Parcial 3

Parcial III – Cálculo Vectorial
Octubre 27 de 2009
Resuelva completamente el punto I y uno entre el II y el III
(15 Puntos) I. Considere la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x2 + y 2 − 2y = 0.
(i) Haga una gráfica de ambas superficies, encuentre y grafique su curva de intersección.
(ii) Encuentre el área de la superficie de la esfera que se encuentra sobre el plano x-y y
dentro del cilindro.
(iii) Encuentre el volumen de la región interior tanto al cilindro como a la esfera.
(5 Puntos) II. Sea R el cuadrado de vértices (0, 1), (1, 2), (2, 1) y (1, 0). Calcule la
siguiente integral:
ZZ
(x + y)2 cos2 (x − y) dA.
R
(5 Puntos) III. Haga una gráfica del sólido cuyo volumen está dado por la integral
Z √ Z √ 2 Z √ 2 2
2
√
− 2
2−x
√
− 2−x2
Calcule el volumen correspondiente.
6−x −y
dz dy dx.
x2 +y 2
Solución
I.
(i) La esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 está centrada en el origen y tiene radio 2, el cilindro
x2 + y 2 − 2y = 0 o, completando el cuadrado, x2 + (y − 1)2 = 1, tiene centro en (0, 1, 0)
y su radio es 1, ası́ que su curva de intersección es la ilustrada en la siguiente gráfica:
Esfera:
xl+l+Z2=4
3
x
Cilindro:
r=2sen
fJ
(ii) El área de la superficieFigura
de la 14.64
esfera que se encuentra sobre el plano x-y y dentro del
cilindro está dada por la integral
s
2 2
ZZ
ZZ r
∂z
4
∂z
A(S) =
1+
dA,
+
dA =
2 − y2
∂x
∂y
4
−
x
D
D
que, en coordenadas cilı́ndricas, con 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, queda
Z π Z 2sen θ
Z π2 h p
i2sen θ
2
√
A(S) =
r dr dθ = 2
−2 4 − r2
dθ
0
4 − r2
0
0
0
Z π2 hp
i
= −4
4 − 4 sen2 θ − 2 dθ
0
Z
π
2
= −8
(cos θ − 1) dθ = 4π − 8.
0
(iii) El volumen interior a la esfera y al cilindro está dado por la integral V (E) =
que, en coordenadas cilı́ndricas, con 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, queda
π
Z
V (E)
Z
=
0
0
2 sen θ
√
Z
4−r 2
√
− 4−r 2
Z
π
2
Z
r dz dr dθ = 2
0
E
p
2 4 − r2 r dr dθ
0
2sen θ
Z π
i
3
3
2
4 2h
2 32
dθ = −
− (4 − r )
= 2
(4 − 4 sen2 θ) 2 − 4 2 dθ
3
3 0
0
0
Z π2
Z π2
32
32
= −
(cos3 θ − 1) dθ =
(1 − cos θ + sen2 θ cos θ) dθ
3 0
3 0
π
sen3 θ 2
16
32
=
θ − sen θ +
=
(3π − 4).
3
3
9
0
Z
π
2
2 sen θ
RRR
2
dV
II. La integral
RR
R
(x + y)2 cos2 (x − y) dA sugiere la siguiente sustitución:
v = x − y,
u = x + y,
que convierte el cuadrado R en un cuadrado con vértices en (1, −1), (3, −1) (3, 1),y (1, 1).
Calculando las derivadas parciales de x = u+v
y y = u−v
tenemos que el jacobiano de la
2
2
transformación es
∂x ∂x 1
1
1
∂u
∂v
2
2
J = det
= det
=− .
1
1
∂y
∂y
−
2
2
2
∂u
∂v
Ası́, en términos de las nuevas variables la integral a calcular es:
ZZ
(x + y)2 cos2 (x − y) dA =
=
13
3
3
1
R
Z
Z
3
cos2 v dv =
1
13
3
3
Z
1
Z
1
u2 cos2 v | −
−1
1
1
| dv du =
2
2
Z
1
3
u3
3
1
cos2 v dv
−1
3
13
1
13
1
1
1 + cos 2v
dv =
v − sen 2v =
2 − sen 6 + sen 2 .
2
6
2
6
2
2
1
III. La gráfica del sólido cuyo volumen está dado por la integral
Z √ Z √ 2 Z √ 2 2
2
√
− 2
6−x −y
2−x
√
− 2−x2
dz dy dx
x2 +y 2
es la siguiente:
Esfera:
X1+l+Z2=6
3
Paraboloide:
z=X1+l
2
y
x
Q: X1+lszs
-I6-X1-l
- -12 - x2 s y s -12 - X1
-v'2sxs
.,fi
14.58
Para calcular tal volumen,Figura
pasando
a coordenadas cilı́ndricas, tenemos que
x = r cos θ,
y = r senθ,
3
r2 = x2 + y 2 ,
luego
√
Z
2
√
− 2
√
Z
2−x2
√
− 2−x2
Z √6−x2 −y2
Z
2π
√
Z
2
√
Z
dz dy dx =
x2 +y 2
Z
0
√
2
2π
0
Z
=
Z
2
√
Z
6−r 2
r dzdr dθ = 2π
0
=
√
6−r 2
√
r2
0
r2
p
( 6 − r2 − r2 )r dr
√
2
r
2π
r dzdr
0
p
6−
r2
Z
dr − 2π
0
2
r3 dr
4 √2
i√ 2
3
2π h
r
= −
(6 − r2 ) 2
− 2π
3
4 0
0
3
3
4
2π
2π
2π √
2π
=
(6) 2 −
(4) 2 −
(2) 2 =
( 216 − 11).
3
3
4
3
4