Taller 5 - Cálculo Diferencial - Clases 11-12

Taller 5 - Cálculo Diferencial - Clases 11-12
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del
taller, repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Realice
este taller individualmente o en grupos. Si tiene alguna pregunta,
asista a las asesorías con monitores o profesores.
N 5. Suponga que f , g son funciones. Para cada uno de los siguientes casos, ¿qué puede decir sobre los valores de f (x) y
g(x) para x cercanos a a ?
a) lı́m (g(x) + f (x)) = 0.
x→a
b) lı́m (g(x)f (x)) = 0, pero lı́m f (x) = 5.
Clasificación de problemas: N básico, medio, F reto.
x→a
N 1. ¿Qué significa que el límite cuando x tiende a r de f (x) es
el número L? Explique en sus propias palabras.
N 2. ¿Cuándo ocurre que lı́m f (x) no existe? Ilustre ejemplos.
x→r
x→a
g(x)
= 1.
c) lı́m
x→a f (x)
g(x)
d) lı́m
= 0, pero lı́m g(x) = 5.
x→a f (x)
x→a
g(x)
= 2, pero lı́m f (x) = 0.
e) lı́m
x→a
x→a f (x)
N 3. ¿Qué dice el teorema de Compresión?
N 4. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero,
explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto o
muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla.
N 6. Use una calculadora para estimar el valor de los siguientes
importantes límites:
a) lı́m
θ→0
a) Para calcular lı́m f (x) hay que evaluar f (a).
x→a
sen θ
1 − cos θ
, b) lı́m
, c)
θ→0
θ
θ
lı́m xx ,
x→0+
eh − 1
ln x
, e) lı́m
, f) lı́m (1 + x)1/x
x→0
x→1 x − 1
h→0
h
d) lı́m
b) Si lı́m f (x) existe entonces a ∈ Dom(f ).
x→a
c) Si a ∈ Dom(f ) entonces lı́m f (x) existe.
x→a
1
x→a f (x)
d) Si f (a) = 0, entonces lı́m
7. Sabemos que lı́m
no existe.
x→0
e) Si lı́m f (x) = 1 entonces f (x) ≈ 1 si x ≈ 0.
Use su calculadora para estimar:
x→0
f) Si los límites lı́m f (x), lı́m f (x) existen y son iguales,
x→a−
x→a+
entonces lı́m f (x) existe.
x→a
g) Si lı́m f (x) existe, entonces los límites
x→a
sen(x)
ln t
= 1 = lı́m
t→1
x
t−1
lı́m+ f (x),
x→a
lı́m f (x) existen y son iguales.
a) Qué tan cercano debe estar x de 0 para que
a menos de 4 cifras decimales de 1.
b) Qué tan cercano debe estar t de 1 para que
menos de 6 cifras decimales de 1.
sen(x)
x
ln t
t−1
esté
esté a
x→a−
h) Si lı́m f (x) no existe y pero lı́m g(x) si existe, entonces
x→a
x→a
lı́m g(x)f (x) no existe.
x→a
lı́m f (x)
x→a g(x)
i) Si lı́m f (x) = lı́m g(x) = 0, entonces
no exisx→a
x→a
te.
(x)
j) Si lı́m f (x) = 4, lı́m g(x) = 0, entonces lı́m fg(x)
no
x→a
x→a
x→a
existe.
Para los siguientes
lı́m f (x) = 7.
enunciados,
suponga
que
N 8. Calcule los siguientes límites y explique el resultado.
x
x2
x
|x|
, b) lı́m
, c) lı́m+ 3 , d) lı́m
,
x→0 x
x→0 x
x→0 x
x→0 x
√
√
√
x
x
x− x
√
, f) lı́m
, g) lı́m+
,
e) lı́m−
x→0 x − x
x
x
x→0
x→0
a) lı́m
N 9. A continuación se muestra la gráfica de la función g. Resuelva
los límites indicados.
x→3
y
k) Si x ≈ 3, entonces f (x) ≈ 7.
l) lı́m (xf (x)) = 21.
x→3
x
m) Si g(3) = 4, entonces lı́m (f (x)g(x)) = 28.
x→3
n) Si lı́m (f (x) + g(x)) = 12 entonces lı́m g(x) = 5.
x→3
x→3
ñ) |f (2,99) − 7| < |f (2,9) − 7|.
o) Debe existir un número positivo t tal que si x ∈ (3−t, 3+
t), entonces f (x) es aproximadamente igual a 7 con una
precisión de al menos 6 decimales.
g
a) lı́m g(x), b)
x→−2
Febrero, 2014. Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
lı́m g(x), c)
x→−1+
lı́m g(x),
x→−1−
d) lı́m g(x), e) lı́m g(x), f) lı́m g(x), g) lı́m g(x),
x→0
x→2
x→4+
x→4
N 10. En la siguiente gráfica se muestran las funciones f y g.
g(x)
f(x)
13. Considere la figura geométrica siguiente. A medida que el
ángulo t se hace cada vez más pequeño, las longitudes del
lado L(t) y el arco circular A(t) tienden a cero. Calcule
lı́mt→0 A(t)/L(t). ¿Qué se puede decir de los tamaños relativos de A y L cuando t es casi cero?
5
2
-7
-6
3
0
-3
6
8
A
L
x
t
-2
-5
Evalué (cuando sea posible) los límites de f (x), g(x),
f (x)g(x), f (x)/g(x) y g(x)/f (x) cuando x tiende a
−7, −6, −3, 0, 3, 6 y 8 por la derecha y por la izquierda.
F 14. Un proyectil es lanzado con un cañón desde el punto (0, 0).
Para cualquier tiempo t, las coordenadas del proyectil son
(x(t), y(t)) como se muestra en la figura. La altura está dada
por y(t) = ut− 21 gt2 donde g es la aceleración de la gravedad
y u es la velocidad vertical inicial. Similarmente, la distancia
horizontal del proyectil es x(t) = wt + at2 donde a es una
aceleración y w es la velocidad horizontal inicial.
11. Calcule cada uno de los siguientes límites. Antes de usar
álgebra, use su calculadora para estimar el resultado.
x2 − 4
x→2 x2 − 3x + 2
x3 − 1
lı́m 2
x→1 x − 1
x−4
lı́m √
x→4
x−2
x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
1
3
c)
d) lı́m
−
x→1 1 − x
1 − x3
√
3− 5+x
√
f ) lı́m
e)
x→4 1 −
5−x
√
√
3
x−8
x2 − 2 3 x + 1
h)
lı́m
g) lı́m √
x→1
x→8 3 x − 2
(x − 1)2
1 − cos(4x)
x
j) lı́m
i) lı́m
x→0
x→0 sen x
2x
1 − x2
k) lı́m (1 − x) tan( 12 πx) l) lı́m
x→1
x→1 sen(πx)
tan x − sin x
m) lı́m x2 ecos(π/x)
n) lı́m
x→0
x→0
x3
1
1
o) lı́m −
p) lı́m x cos(xx )
x→0 x
x→0
|x|
sin(10x)
tan(πx)
q) lı́m
r) lı́m
x→0 sin(4x)
x→1 x − 1
a)
lı́m
b)
lı́m
12. Considere las siguientes funciones

