Control 3 P1. Para las constantes A,B,C ∈ Ê, con A>B se definen

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 09-1
Control 3
P1. Para las constantes A, B, C ∈
sigue:
R, con A > B se definen las funciones reales f, g, h, en todo x ∈ R, como
f (x) =A cos2 (x) + B sen2 (x) − 2C sen(x) cos(x)
g(x) =A sen2 (x) + B cos2 (x) + 2C sen(x) cos(x)
h(x) =(A − B) sen(x) cos(x) + C(cos2 (x) − sen2 (x)).
Se pide:
Z
(i) (1,5 ptos.) Probar que si C = 0, h alcanza su valor máximo para x = kπ + π4 , k ∈ .
(ii) (1,5 ptos.) Demostrar que el conjunto de los ceros de h es
2C
x ∈ / tan(2x) =
B−A
R
R
(iii) (3,0 ptos.) Demostrar que ∀x ∈
los puntos P (f (x), h(x)) y Q(g(x), −h(x)) conservan una distancia constante entre ellos y que el punto medio del trazo P Q es un punto fijo.
P2. Considere la función f definida por f (x) =
x
x2 −1 .
Se pide:
(i) (2,0 ptos.) Encontrar dominio, ceros, signos, paridad y asíntotas de todo tipo.
(ii) (2,0 ptos.) Demostrar que ∀x1 , x2 ∈ Dom(f )
f (x2 ) − f (x1 ) =
(x1 − x2 )(1 + x1 x2 )
.
(x21 − 1)(x22 − 1)
Use este resultado para estudiar el crecimiento de f indicando en qué intervalos esta función es
creciente y en cuales decreciente.
(iii) (1,0 pto.) Calcule f ((1, ∞)) y pruebe que la función
f˜ : (1, ∞) −→ f ((1, ∞))
x 7−→ f˜(x) := f (x)
es biyectiva y determine su inversa.
(iv) (1,0 pto.) Bosqueje el gráfico de f .
25 de abril de 2009
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