Integrales y Aplicaciones

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Tema 8.- Integrales y Aplicaciones
Primitiva e Integración Indefinida
Primitiva de una Función
F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x)
Función f(x)
Primitiva F(x)
x2
x2 + 1
Una función tiene
infinitas primitivas
x2 - 5
2x
…
2
x +C
Integral Indefinida de f(x)
Llamamos integral indefinida o integral de f(x) al conjunto de todas sus primitivas:
f (x)dx = F x + C F' x = f x
2x dx = x2 + C
siendo C la cte de integración
1
dx =Ln | x | +C
x
sen x dx = - cos x + C
Operaciones con Integrales
k ∙ f (x)dx = k
(f ± g)(x)dx =
f (x)dx
f (x)dx ±
f ∙g x dx ≠
f
g
g(x)dx
f x dx ∙
x dx ≠
g x dx
f x dx
g x dx
Reglas de Integración
Función
Integral
k dx
k x+C
xn dx
xn+1
+C
n+1
1
2 x
Función
'
Integral
n
f x f (x) dx
f
n-1
(x)
+C
n+1
'
dx
1
n
n xn-1
x+C
f x
2 f(x)
dx
f(x)+C
'
dx
f x
n
x+C
n
n f
n-1
dx
(x)
ax dx
ax
+C
ln a
f x af(x) dx
ex dx
ex +C
f x ef(x) dx
1
dx
x
ln x +C
f x
dx
f(x)
'
'
'
n
f(x)+C
af(x)
+C
ln a
ef(x) +C
ln f(x) +C
1
á
á
2
Matemáticas _ 2º Bach
1
cos2 x
'
- cos f(x) +C
'
sen f(x)+C
sen x dx
- cos x +C
f x sen f(x) dx
cos x dx
sen x+C
f x cos f(x) dx
dx=
1
1-x2
1
1+x2
1+tg2 x dx
'
f x
tg x+C
cos2 f(x)
'
f x +tg2f(x) dx
dx=
tg f(x)+C
'
dx
f x
arc sen x+C
dx
arc sen f(x)+C
dx
arc tg f(x)+C
2
1-f (x)
'
f x
arc tg x+C
dx
cosec2 x dx
2
1+f (x)
'
f x cos2 f(x) dx
-cotg x+C
-cotg f(x)+C
Métodos de Integración
Inmediatas o método de sustitución
Cuando las dos funciones tienen relación, función y derivada. Cambio f(x) = t  siendo f(x) la función
sen4 x ∙ cos x dx = t = sen x → dt = cos x dx =
t4 dt =
t5
sen5 x
+C =
+C
5
5
Integración por partes
Cuando las dos funciones no tienen relación
udv =
d(u·v) -
vdu
udv = u·v -
→
Tenemos
u
Necesitamos
Arcos o Logaritmos
Polinomios
Trigonométricas o Exponenciales
u=x
dx →
dv=ex
 derivamos 
 integramos 
dv
x·ex
vdu
→
dx→v=
du
v=
dv
du=dx
dv =
ex
dx =ex
→ x·ex -
ex dx = x-1 ex+C
Integrales con Raíces
Cuando son
a
x
no se pueden transformar en suma. Se hace por sustitución: radicando = tíndice
En caso contrario:
1º Se transforma en sumas
2º Se sacan de la integral todos los números posibles
3º Trabaja con Potencias
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3
Tema 8.- Integrales y Aplicaciones
2
2+3x
2
dx =
x
3x
dx +
x
2
x
dx = 4 x +
6x2
5
x+C
Raíces y Arcos
'
'
f x
2 f x
f (x)
dx = f x +C
dx = arc sen f(x)+C
2
1-f (x)
m.c.m índice raíces
Sustitución: radicando  t
2
9 - x2
dx
Modo I
2
3
2
3
dx =
9-x2
2
3
1-
x
3
2
1
3
dx =2
1-
x
3
dx = 2 arc sen
2
x
+C
3
Modo II
2
9-x2
dx 
x=3sen t

dx=3 cos t dt
2
9- 3sen t
2
3 cos t dt =
6 cos t
dt =
9 1-sen2 t
6 cos t
dt =
9 cos2 t
6 cos t
dt =
3 cos t
x=3sen t
x
= 2t+C   sen t= x = 2 arc sen + C
3
3
x
t=arc sen
3
Integrales Trigonométricas
Potencias de Senos y Cosenos
senm x dx

