Guía 3 - Nelson Cifuentes F.

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Guı́a de ejercicios N◦ 4 parte Cálculo
Problemas de Valores Iniciales
1. Un huevo cocido a 98◦ se sumerge en agua cuya temperatura es de 18◦ . Después de 5 minutos, la
temperatura del huevo es de 38◦ . La ley de Newton del enfriamiento indica que
dH
= k(H − 18).
dt
Suponiendo que el agua no se calienta de forma apreciable, ¿Cuánto tardará la temperatura del huevo en
llegar a 20◦ ?.
2. Considere una raza de Conejos cuya población P (t) satisface el problema de valores iniciales
dP
= kP 2 ,
dt
k>0
Si inicialmente habı́a a conejos y después de t0 meses existen b conejos, describir el número de conejos en
el tiempo.
3. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperatura de 50
grados. 10 minutos después, el objeto se ha enfriado a 75 grados Fahrenheit. ¿Cuál será la temperatura
del objeto después de estar en este ambiente por 25 minutos? ¿En cuánto tiempo llegará a 65 grados
Fahrenheit?
4. La temperatura ambiente de la oficina de su amado profesor es de 70 grados Fahrenheit. La experiencia
indica que una taza de buen café baja de 120◦ a 100◦ en 10 minutos. ¿Cuál debe ser la temperatura de la
taza de café al traerla si queremos que pasen 25 minutos antes de que baje a 100◦ F ?
5. Al finalizar el módulo 3-4 se descubre en una de las oficinas del departamento, el cuerpo de un profesor
de MAT022 vı́ctima de los manjares del carro de comidas. La temperatura en la oficina es constante 27◦ .
Al momento se ser descubierto la temperatura es de 30◦ y a las 12:30 la temperatura es de 29◦ . Considere
que la temperatura al momento de la muerte es de 36, 5◦ y que este se ha enfriado de acuerdo a la ley de
Newton. Determine la hora de la muerte.
6. El ritmo de crecimiento de una inversión A es proporcional al monto invertido según la ecuación diferencial
dA
= kA
dt
en todo instante t y donde k es la constante de proporcionalidad.
Hallar la solución particular de esta ecuación diferencial si la inversión inicial es de 4000 pesos, y 10 años
después el monto asciende a 8000 pesos.
7. la variación de peso de un pez obedece a la ley
dp
= αp2/3 − βp
dt
donde p (t) representa el peso en el tiempo t. Las constantes α, β son positivas y dependen de la especie. Si
queremos capturar los peces cuando pesen 34 p∞ donde p∞ es el mayor peso que pueden alcanzar ¿Cuanto
tenemos que esperar?
8. Si el alimento y el espacio no son problema, algunas poblaciones aumentan a una razón proporcional a la
población. Se calcula que la población del mundo en 1910 era de 1600 millones de personas y que para
1960 habı́a aumentado a 2510 millones. ¿Cuál ser a la población del mundo en el año 2012, suponiendo
que no hay problemas de espacio vital ni comida?
9. Un cultivo bacterial tiene una densidad de población de 120 mil organismos por pulgada cuadrada. Se
observó que un cultivo que abarcaba un área de una pulgada cuadrada a las 9:00 A.M. del martes a
aumentado a 3 pulgadas cuadradas para el medio dı́a del jueves. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a
las 1:00 P.M. del domingo siguiente?
1
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Respuestas Guı́a de ejercicios N◦ 4 parte Cálculo
Problemas de Valores Iniciales
1. Al separar las variables e integrar a ambos lados, se tiene que
dH
= kdt ⇔ ln (H(t) − 18) = kt + C ⇔ H(t) = mekt + 18
H − 18
Si t = 0 ⇒ H(0) = m + 18 = 98 y si t = 5 ⇒ H(5) = 80e5k + 18 = 38 con lo que se obtiene
− ln(4)
k = 15 ln 20
.
80 =
5
2 5 ln(40)
= ln(4)
Por lo tanto H(t) = 20 ⇒ 80ekt + 18 = 20 ⇒ t = k1 ln 80
2.
dP
=
P2
kdt ⇔ − P (t)−1 = kt + C ⇔ P (t) =
−1
Ası́ P (0) = −1
C = a ⇒ C = a y P (t0 ) =
la ecuación se obtiene lo pedido.
3.
−1
1
kt0 − a
dF
=
F − 50
=b ⇒ k=
b
a
−1
1
bt0
−1
kt + C
Reemplazando estos valores en
kdt ⇔ F (t) = mekt + 50
Luego reemplazando en las condiciones iniciales, se obtiene que m = 40 y k =
Ası́ la temperatura del objeto es
F (25) = 40e 2 ln( 8 ) + 50 = 40
5
5
Y el tiempo en que llegará a 65◦ es
t=
1
10
ln
5
8
.
52
5
+ 50
8
10 ln(3/8)
ln(5/8)
4. Utilizando la ley de enfriamiento de Newton se tiene que
F (t) = mekt + 70
Según los datos del problema se tienen las siguientes ecuaciones:
F (t1 )
= mekt1 + 70 = 120
= mek(t1 +10) + 70 = 100
F (25) = me25k + 70 = 100
F (t1 + 10)
Resolviendo el sistema anterior se encuentra que
k=
−1
ln
10
52
5
5
; m = 30
3
3
Se pide F (0) = m + 70.
5. Por la ley de enfriamiento de Newton tenemos que la temperatura, T , sigue el siguiente comportamiento:
T (t) = mekt + 27
Además sea t1 el tiempo transcurrido desde la muerte hasta las 11:15 horas y t2 = t1 + 75. Luego se obtiene
el siguiente sistema a resolver:
T (t1 )
= mekt1 + 27 = 30
= mek(t1 +75) + 27 = 29
T (0) = m + 27 = 36,5
T (t1 + 75)
1
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De donde se obtiene:
1
ln
m = 9,5; k =
75
75 ln 23
2
; t1 =
3
3
ln 9,5
Finalmente la hora de muerte es; t0 = 11 : 15 − t1 = 11 : 15 − 26,38191 ≈ 10 : 49
6.
dA
=
A
kdt ⇔ ln (A(t)) = kt + C ⇔ A(t) = mekt
Como A(0) = m = 4000 y A(10) = 4000e10k = 8000 de donde se obtiene que k =
Finalmente
A(t) = 4000 ∗ 2t/10
ln(2)
10 .
7. Tomando p = u3 se tiene que
3 dp
3du
= t + C ⇔ − ln α − βp(t)3 = t + C
= dt ⇔
α − βu
β
αp2/3 − βp
De donde se obtiene que
p(t) =
1/3
1
β
α − exp − (t + C)
3
β
Luego el tiempo pedido es;
t=
=⇒ p∞ = lı́m p(t) =
t→∞
3
α
β
43
3
ln α 3
−C
β
4 − 33
8. Se considera la dinámica de la población dada por
dp
= kp =⇒ p(t) = mekt
dt
Además por las condiciones iniciales se tiene que p(0) = m = 1600 y que p(50) = 1600e50k = 2510, lo que
1
ln(251/160). Luego la población mundial al 2012 esta dada por;
implica que k = 50
P (102) = 1600
251
160
102
50
9. Se considera la dinámica de la población de bacterias como
dp
= kp =⇒ p(t) = mekt
dt
Además por las condiciones iniciales se tiene que p(0) = m = 120 y que p(51) = 120e51k = 3 ∗ 120, lo que
1
implica que k = 51
ln(3). Luego la cantidad de bacterias a las 1:00 Pm del domingo siguiente es;
124
P (124) = 120 (3) 51
2