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Universidad de Pamplona
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
Taller Ecuaciones Diferenciales
Prof. Danny Bravo
27 de enero de 2016
Código:
Nombre:
1. La población de ratones campestres satisface la ecuación diferencial
dp
= 0,5p − 300
dt
a) Encuentre el tiempo en el cuál la población comienza a extinguirse si p(0) = 450.
b) Encuentre el tiempo de extinción si p(0) = p0 , donde 0 < p0 < 600.
c) Encuentre la población inicial p0 , si la población va a extinguirse en medio año.
2. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial
a) t2 y 00 + 5ty 0 + 4y = 0, t > 0;
b) uxx + uyy = 0;
c) y 00 − y = 0,
d)
ty 0
−y =
t2 ,
e) y 00 + y = sec t,
y(t) = t−2 ln t.
u(x, y) = ln(x2 + y 2 ).
y(t) = cosh t.
y(t) = 3t + t2 .
y(t) = (cos t) ln cos t + t sen t.
3. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales
dy
y cos t
=
.
dt
1 − 2y
dy
b)
+ et−y = 0.
dt
c) (yt − y)dy − (y + 1)dt = 0.
a)
d ) (1 + t2 + y 2 + t2 y 2 )dy = (1 + y 2 )dt.
dy
= t2 + 1.
e) 4ty
dt
2
t
−1 dy
f ) (y ln t)
=
.
dt
y+1
dθ
g)
= cos t(cos 2θ − cos2 θ).
dt
dy
h)
= e−2t+3y .
dt
dy
ty − 3y + t − 3
=
.
i)
dt
ty + 2y − t − 2
r − 2r2
2r − 1
j)
dr + 2
dt = 0.
t
t −1
dy
k ) 1 + e−3t
= 0,
y(0) = 1.
dt
dy
2t
l)
=
,
y(0) = −2.
dt
y + t2 y
dy
m)
= ty 3 (1 + t2 )−1/2 ,
y(0) = 1.
dt
dy
at + b
n)
=
Donde a, b, c y d son constantes.
dt
ct + d
dy
ay + b
ñ)
=
Donde a, b, c y d son constantes.
dt
cy + d
4. Dado el siguiente problema de valores iniciales
y 0 + y 2 − y = 0,
y(2) = 4
a) Hallar su solución general, de ser implicita para la variable y, transformar a una expresión
explicita para esta variable.
b) Hallar su solución particular.
5. Dada la siguiente ecuación diferencial
dy
y − 4t
=
dt
t−y
a) Determinar si es separable o no.
b) Si reemplaza la variable y por una nueva variable v definida por v = y/t, demuestre que es
separable para las variables t y v.
c) Solucionar esta última ecuación.
6. Cierta compañia produce un artı́culo destinado a una población en la que hay un numero M
de potenciales compradores. La compañia decide establecer una campaña de publicidad para
promocionar su producto. Los propietarios de la compañia han solicitado a su departamento de
publicidad una medida del impacto de la publicidad. Para determinar esta medida de impacto,
el departamento de publicidad se basa en la hipotesis que la velocidad con la que varia el numero
de personas que conocen el producto es proporcional tanto al numero de personas que conocen
el producto, como al de las que todavı́a no lo conocen. Entonces
a) Plantee las posibles variables que genera la hipotesis.
b) Con ayuda de las variables planteadas, proponga un modelo matemático para determinar
la medida de impacto.
c) Represente cualitativamente el modelo planteado para cualquier instante de tiempo, ¿Qué pasa con la solución en un tiempo lejano? .
d ) Resuelva analiticamente el modelo de medida de impacto .
7. Dada la ecuación diferencial
dy
= y 2 − 4y + 2
dt
a) Graficar su campo direccional y mostrar sus curvas integrales.
b) Elaborar las lineas de fase, determine que punto de equilibrio es una fuente, un sumidero o
un nodo y esbozar las posibles soluciones.
c) Describa el comportamiento a largo plazo de la solución de la ecuación diferencial con la
condición inicial y(0) = −1 .