Sesion18b

Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
1
Integrales dobles
2
Integrales triples
3
Cambios de variable
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles y triples
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
R: rectángulo R = [a, b] × [c, d]
f : R → R: campo escalar e dos variables.
Si f es continua en R ⇒ fx : [c, d] → R y fy : [a, b] → R son funciones
continuas en su dominio de definición.
Además, ambas son funciones reales de una variable real continuas y,
por tanto, integrables Riemann.
f (x, y) dxdy
Podemos definir:
b
Z
F
:
[c, d] → R, F (y) =
Z
d
Z
:
R
b
fy (s) ds =
f (s, y ) ds
a
G
[a, b] → R, G (x) =
Z
a
d
fx (t) dt =
c
f (x, t) dt
c
Tanto F como G son, a su vez, funciones continuas y, por lo tanto, pueden
volver a integrarse. De esta forma, podemos definir las integrales reiteradas:
Z d
Z d Z b
Z d Z b
IR1 =
F (y ) dy =
fy (s) ds dy =
f (s, y ) ds dy
c
Z
IR2
c
b
a
b
Z
d
Z
G (x) dx =
=
a
Teorema
Si f : R → R es continua en R = [a, b] × [c, d], entonces
IR1 = IR2 y, además, en este caso su valor común se
representa como
Z Z
Z
c
b
a
d
Z
fx (t) dt dx =
a
c
f (x, t) dt dx
a
c
Si f es un campo escalar continuo de dos variables con
f (x, y ) ≥ 0 para todo punto (x, y) perteneciente a un
rectángulo R entonces
Z Z
f (x, y) dxdy
R
representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica
de z = f (x, y) y sobre la región R.
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Ejemplo
Calcula el volumen de la región comprendida bajo la gráfica de
f (x, y ) = x 2 + y 3 y sobre el rectángulo R = [0, 1] × [2, 3]
RR
Puede calcularse el volumen V =
R f (x, y ) dxdy de dos
formas:
#
#
Z 3 "Z 1
Z 3 "Z 1 V =
f (x, y ) dx dy =
x 2 + y 3 dx dy
2
0
2
0
o bien
Z
1
"Z
V =
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales sobre regiones simples
f : A → R donde:
n
o
A = (x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)
En este caso:
Z Z
f (x, y ) dxdy
A
representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y )
y sobre la región A y se calcula:
#
Z Z
Z b "Z f2 (x)
f (x, y ) dxdy =
f (x, y) dy dx
A
a
f1 (x)
Integrales dobles
#
Z
1
"Z
f (x, y ) dy dx =
0
Integrales dobles
3
2
0
Integrales triples
3
#
x 2 + y 3 dy dx
2
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales sobre regiones simples
f : A → R donde:
n
o
A = (x, y ) ∈ R2 : g1 (y ) ≤ x ≤ g2 (y) , c ≤ y ≤ d
En este caso:
Z Z
f (x, y ) dxdy
A
representa el volumen del sólido comprendido bajo la gráfica de z = f (x, y )
y sobre la región A y se calcula:
#
Z Z
Z d "Z g2 (y )
f (x, y ) dxdy =
f (x, y) dx dy
A
c
Integrales dobles
g1 (y )
Integrales triples
Cambios de variable
RR
EJEMPLO: Calcula la integral
(xy) dxdy siendo A la región del plano
A
comprendida entre y = x, xy = 1, y = 2
Cálculo de áreas con integrales dobles
Tomando f (x, y ) = 1 la expresión
Z Z
1dxdy
A
representa el área de la región del plano A.
A=
1
(x, y) : 1 ≤ y ≤ 2,
≤x ≤y
y
Ejemplo: Área de un cı́rculo de radio r .
o bien
1
1
A = (x, y ) :
≤ x ≤ 1,
≤ y ≤ 2 ∪ {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2}
2
x
Dos posibilidades para calcular el volumen:
Z 2
Z Z
V =
(xy ) dxdy =
A
1