Si m es impar.- factorizar y usar la igualdad  sen2 x = 1-cos2 x
sen3 x dx =

cosm x dx
sen2 x·senx dx =
1-cos2 x sen x dx =
Si m es par: factorizar y usar las identidades  sen2 x =
sen4 x dx =
=
1
4
sen2 x
1 dx -
2
dx =
2 cos (2x) +
1-cos 2x
2
sen x-sen x·cos2 x
1- cos (2x)
2
2
cos2 (2x) =
dx =
1
4
ó cos2 x =
dx =- cos x +
1+ cos (2x)
2
1-2 cos (2x) +cos2 (2x) dx =
1
cos3 (2x)
x-sen 2x +
+C
4
6
cos3 x
+C
3
2 dt =
á
á
4
Matemáticas _ 2º Bach
Productos de Potencias de Senos y Cosenos
senm x · cosn x dx
Si m y n son pares, usamos las identidades  sen2 x =

1-cos 2x
2
sen2 x·cos2 x dx=
·cos2 x dx=
1- cos (2x)
2
cos2 x- cos (2x)
dx=
2
ó cos2 x =
cos2 x
dx2
1+ cos (2x)
2
cos (2x)
cos3 x 1
dx=
- sen 2x +C
2
6
4
Si m ó n es impar, usamos la identidad  sen2 x = 1-cos2 x

sen5 x·cos2 x dx=
sen x· 1-2cos2 x+cos4 x ·cos2 x dx=
=
sen x·sen4 x·cos2 x dx=
2
sen x· 1-cos2 x ·cos2 x dx=
sen x·cos2 x-2sen x·cos4 x+senx·cos6 x dx=
cos3 x 2cos5 x cos7 x
+
+C
3
5
7
Productos de Potencias de Tangentes y Secantes
tgm x · secn x dx

