Clase 27. Miércoles 09-03-16 - Jos Luis Quintero D vila

Cálculo III
Tema 3. Integrales dobles y triples
SEMANA 13. CLASE 27. MIÉRCOLES 09/03/16
4. Cambio de variables en la integral doble.
4.1. Fundamentos.
Sean S y T dos regiones de R 2 . Sea F : T → S una aplicación biyectiva definida por
F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) , esto es, por el par de funciones
x = x(u, v)
.

y = y(u, v)
La transformación inversa F −1 : S → T está dada por el par de funciones
u = u(x, y)
.

v = v(x, y)
Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula
de transformación para integrales dobles
∫∫
f(x, y)dA =
∫∫
S
f[x(u, v), y(u, v)]
∂(x, y)
dA ,
∂(u, v)
T
donde
∂(x, y)
∂(u, v)
indica el jacobiano de la transformación F, es decir
∂x
∂(x, y)
∂u
J(u, v) =
=
∂(u, v)
∂y
∂u
el determinante:
∂x
∂v .
∂y
∂v
Las hipótesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son:
a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en
T.
b. J(u, v) ≠ 0 en todo punto (u, v) ∈ T.
c. f(x,y) es continua sobre S.
4.2. Cambios de variables frecuentes:
a. Coordenadas polares:
x = r cos(θ)
, J=r

 y = rsen(θ)
b. Transformaciones lineales:
x = au + bv
, J = ad − bc.

y = cu + dv
Se supone ad − bc ≠ 0.
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Tema 3. Integrales dobles y triples
4.3. Ejemplo ilustrativo. Calcule
∫∫
2
dA ,
x
R
donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones
y = ln(x) , y = 1 + ln(x) , y = 2 − ln(x) , y = 1 − ln(x) .
Solución.
Cambio de variables: u = y − ln(x) , v = y + ln(x) . Por lo tanto,
(v − u)
x=e
J(u, v) =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
=
− 12 e
v −u
2
1
2
1
2
e
v −u
2
1
2
2
, y=
= − 12 e
v −u
2
u+v
.
2
. J(x, y) =
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
=
− 1x 1
1
x
1
=−
2
.
x
Nuevas ecuaciones: u = 0 , u = 1 , v = 2 , v = 1 .
1
∫∫
0
2
dvdu = 1 .
1
4.4. Ejemplo ilustrativo. Calcule
∫∫
x2 + y2 dxdy,
S
donde S es el dominio del plano definido por las condiciones x2 + y2 ≥ 9 , x2 + y2 ≤ 16 .
Solución.
Cambio a coordenadas polares:
∫∫
S
x2 + y2 dxdy =
donde T = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π} .
∫∫
r2drdθ =
74π
,
3
T
4.5. Ejemplo ilustrativo. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la
curva de ecuación polar r = 1 + cos(θ) que es exterior a la curva de ecuación polar r = 1 .
Solución.
Gráfico (ver figura 4).
Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo
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Tema 3. Integrales dobles y triples
π
∫ ∫
∫
ÁREA = 2
2
0
π
=
0
1 + cos(θ)
rdrdθ =
1
2
∫
π
2
(1 + cos(θ)) − 1 dθ =


2
0
∫
π
2
2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ


0
2 cos(θ) + cos2 (θ) dθ = 2 + π .


4
4.6. Ejemplo ilustrativo. Plantee la integral
I=
∫∫
x3 y3 dA
R
eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices
(−1, −1) , (2,2) y (0,2).
Solución.
 x3 y3
x3y3 = 
3 3
−x y
si (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∨
(x ≤ 0 ∧ y ≤ 0)
si (x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∨
(x ≤ 0 ∧ y ≥ 0)
(ver figura 5)
0
I=
∫∫
−1
y
(y − 2) 3
2
x3y3dxdy −
∫∫
0
0
(y − 2) 3
2
x3y3dxdy +
∫∫
0
y
x3y3dxdy
0
Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo
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