HOJA de ejercicios nº 1: FÓRMULA DE TAYLOR Curso 10 – 11 1

HOJA de ejercicios nº 1: FÓRMULA DE TAYLOR
Curso 10 – 11
1. Se mide la arista de un contenedor de forma cúbica con un resultado de a=6m con un
error de 0,1m. Aproximar, mediante diferenciales, la cota del error propagado al calcular
a) El volumen del contenedor
b) El área del mismo.
2. a) Hallar la fórmula de Taylor para cada una de las funciones siguientes y para los valores
de a y n indicados
f(x) = x
para a = 4 y n = 2.
π
f(x) = cos x
para a =
y n = 4.
3
f(x) = arctg x para a = 1 y n = 3.
b) Calcular, usando la fórmula correspondiente del apartado anterior, el valor aproximado
y una estimación del error cometido para 5 , cos1, arctg 2
3. Dada la función f ( x)  e x . Se pide:
a. Escibir la fórmula de MacLaurin
b. Calcular el valor aproximado de e con el polinomio de MacLaurin de grado 5,
acotando el error cometido en dicha aproximación
c. Calcular el grado necesario para obtener con la fórmula de MacLaurin un error
menor que 10-6 en el cálculo de e
4. Para valores de x entre 40  y 50 , obtener una cota del error que se comete al efectuar la
2
 1
 
2 
aproximación sen x 
1   x     x   
2  
4 2
4  
5. Dada la función f(x) = x2e-x, se pide:
a) Escribir la fórmula de MacLaurin.
1
b) Acotar el error cometido en el cálculo de f   utilizando el polinomio de grado 5.
5
c) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
1
f   con un error menor a 10-6
5
6.
Sea f(x) una función que admite un desarrollo en serie de Maclaurin
a) Demostrar que si f(x) es una función impar entonces Tn(f(x),0) solo presenta potencias
impares.
b) Desarrollar tgx en potencias de x hasta el término de grado 5, empleando la igualdad
tg x  sen x .
cos x
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC
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HOJA de ejercicios nº 1: FÓRMULA DE TAYLOR
Curso 10 – 11
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL ESTUDIANTE
1. La medida del lado de una pieza cuadrada ha dado 15cm con una cota de error de 0,03cm.
a. Aproximar, mediante diferenciales, el porcentaje del error propagado (cota) al calcular
el área.
b. Estimar el máximo error porcentual admisible en la medida del lado para que el error
cometido al calcular el área no supere el 2,5%.
2. Usando Derive para obtener polinomios de Maclaurin, y usando las propiedades de
infinitésimos equivalentes, calcular los siguientes límites
a) lim
x 0
c) lim
x 0
x  senx
2
x
e 1 x 
2
.
  
b) lim cos xe x  ln(1  x)  x
x
tg 2 x  arcsenx 2
.
5
2
1  x  cos x  ln(1  x)
6
x 0
d) lim
x0

cot gx 3
ln 2 (1  x)  sen 2 x
1  e x
2
.
.
3. Dado el polinomio de Mac-Laurin Tn(cos x,0), calcular Tn(cos(x2) ,0).
4. Sea
a)
b)
c)
f ( x)  xe x  tg ( x)
Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de f
Hallar una aproximación del valor f (0,1) con el polinomio de MacLaurin de orden 3
Acotar el error cometido en el cálculo de f (0,1) en el apartado b)
5. Sea f(x) una función que admite un desarrollo en serie de Maclaurin, probar que si f(x) es
una función par entonces Tn(f(x),0) solo presenta potencias pares.
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