⎟
⎝ 1− x ⎠
5
3
f( x ) = xe −2 x
6
4
cos ( x )
f( x ) =
x +1
f( x ) =
x3 + 4 x 2 + x
(1 − x )
f( x ) = sen3 ( x )
4
x 4 + 11x3 + 11x 2 + x
7
f( x ) =
8
f( x ) = 1 +
9
f( x ) = x + (1 − x ) In (1 − x )
(1 − x )5
1− x
In (1 − x )
x