(

cos x, x < 0,
x2 ,
F (x) = 0,
x = 0, , H(x) =

sin x,

x,
x > 0,
Calcule el límite cuando x tiende a cero de:
F (x), H(x), F (x)H(x),
F (x)
H(x)
x < 0,
,
x > 0,
a(t)
y(t)
x(t)
Calcule el límite cuando t tiende a cero de y(t)/x(t). ¿Con
qué ángulo de inclinación se disparó el proyectil?
Respuestas Taller 4.
1.
2. a)V, b)V, c)F, d)F, e)F, g)V, h)V, i)F, j)V, k)F
3. a), e)
4. b) F f −1 (40) = 5 millones de años. Es la edad de las rocas
que se encuentran a 40 metros de profundidad.
5. C −1 (x) = x−6000
22000 es la cantidad de camisetas que se pueden
producir con x pesos.
6. f −1 (30) = 1,098 horas. Es el tiempo que se demora el pan
en alcanzar los 30◦ C
7. a) B(t) = 20ekt con k = 13 ln(5/2), b) f −1 (B) =
1
k ln(B/20).
ex
8. f −1 (x) = a) 51 (2−x2 ), b) −2x−3
3x+4 , c) log10 (log2 (x)) d) ex −1 ,

 x−2
x<0

2
1/x
e) 2 , f) − log(x) − 1 1e 6 x 6 1

√
x−2
x>2
9. 11.89 años.
10. 38.87 horas.
11.
(
12. b) g
−1
(x) =
x
50
x−50
25 ( +
1500
0<x<5
1500 + 100(x − 5) 5 6 x 6 15
e) (h ◦ g)−1 (x) = x/5
La planta tarda 33.042 días en invadir todo el lago, y el día
antes había invadido el 58 % del lago.
Dom(f −1 ) = {2, 1, 0, −2}, Ran(f −1 ) = {−1, 0, 1, 3},
Dom(g −1 ) = (−1, 1], Ran(g −1 ) = (−2, 1],
Dom[h−1 ) = Ran(h−1 ) = R,
Dom(h ◦ g)−1 = [0, 2), Ran(h ◦ g)−1 = (−2, 1]
Dom(g ◦ f )−1 = {0, 1}, Ran(g ◦ f )−1 = {0, 1}
Dom(f ◦ g ◦ h)−1 = {0, 1}, Ran(f ◦ g ◦ h)−1 = {0, 1}.
1
2
4 x + 4x .
La tasa de interés es dell 11.6 % y en 21 años lo que vale hoy
100$, valdrá 1000$.
c) (f ◦ h−1 )(x) =
13.
14.
15.
16.
0 < x < 50
1 50 6 x 6 100