Z y

(xy) dx  dy,
1
y
Z 1 "Z 2
Z Z
V =
(xy ) dxdy =
A
1
2
1
x
#
Z 2 Z 2
(xy ) dy dx+
1
x
(xy) dy dx
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Cálculo de volúmenes con integrales triples
1
Todo lo anterior puede extenderse sin dificultad a funciones de tres variables
f : [a, b] × [c, d] × [r , s] → R para obtener la integral triple
Z Z Z
f (x, y , z) dxdydz
Integrales dobles
A
2
Integrales triples
En el caso más general, el campo escalar f no estará definida en
[a, b] × [c, d] × [r , s], sino en una región del plano A dada por:
o
n
A = (x, y , z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) , h1 (x, y ) ≤ z ≤ h2 (x, y )
3
Cambios de variable
en este caso,
Z Z Z
b
Z
"Z
g2 (x)
"Z
h2 (x,y )
f (x, y , z) dxdydz =
A
#
#
f (x, y , z) dz dy dx
a
g1 (x)
h1 (x,y)
Para calcular el volumen de la región A es suficiente tomar f (x, y , z) = 1
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Ejemplo
Calcula el volumen V de la región encerrada por la superficie
z = 4 − x 2 − y 2 y los planos z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0
Z
2
"Z
2−x
"Z
V =
4−x 2 −y 2
#
#
dz dy dx
0
0
0
1
Integrales dobles
2
Integrales triples
3
Cambios de variable
Integrales triples
Cambios de variable
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Definición de cambio de coordenadas
Integrales dobles
Integrales triples
Coordenadas polares
La transformación en coordenadas polares es útil cuando la región A es una
circunferencia, cı́rculo o porción de cı́rculo o circunferencia y viene dada por
la siguiente relación:
Sea R un conjunto Rn . Una función g : R → Rn se llama cambio de
coordenadas en A si verifica:
1
g tiene derivadas parciales continuas en el interior de R
x
=
r cos θ
2
g es inyectiva en R
y
=
r sin θ
3
g(R) = A
r
≥
0, 0 ≤ θ ≤ 2π
4
Cambios de variable
∂(x,y)
∂(u,v )
det(Jg (x)) 6= 0 para todo x del interior de R.
Fijemos un cambio de variable (en 2 variables) g(u, v ) = (x(u, v ), y(u, v )):
Notación:
∂x ∂x ∂ (x, y )
∂v
= det(Jg (u, v )) = det ∂u
∂y
∂y
∂ (u, v )
∂u
∂v
representa el determinante de la matriz Jacobiana,
∂x ∂x ∂ (x, y )
cos θ −r sin θ
∂v
= det ∂u
=
det
=r
∂y
∂y
sin θ
r cos θ
∂ (u, v )
∂u
∂v
Cambio de coordenadas:
Z Z
Z Z
∂ (x, y )
f (x, y ) dxdy =
(f ◦ g) (u, v )
dudv
∂
(u, v )
A
R
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Coordenadas elı́pticas
x
= ar cos θ
∂x
∂u
∂y
∂u
y
= br sin θ
r
≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π
∂x
∂v
∂y
∂v
Cambios de variable
= det
a cos θ −ra sin θ
b sin θ rb cos θ
La transformación en coordenadas cilı́ndricas viene dada por
Φ (r , θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z):
en este caso
∂(x,y,z)
∂(r ,θ,z)
x
=
r cos θ
y
=
r sin θ
z
=
z
representa el determinante de la matriz Jacobiana,
 ∂x ∂x ∂x 


cos θ r sin θ 0
∂r
∂θ
∂z
∂ (x, y , z)
∂y
∂y 
= det  ∂y
= det  sin θ r cos θ 0  = r
∂r
∂θ
∂z
∂ (r , θ, z)
∂z
∂z
∂z
0
0
1
∂r
∂θ
∂z
En este caso,
Integrales triples
Coordenadas cilı́ndricas
La transformación en coordenadas polares es útil cuando la
región A es una elipse o porción de elipse, con ecuación en
2
2
forma canónica xa2 + yb2 = 1, y viene dada por la siguiente
relación:
∂ (x, y )
= det
∂ (u, v )
Integrales dobles
= rab
Integrales dobles
Integrales triples
Cambios de variable
Coordenadas esféricas
La transformación en coordenadas esféricas viene dada por
Φ (r , ϕ, θ) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ):
en este
∂ (x, y , z)
∂(x,y ,z)
caso ∂(r
,ϕ,θ)


= det 

∂ (r , ϕ, θ)
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
x
=
r sin ϕ cos θ
y
=
r sin ϕ sin θ
z
=
r cos ϕ
representa el determinante de la matriz Jacobiana,
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ
∂x
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ


sin ϕ cos θ

 = det  sin ϕ sin θ

cos ϕ
r cos ϕ cos θ
r cos ϕ sin θ
−r sin ϕ

−r sin ϕ sin θ
r sin ϕ cos θ  = r 2 sin ϕ
0