∏ ∏ ( )( ( )( ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏

Problema 665, propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Valladolid:
Si A , B y C son los ángulos de un triángulo, siendo A el mayor, probar que:
A≥ 1
A
≤
∏ cos 2 − ∏ sen 2 ≤ 2 ⇔ A ≥ 90 .
cíclico
cíclico
Solución 2 de Bruno Salgueiro Fanego, Viveiro, Lugo:
Sean α =
A
B
C
1
, β = y γ = . Al ser α + β + γ = ( A + B + C ) = 90 , resulta que
2
2
2
2
0+1i =senγ cos γ − cos γ senγ + i ( sen 2γ + cos 2 γ ) = ( senγ + i cos γ )( cos γ + isenγ )

π

π

=  cos  − γ  + isen  − γ   ( cos γ + isenγ ) = ( cos (α + β ) + isen (α + β ) ) ( cos γ + isenγ )
2

2


= ( cos α cos β − senα senβ + i ( cos α senβ + senα cos β ) ) ( cos γ + isenγ )
= cos α cos β cos γ − senα senβ cos γ − cos α senβ senγ − senα cos β senγ + i ( cos α cos β senγ
−senα senβ senγ + cos α senβ cos γ + senα cos β cos γ )
0 = cos α cos β cos γ − senα senβ cos γ − cos α senβ senγ − senα cos β senγ
⇒
1 = cos α cos β senγ − senα senβ senγ + cos α senβ cos γ + senα cos β cos γ
 senα senβ cos γ + cos α senβ senγ + senα cos β senγ = cos α cos β cos γ .
⇒
1 + senα senβ senγ = cos α cos β senγ + cos α senβ cos γ + senα cos β cos γ .
De estas dos igualdades, se deduce que
( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) = ( cos α cos β + senα senβ − senα cos β − cos α senβ )( cos γ − senγ )
= cos α cos β cos γ + senα senβ cos γ + senα cos β senγ + cos α senβ senγ
−senα cos β cos γ − cos α senβ cos γ − cos α cos β senγ − senα senβ senγ = cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
A
A

−1 − senα senβ senγ − senα senβ senγ = 2 ( cos α cos β cos γ − senα senβ senγ ) − 1 = 2  ∏ cos − ∏ sen  − 1
2 cíclico
2
 cíclico
A
A 1
1
⇒ ∏ cos − ∏ sen = ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) +
2 cíclico
2 2
2
cíclico
luego
≥
≥
A
A 1
1
1 1
∏ cos 2 − ∏ sen 2 ≤ 2 ⇔ 2 ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) + 2 ≤ 2
cíclico
cíclico
≥
⇔ ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) 0 .
≤
Distinguimos los tres casos posibles:
1) El triángulo es acutángulo ⇔ A < 90 ⇔ A , B y C < 90 ⇔ α , β y γ < 45 ⇔ cos α > senα ,
cos β > senβ y cos γ > senγ ⇔ cos α − senα > 0 , cos β − senβ > 0 y cos γ − senγ > 0
⇔ ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) > 0 ⇔
A
A
1
∏ cos 2 − ∏ sen 2 > 2 .
cíclico
cíclico
2) El triángulo es rectángulo ⇔ A = 90 ⇔ A = 90 , B y C < 90 ⇔ α = 45 , β y γ < 45
⇔ cos α = senα ⇔ ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) = 0 ⇔
A
A
1
∏ cos 2 − ∏ sen 2 = 2 .
cíclico
cíclico
3) El triángulo es obtusángulo ⇔ 90 < A < 180 ⇔ 90 < A < 180 , B y C < 90
⇔ 45 < α < 90 , β y γ < 45 ⇔ cos α < senα , cos β > senβ y cos γ > senγ ⇔ cos α − senα < 0 ,
cos β − senβ > 0 y cos γ − senγ > 0 ⇔ ( cos α − senα )( cos β − senβ )( cos γ − senγ ) < 0
⇔
A
A
1
∏ cos 2 − ∏ sen 2 < 2 .
cíclico
cíclico