Que tipo de triangulo - cremc - Universidad Interamericana de

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Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce
¿Qué tipo de triángulo es?
Prof. Enrique Díaz González
Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce
En algunas situaciones de tipo práctico, se necesita conocer si un determinado
triángulo con lados de longitudes a, b, c es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Para
decidir esta condición, se puede emplear el teorema del coseno, conjuntamente con otras
propiedades de los triángulos. Recordemos, en primer lugar, el teorema del coseno.
Teorema del coseno. En todo triángulo con lados de longitudes a, b, c y ángulos
opuestos  ,  y  , respectivamente, se tiene: a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos 
b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos 
c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos 
Demostración. Probaremos solamente la primera afirmación ya que las restantes se
prueban en forma análoga. Hay varias formas de probar este teorema. Una de ellas es la
siguiente.
Figura 1
En la figura se tiene: a 2  h 2  n 2 , h 2  b 2  m 2 , por el teorema de Pitágoras.
cos  
m
 m  b  cos 
b
a 2  b2  m2  n2
 b 2  b 2  cos 2   c 2  2  m  c  m 2
 b 2  c 2  b 2  cos 2   2  b  c  cos   b 2  cos 2 
 b 2  c 2  2  b  c  cos 
Esto termina la demostración.
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Se necesita también el siguiente teorema acerca de los lados de un triángulo.
Teorema. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y, recíprocamente, a
mayor ángulo se opone mayor lado.
Antes de hacer la demostración se probará el siguiente lema.
Lema. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es mayor que la medida de
cualquier ángulo interior no adyacente. (Figura 2)
Figura 2
Demostración. Consideremos un triángulo ABC como el de la figura. Sea E el punto
medio de BC y prolonguemos AE de modo que AE  ED . Resulta que
ACE  DBE por teorema LAL de congruencia. Luego ACE  DBE . Como D está
en el interior del CBF resulta que mDBE  mCBF . Luego mACE  mCBF .
Para probar que mCAB  mCBF , se procede en forma análoga considerando el otro
ángulo exterior ABG y usando el hecho que los ángulos exteriores ABG y CBF son
congruentes, por ser opuestos por el vértice.
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Demostración del teorema. Supongamos que en el triángulo siguiente se tenga a  b .
(Figura 3)
Figura 3
Queremos probar que    . Se traza la bisectriz del ángulo ACB que intersecta el lado
AB en un punto D. Sobre el lado CB se copia CE = CA. Los triángulos CDA y CDE son
congruentes por el caso LAL de congruencia. Por lo tanto mCAD  mCED . Como
CED es exterior del triángulo DBE se tiene, de acuerdo al lema anterior, que
mCED  mDBE , es decir,    y como    , resulta    que es lo que se
quería probar.
Para probar el recíproco, es decir, si    entonces BC  AC , se razona en
forma indirecta. Si BC  AC entonces    , lo cual contradice la hipótesis. Si
BC  AC entonces    , lo cual también contradice la hipótesis .La única posibilidad
es que BC  AC.
Ahora estamos en condiciones de responder a la pregunta: ¿Qué tipo de
triángulo es? Consideremos los siguientes casos.
1) Supongamos que en un triángulo ABC se tiene a  b , a  c , b  c . Podemos
ordenar a, b y c en orden decreciente y supongamos que a  b  c . Por lo tanto, el
ángulo  es el ángulo mayor en el triángulo ABC. Se presentan las siguientes
posibilidades:
i) a 2  b 2  c 2 . Por el teorema del coseno a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos  de donde
resulta 2  b  c  cos   b 2  c 2  a 2  0  cos   0   está en el segundo
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cuadrante   es obtuso  el ABC es obtusángulo. Por ejemplo, un triángulo de
lados 3, 5 y 7 es obtusángulo pues 7 2  5 2  32 .
ii) a 2  b 2  c 2 . En este caso 2  b  c  cos   b 2  c 2  a 2  0  cos   0  
está en el primer cuadrante   es agudo   y  son también agudos porque 
es el ángulo mayor  el triángulo es acutángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados
10, 8 y 7 es acutángulo pues 10 2  8 2  7 2 .
iii) a 2  b 2  c 2 . En este caso, a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos   cos   0 
  90 y el triángulo es rectángulo.
2) Supongamos ahora un triángulo ABC con lados a, b y c de modo que, por
ejemplo, a  b . Entonces se presentan las siguientes posibilidades.
Supongamos que a  c . Entonces a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos  
i)
2  b  c  cos   c 2  cos  
c
 0   es agudo  ABC es
2b
acutángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8, 8 y 5 es acutángulo.
ii)
Supongamos que c  a . En este caso c 2  a 2  b 2  2  a  b  cos 
c 2  2  a 2  2  a 2  cos  , ya que a  b
c2
c2
 cos   1 

c  2  a  (1  cos  )  1  cos  
2  a2
2  a2
2
2
2  a2  c2
. Se presentan las siguientes posibilidades.
cos  
2  a2
a) Si 2  a 2  c 2  0 , entonces
2  a  c y como c  a se tiene a  c  2  a .
En este caso  es agudo y el triángulo es acutángulo. Por ejemplo, un triángulo
de lados 8, 8 y 10 es acutángulo ya que 8  10  2  8  11.28 . Pero un
triángulo de lados 8, 8 y 12 no es acutángulo ya que 12  2  8 .
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b) Si 2  a 2  c 2  0 entonces
2  a  c , el ángulo  es obtuso y el triángulo es
obtusángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8, 8 y 12 es obtusángulo ya que
2  8  12 .
c) Si 2  a 2  c 2  0 entonces
2  a  c , cos   0 y el triángulo es rectángulo.
Por ejemplo, un triángulo de lados 8 , 8 y
2  8 es rectángulo ya que
( 2  8) 2  8 2  8 2
3) Finalmente si un triángulo tiene sus tres lados iguales a  b  c , entonces el
triángulo es equilátero y por lo tanto es acutángulo.
Bibliografía.
1) Moise, Edwin Elementary Geometry from an Advanced Standpoint
Addison Wesley, 1992.
2) Poenish, Ricardo Curso de Matemáticas elementales. Geometría
Santiago de Chile, 1971.
Enrique Díaz González, [email protected] Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad
Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois.
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