Si n es par, usamos la identidad  sec2 x = 1 + tg2 x

Si m es impar, usamos la identidad  tg2 x = sec2 x - 1

Si n es impar y m par usamos algún otro método como el de integración por partes
Integrales Racionales
Caso I: Grado de P(x)  Grado Q(x):
P(x)
dx →
Q(x)
2
3x -7x+4
dx =
2x-3
C x +
1
3 5
3 x2 5
1 1
x- + 4 dx = ∙ - x+ ∙
2 4 2x-3
2 2 4
4 2
R(x)
dx
Q(x)
2
2
3x 5
1
dx=
- x+ ln 2x-3 +C
2x-3
4 4
8
Caso II: Grado de P(x) < Grado Q(x): Se factoriza el denominador
II.1: las raíces de Q(x) son reales y simples: Q(x) = (x-a)∙(x-b)∙(x-c)
P(x)
dx =
Q(x)
4x2 -10x+7
x3 -7x-6
dx →
4x2 -3x+13
x3 -7x-6
=
A
B
C
+
+
dx
x-a x-b x-c
A
B
C
A· x-3 x+2 + B· x+1 x+2 + C· x+1 x-3
+
+
=
→
x+1 x-3 x+2
x3 -7x-6
→ 4x2-3x+13 = A· x-3 x+2 +B· x+1 x+2 +C· x+1 x-3
Modo 1.- igualando los coeficientes del mismo grado:
4=A+B+C
4x2 -3x+13= A· x2 -x-6 +B· x2 +3x+2 +C· x2 -2x-3 → -3=-A+3B-2C Gauss → A=-5, B=2, C=7
13=-6A+2B-3C
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5
Tema 8.- Integrales y Aplicaciones
Modo 2.- dando valores a la x (a, b, c) y resolviendo el sistema
x=3→B=2
4x2 -3x+13= A· x-3 x+2 +B· x+1 x+2 +C· x+1 x-3 → x=-2→C=7
x=-1→A=-5
Finalizamos:
4x2 -3x+13
x3 -7x-6
dx =
-5
2
7
+
+
dx =-5 ln x+1 +2 ln x-3 +7 ln x+2 +C
x-1 x-3 x+2
II.2: Todas las raíces de Q(x) son reales, pero alguna no simple: Q(x)=(x-a)∙ x-b
P(x)
dx =
Q(x)
5
3
4
6x -7x -5x +x2 -5x+2
5
3
x6 -2x +2x -x2
→
=
1
dx-2
x
A B
C
D
+ +
+
x x2 x-1
x-1
x-2 dx +5
A
B
C
+
+
x-a x-b
x-b
2
+
1
dx +2
x-1
E
x-1
3
x-1
5
+
2
D
x-b
3
3
dx
3
dx → x6 -2x +2x -x2 =x2 · x-1 3 ·(x+1) →
+
F
dx →
x+1
-2 dx -4
x-1
1 2
5
2
- +
+
x x2 x-1
x-1
-3 dx = ln
x +
2
-
4
x-1
3
+
0
dx =
x+1
2
2
2
+5 ln x-1 +
x
x-1
x-1
2
II.3: Alguna raíz de Q(x) no real: Q x = x-a ∙ x2 +1 . P(x) es de un grado menos que Q(x).
P x
dx =
Q x
2x2 -3x+2
x3 +x
dx =
A Bx+C
+
dx =
x x2 +1
A
Bx+C
+
dx
x-a x2 +1
2 0x-3
+
dx =
x x2 +1
2
dxx
3
x2 +1
dx =2 ln x +3 arc tg x +C
+C
á
á
6
Matemáticas _ 2º Bach
Integral Definida
b
f x dx : integral definida de f x entre a y b
a
Propiedades
1º.
a
f
a
x dx =0
2º.
b
f
a
x dx = -
a
f
b
x dx
3º. Signo de la integral:
a. Si f(x) >0 y continua en [a,b] 
b. Si f x <0 y continua en [a,b] 
4º. Si a < b < c y f(x) es continua en [a,b] 
5º. Si f(x) ≤ g(x) en cada x ∈ [a,b] 
b
f
a
b
f
a
b
f
a
b
f
a
x dx ≤
x dx >0
x dx <0
x dx =
b
g
a
c
f
a
x dx +
b
f
c
x dx
x dx
Operaciones
b
b
f±g x dx =
a
a
f x dx +
b
b
g x dx
a
k · f x dx = k·
a
b
f x dx
a
Regla de Barrow
Si f(x) es continua en [a, b] y F(x) es una primitiva suya, entonces:
b
f x dx =F b -F a = F(x)
a
a
b
Teoremas de Integración
Teorema fundamental del cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b]: la función F(x) =
'
x
f
a
x dx,
x ∈ a,b es derivable y se verifica que
F x =f(x)
Teorema de la media o del valor medio del cálculo integral
f(x)
Sea f(x) una función continua en [a, b]:
∃ c ∈ a,b
b
f(c)
f x dx=f c ·(b-a)
a
a
c
b
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7
Tema 8.- Integrales y Aplicaciones
Aplicaciones
Cálculo del área encerrada entre una curva y el eje X entre x = a y x = b
b
f
a

Si f x ≥0 , x ∈ a,b → A=

Si f x <0 , x ∈ a,b → A=-

Si f(x) cambia de signo en [a, b]:
b
f
a

x ∈ a,b
f x ≥0

x ∈ c,b
f x <0

A=
c
f
a
x dx -
x dx
b
f
c
x dx
f(x)
A=
x dx
b
a
f(x)
a
b
Pasos
1º. Resolver f(x) = 0 para calcular los puntos de corte con el eje X (raíces)
2º. Seleccionar aquellas que estén comprendidas en el intervalo (a, b).
3º. Calcular
f x dx = F(x)
4º. Calcular F(a), F(b), F(x1), F(x2), …
5º. Calcular F(a) - F(x1 ), F(x2 ) - F(x1 ), F(b) - F(x2 )
6º. Sumar los resultados obtenidos (en valores absolutos)
Cálculo del área encerrada entre varias curvas
A=
b
f x -g(x) dx
a
Es decir, la integral definida entre la resta de la función que está por encima menos la que está por debajo entre
los puntos de corte de ambas:
1º.Puntos de corte entre las dos funciones: resolver el
sistema:
y=f x
→ x1=a, x2=b
y=g(x)
g(x)
2º.Representar cada función (extremos relativos, puntos
A=
b
a
[g(x)-f(x)]
de inflexión)
3º.Hallar la integral A=
b
a
f(x)
g x -f(x) dx, teniendo en
cuenta que hay que restar la función que está por
a
debajo.
b
Volumen de un cuerpo de revolución
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva y = f(x), x ∈ [a,b], alrededor del eje X y
limitado por x=a y x=b, viene dado por:
V= π
b
a
f(x)
2
dx