Examen Este examen consta de 6 preguntas de 3,0 ptos. cada una

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introduccón al Cálculo 09-2
Examen
Este examen consta de 6 preguntas de 3,0 ptos. cada una. La nota del examen se calcula mediante la fórmula
Nex = P3 + 1, 0, donde P es el puntaje total obtenido.
√
P1. (3,0 ptos.) Considere la función f (x) = ln( 3ex/2 − 2). Encuentre dominio, ceros, asíntotas. Identifique
crecimiento y recorrido. Bosqueje el gráfico de f .
P2. Se define (xn )n∈N mediante
xn+1 =
2(1 + xn )
,
3 + xn
con x1 > 0 dado.
a) (1,5 ptos.) Muestre que si xn > 1, entonces 1 < xn+1 < xn , ∀n ≥ 1.
b) (1,5 ptos.) Concluya que si x1 > 1 entonces (xn )n∈N es convergente y calcule su límite.
P3. (3,0 ptos.) Resuelva la ecuación sen(x) + sen(2x) + sen(3x) = 0.
P4. Calcule los siguientes límites, usando si lo requiere, regla de L’Hôpital.
a) (1,0 pto.) lı́m
x→0
1−cos(πx)
.
x2
b) (1,0 pto.) lı́m x−( ln x ) .
x
x→1
c) (1,0 pto.) lı́mπ (x − π2 ) tan(x).
x→ 2
√
P5. a) Considere la función f (x) = arc sen( 21+xx ).
(i) (1,0 pto.) Demuestre que
f 0 (x) =
|1 + x| (1 − x)
√ ,
|1 − x| (1 + x)2 x
∀x ∈ Dom(f ) \ {1}.
(ii) (1,0 pto.) Pruebe, usando la definición, que f no es diferenciable en x = 1.
b) (1,0 pto.) Encuentre la recta tangente en el punto (x, y) = (2, −1) de la curva
x4 + 3x3 y + y 3 + 9 = 0.
P6. Determine las asíntotas oblicuas hacia +∞ de las funciones:
2
a) (1,5 ptos.) f (x) = e1/x (x−1)
x−2 .
b) (1,5 ptos.) f (x) = x2/3 (x − 1)1/3 .
24 de noviembre de 2009
Sin consultas
Tiempo: 3:00