Examen Parcial 3 Cálculo 2 Problema 1 (10 puntos). Calcula el área

Examen Parcial 3
Cálculo 2
Problema 1 (10 puntos). Calcula el área entre la cardioide r = 1 + cos θ, a la derecha de
la recta 4r = 3 sec θ.
Solución. Las intersecciones entre la cardioide y la recta ocurren cuando
1 + cos θ =
3
sec θ,
4
1 + cos θ =
3
,
4 cos θ
o sea
la cual es equivalente a
4 cos2 θ + 4 cos θ − 3 = 0.
El lado izquierdo de esta ecuación se puede factorizar como (2 cos θ − 1)(2 cos θ + 3), por lo
1
3
que las soluciones a la ecuación satisfacen cos θ = (cos θ = − es imposible). Entonces
2
2
π
π
θ = ó θ = − .
3
3
En área de la cardioide entre estos dos ángulos es
1
2
Z
π/3
1
(1 + cos θ) dθ =
2
−π/3
2
Z
π/3
(1 + 2 cos θ + cos2 θ)dθ
−π/3
1 π/3 3
1
+ 2 cos θ + cos 2θ dθ
2 −π/3 2
2
1 3 π
π 1 1
2π =
· 2 + 2 · 2 sen + · · 2 sen
2 2 3 √
3 2 2
3
√
√
1
3 1
3
π 9
=
π+4·
+ ·
= +
3.
2
2
2 2
2 8
Z
=
π
Ahora bien, en θ = ± ,
3
√
1 3
3√
y(θ) = (1 + cos θ) sen θ = ± 1 +
=±
3,
2 2
4
3√
por lo que el área de la región anterior es igual al área de un triángulo con base
3 y altura
2
3
3
(la recta 4r = 3 sec θ es la recta x = ), por lo que tiene área
4
4
1 3√ 3
9√
·
3· =
3,
2 2
4
16
1
y por lo tanto el área de la región indicada es igual a
9√
π
π 9√
9√
3−
3= +
3.
+
2 8
16
2 16
Problema 2 (10 puntos). Calcula el área delimitada por cada una de las hojas de la lemniscata r2 = cos(2θ).
Solución. Las dos hojas de la lemniscata están formadas en los intervalos
−
π
π
≤θ≤
4
4
y
3π
5π
≤θ≤
,
4
4
por lo que área de cada una de las hojas es igual a
Z
Z
1 π/4
1 1
π
1
1 π/4 2
r dθ =
cos(2θ)dθ = · · 2 sen = .
2 −π/4
2 −π/4
2 2
2
2
Problema 3 (10 puntos). Encuentra los puntos (a, b) de la cardioide r = 1 − sen θ en los
cuales la recta tangente es horizontal.
Solución. La tangente de una curva en coordenadas polares es horizontal en aquéllos puntos
donde y 0 (θ) = 0 y x0 (θ) 6= 0. Como y(θ) = (1 − sen θ) sen θ, tenemos que
y 0 (θ) = cos θ(1 − 2 sen θ),
1
π π 5π
.
por lo que y 0 (θ) = 0 si cos θ = 0 ó sen θ = , lo cual se satisface en θ = ± , y
2
2 6
6
0
Ahora tenemos que verificar que en esos puntos x (θ) 6= 0. Como x(θ) = (1 − sen θ) cos θ,
x0 (θ) = − sen θ − cos(2θ).
Calculamos
π
π
x0 ( ) = − sen − cos(π) = 0,
2
2
π
π
π
x0 ( ) = − sen − cos = −1,
6
6
3
π
π
x0 (− ) = sen − cos(π) = 2,
2
2
5π
5π
5π
x0 ( ) = − sen
− cos
= −1.
6
6
3
Notemos que x0 ( π2 ) = 0, y que en dicho punto no hay tangente. Como en el resto x0 (θ) 6= 0,
π π 5π
. Esto corresponde a los puntos
entonces la tangente es horizontal cuando θ = − , y
2 6
6
√
√
3 1 3 1
(0, −2),
,
, .
y −
4 4
4 4
2