Parcial 1 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin
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Universidad Nacional de Colombia Sede Medellı́n Primer Examen de Ecuaciones Diferenciales. Semestre 01-2007 Marzo 3 de 2007. Nombre: Carné: Profesor: 1. (25%) Resolver el problema de valor inicial y 3 dx + (2xy 2 − 1) dy = 0, (y > 0) y(0) = 1. Sugerencia: Tener en cuenta que µ(y) = diferencial. 2. (25%) Resolver la ecuación diferencial 1 y es un factor integrante de la ecuación y 0 + y = xy 4 Sugerencia: Hacer el cambio de variable v = y −3 . 3. (25%) Un tanque con una capacidad de 500 galones contiene originalmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se hace entrar agua que contiene 1 lb de sal por galón, a razón de 3 galones por minuto y se deja que la mezcla salga del tanque a razón de 2 galones por minuto. (i)(5%) Hallar el volumen en cualquier instante t, antes de que la mezcla empiece a derramarse. (ii)(20%) Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t antes de que la mezcla comience a derramarse. 4. (25%) La población N = N (t) de una ciudad es una función del tiempo que se rige por la ecuación logı́stica ¡ ¢ dN = 10−2 N 1 − 10−6 N , dt donde el tiempo t se mide en años. Suponer que N (1980) = 105 habitantes. (i)(18%) Encontrar la población de la ciudad como función del tiempo para t > 1980. (ii)(7%) Encontrar el valor de la población lı́mite Nl := limt→∞ N (t). Sugerencia: Tener en cuenta que 1 = 100 −2 10 N (1 − 10−6 N ) µ 1 10−6 + N (1 − 10−6 N ) ¶ .
