Nota: Este examen consta de 6 pre- guntas de 3 puntos cada

Nota: Este examen consta de 6 preguntas de 3 puntos cada una. La nota
del examen se calcula mediante la
fórmula Nex = P3 + 1,0. donde P es
el puntaje obtenido.
Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 07-2
Pauta Examen
Profesor: Leonardo Sánchez
P1. Considere la función definida por f (x) = máx{|x|,
p
|x|}.
(a) (2 ptos.) Determine dominio, paridad, recorrido y crecimientos. Bosqueje su gráfico.
(b) (1 pto.) Encuentre el mayor conjunto A ⊆ Dom f tal que la restricción f |A : A →
f (A) sea biyectiva y determine f |−1
A (x).
Solución
R, f (x) = f (−x) f es par, Rec f = R+ ∪ {0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
|x| es creciente y |x| es composición de funciones crecientes en R \ {0} y por lo tanto
(a) Dom f =
es creciente.
Sigue que f es creciente en
Gráfico (aproximado):
R+ ∪ {0} y por la paridad es decreciente en (−∞, 0).
......................................................................................
(b) Es claro que el mayor conjunto A ⊆ Dom f =
Entonces para A:
f |A :
1.0 pto.
R es por ejemplo, R+ ∪ {0} (ó R− ∪ {0}).
R+ ∪ {0} → f (R+ ∪ {0}) = R+ ∪ {0} con f |A = f
es biyectiva.
......................................................................................
1
1.0 pto.
0.5 ptos.
2
2
Sigue que f |−1
A (x) = mı́n{|x|, |x| } = mı́n{x, x }. Es decir
(
x2 , x ∈ [0, 1]
−1
f |A (x) =
x, x ∈ [1, ∞).
...........................................................................................
0.5 ptos.
P2. (3 ptos.) Sea A el conjunto solución de la inecuación
x1+loga (x) > a4 x,
con a > 1.
Determine A e indique máx(A), mı́n(A), sup(A), ı́nf(A), si existen.
Solución
La inecuación es x1+loga (x) > a4 x, con a > 1.
Previo debe establecerse que necesariamente x > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5 ptos.
Tomando loga queda (1 + loga (x)) loga (x) > 4 loga (a) + loga (x) (pues loga es creciente).
Luego (loga (x))2 > 4.
Sigue que loga (x) > 2 ⊻ loga (x) < −2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 ptos.
Entonces x > a2 ⊻ x < a−2 , lo que implica x ∈ (0, a−2 ) ∪ (a2 , ∞) = A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5 ptos.
Ası́, máx(A) y sup(A) no existen (A no acotado). mı́n(A) no existe e ı́nf(A) = 0. . . . . . . . . . . .
0.5 ptos.
P3. Dado α ∈ (0, 1), se define la sucesión (an )n∈N mediante la recurrencia
r
1 + an
a1 = α, an+1 =
∀n ≥ 1.
2
(a) (1 pto.) Demuestre que ∀n ≥ 1,
0 < an < 1.
(b) (2 ptos.) Demuestre que (an )n∈N converge y calcule su lı́mite.
Solución
(a) Por inducción, es inmediato que para n = 1, se tiene 0 < α < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sea 0 < an < 1, entonces
p
p
p
0 < 1/2 < an+1 = (1 + an )/2 < (1 + 1)/2 = 1.
......................................................................................
(b) Probamos que (an ) es creciente.
Puede probarse por inducción, o bien:
p
p
p
√
an+1 = (1 + an )/2 > (2an )/2 = an > a2n > an .
0.2 ptos.
0.8 ptos.
(Se usó 0 < an < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.0 pto.
Entonces (an ) es creciente y acotada, luego converge.
p
Si lı́m an = L, entonces L = (1 + L)/2. De donde L ∈ {1, −1/2}. Pero L > 0, luego
lı́m an = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.0 pto.
2
P4. Calcule las derivadas de las siguientes funciones
(a) (1 pto.) f (x) =
ex
.
xx
(b) (1 pto.) f (x) = arc sen
(c) (1 pto.) f (x) =
x2
.
tan x
x2n − 1 x2n + 1
.
Solución
(a) Directo, o tomando ln queda ln f = x − x ln x.
Luego f ′ /f = 1 − ln x − 1 = − ln x, lo que implica f ′ (x) = −f (x) ln x = − xe x ln x. . . . . . .
x
1
2nx2n−1 (x2n + 1) − 2nx2n−1 (x2n − 1)
. .......................
(b) f ′ (x) = q
2n
(x2n + 1)2
2
1 − ( xx2n −1
)
+1
(c) f ′ (x) =
2x tan x − x2 sec2 x
. ..........................................................
(tan x)2
1.0 pto.
1.0 pto.
1.0 pto.
P5. Calcule los siguientes lı́mites, usando si lo requiere, reglas de L’Hôpital.
(a) (1 pto.) lı́m (x ln x).
x→0
π
tan x.
(b) (1 pto.) lı́m x −
2
x→π/2
p
1
(c) (1 pto.) lı́m ( 1 + x2 + 3x + 1) sen .
x→∞
x
Solución
(a) lı́m x ln x = lı́m
x→0
x→0
ln x
1/x
=
lı́m
L′ Hop x→0
1/x
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−1/x2
1
(x − π/2)
=
lı́m
= − lı́m sen2 x = −1.
cotan x L′ Hop x→π/2 − cosec2 x
x→π/2
p
p
1
1
(c) lı́m ( 1 + x2 + 3x + 1) sen = lı́m x( 1 + 1/x2 + 3 + 1/x) sen
x→∞
x x→∞
x
p
sen x1
= lı́m ( 1 + 1/x2 + 3 + 1/x)
= 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x→∞
1/x
(b)
lı́m (x − π/2) tan x = lı́m
x→π/2
x→π/2
P6. Determine las ası́ntotas oblicuas hacia +∞ de las funciones
1
(a) (1.5 ptos.) f (x) = x2 sen .
x
1
(b) (1.5 ptos.) f (x) = 1 + xe x .
Solución
3
1.0 pto.
1.0 pto.
1.0 pto.
(a) y = mx + n es la ası́ntota oblicua con
m = lı́m
x→∞
sen 1/x
f (x)
= lı́m
= 1.
x→∞
x
1/x
......................................................................................
0.5 ptos.
n = lı́m (f (x) − mx) = lı́m x2 (sen 1/x − 1/x)
x→∞
x→∞
Haciendo t = 1/x, queda
n = lı́m
t→0
sen t − t
cos t − 1
− sen t
= lı́m
= lı́m
= 0.
L′ Hop t→0
L′ Hop t→0
t2
2t
2
......................................................................................
1.0 pto.
Ası́ntota: y = x.
1
(b) m = lı́m 1/x + e x = 0 + e0 = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x→∞
n = lı́m (1 +
x→∞
0.5 ptos.
(e1/x − 1)
e1/x − 1
) = 1 + lı́m
= 2.
x→∞
1/x
1/x
Ası́ntota: y = x + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tiempo: 3:00 hrs.
26 de noviembre de 2007
1.0 pto.