Primer Parcial

NOMBRE: .................. . ..... . ........... . .. . ... . ...... . ...... . ...... .. . . . . .... . CÁLCULO
Examen parcial (lh 30 min .)
Primera parte
13 de Enero de 2014 Nota 1: El ejercicio se resolverá en esta hoja. Nota 2: Se recuerda que está prohibido el uso de calculadoras. 1.- Sea una función
f (x)
que en un punto x = b verifica: > 0:l5 > O/ Ix - bl < 5 ::::} If(x) - 31 < E. a) Justificar si f(x) tiene límite cuando x tiende a b, dando su valor en caso afirmativo . b) Justificar si la función f (x) es continua en el punto x = b. 'VE
(2 puntos)
2.- A partir de la aproximación de MacLaurin del sen x, obtener la aproximación de
MacLaurin de cuarto orden de: f (x ) = x sen x - sen 2 x
(2.5 puntos)
3.- Demostrar que toda función real de variable real diferenciable en un punto es continua
en dicho punto. ¿ Es cierta la afirmación inversa? Justifica la respuesta, dando un .
contraejemplo en caso de que no sea cierta.
(1.5 puntos)
4.- Un hombre está situado en un punto P ubicado a una distancia de 5km ·
perpendicularmente a un punto A de la costa. Suponiendo que la costa es rectilínea,
se define otro punto costero B situado a 6 km de A. El hombre, sobre un bote de
remos, desea ir desde el punto P al punto B en el menor tiempo posible. Determinar
el camino que debe seguir sabiendo que puede remar a una velocidad de 2 km/h y
andar a una velocidad de 4 km/h.
(1. 5 puntos)
5.- Estudiar los extremos de f(x) en el intervalo [-2, 2J, Y clasificarlos según sean mximos
o mínimos. Especificar si se trata de extremos relativos o absolutos:
1
x
f(x)
,
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x
-1
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1 - (x - 1) 2 , si 1 ~ x ~ 2
(2.5 puntos)
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CÁLCULO
Examen parcial (1 h)
Segunda parte
13 de enero de 2014 EL EJERCICIO 2 SE RESOLVERÁ EN ESTA HOJA
NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS
1.- Expresar como unión de intervalos el subconjunto de lR formado por los elementos x que
verifican:
a) [1 , 5 ptosJ
2x+1 >
3x-6
-
3 , x r--1- 2
b) [1,5 ptosJ 13x + 2124
2.- Dada una ecuación polinómica de grado 4 con coeficientes reales, responder a las siguientes
cuestiones:
a) [lpto] Cuántas soluciones con parte imaginari a no nula puede tener si, al menos, una
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de sus raíces es ~'eal?
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3.- [3 ptos] CalculaJ: los siguientes límites
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n->oo
lim (
n->oo
1-
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a E lR, a =f- O
n
3n2 + 5n - 1 ..2!.±.L
) vdn+l
3n2 + 2n - 2
4.- [2 ptos] Se define el conjunto
A
=
{( x, y)
E
lR2 Ix ~ 3, 2x ~ 3y , 3x 2 y2}
Se pide:
a) Dibujar el conjunto A.
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V7.A.
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b) [1 ptoj Si Si Y 5 - 3i son dos soluciones, cuáles son las otras soluciones? 5" 0)
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b) Determinar A, A, A', 8A, Ais(A),
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