Problema Dos partıculas, cada una de masa my carga q

Problema
Dos partı́culas, cada una de masa m y carga q, se suspenden por cuerdas de longitud l de un punto común.
Hallar el ángulo θ que forma cada una de las cuerdas con la vertical.
Solución
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de una
cualquiera de las masas, por ejemplo la de la izquierda, se obtiene:
T cos θ − mg
T sen θ − Fe
=
=
0
0
(1)
(2)
Además, se tiene:
d/2
l
=
sen θ
(3)
Fe = mg tan θ
(4)
Usando (2) y (1) se obtiene:
Por otro lado, a partir de la ley de Coulomb se tiene:
Fe = k
q2
q2
=
k
d2
4l2 sen2 θ
Luego, igualando (4) y (5) resulta:
k
q2
= mg tan θ
4l2 sen2 θ
o bien
k
q2
4l2 mg
=
sin3 θ
cos θ
=
tan3 θ cos2 θ =
=
tan3 θ
1 + tan2 θ
1
tan3 θ
tan3 θ
=
2
1
cos θ + sen2 θ
2
cos θ
cos2 θ
(5)
Para resolver esta ecuación, se define (solo para simplificar la notación) x ≡ tan θ y a ≡ k
q2
4l2 mg
, quedando
para resolver la ecuación
x3 − ax2 − a = 0
Luego, θ = arctan x
2
(6)