Parcial 1 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellı́n
Primer Examen de Ecuaciones Diferenciales. Semestre 01-2007
Marzo 3 de 2007.
Nombre:
Carné:
Profesor:
1. (25%) Resolver el problema de valor inicial
y 3 dx + (2xy 2 − 1) dy = 0,
(y > 0)
y(0) = 1.
Sugerencia: Tener en cuenta que µ(y) =
diferencial.
2. (25%) Resolver la ecuación diferencial
1
y
es un factor integrante de la ecuación
y 0 + y = xy 4
Sugerencia: Hacer el cambio de variable v = y −3 .
3. (25%) Un tanque con una capacidad de 500 galones contiene originalmente 200
galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se hace entrar agua que contiene 1
lb de sal por galón, a razón de 3 galones por minuto y se deja que la mezcla salga
del tanque a razón de 2 galones por minuto.
(i)(5%) Hallar el volumen en cualquier instante t, antes de que la mezcla empiece
a derramarse.
(ii)(20%) Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t antes
de que la mezcla comience a derramarse.
4. (25%) La población N = N (t) de una ciudad es una función del tiempo que se rige
por la ecuación logı́stica
¡
¢
dN
= 10−2 N 1 − 10−6 N ,
dt
donde el tiempo t se mide en años. Suponer que N (1980) = 105 habitantes.
(i)(18%) Encontrar la población de la ciudad como función del tiempo para
t > 1980.
(ii)(7%) Encontrar el valor de la población lı́mite Nl := limt→∞ N (t).
Sugerencia: Tener en cuenta que
1
= 100
−2
10 N (1 − 10−6 N )
µ
1
10−6
+
N
(1 − 10−6 N )
¶
.