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Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo en Varias Variables 08- 1
1.
Guía
Ingeniería Matemática Semana 4
Universidad de Chile
RESUMEN
R
R
Gradiente. Sean Ω ⊂ N un abierto, f : Ω → , x0 ∈ Ω, con f diferenciable en x0 . La derivada de f en x0 , f ′ (x0 ) es una matriz fila de tamaño
1 × N de modo que puede identificarse con un vector de N , que llamamos
gradiente de f en x0 y lo denotamos por ∇f (x0 ). Identificando los vectores
de N con las matrices columna, tenemos entonces que ∇f (x0 ) = f ′ (x0 )T
y

 ∂f
∂x1 (x0 )

 ∂f
 ∂x2 (x0 ) 




·
∇f (x0 ) = 
 .


·


·


∂f
∂xN (x0 )
R
R
• La dirección del gradiente ∇f (x0 ), es aquella de máximo crecimiento de
f a partir del punto x0 .
El hiperplano tangente al grafo de f en el punto (x0 , f (x0 )) es el conjunto
de puntos (x, xN +1 ) ∈ N +1 que satisfacen
R
xN +1 = f (x0 ) + ∇f (x0 ) · (x − x0 ).
R
En el caso de que se trate de un conjunto de nivel NC (f ) = {x ∈ N | f (x) =
C} de f , y si ∇f 6= 0. Se define el hiperplano tangente a NC (F ) en x0 como
el conjunto de puntos x ∈ N que satisfacen
R
∇f (x) · (x − x0 ) = 0
2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Gradiente y Plano Tangente
P1.- Hallar el gradiente de f en cada uno de los siguientes casos:
a) f (x, y, z) = (x − y)exz , en (1, 2, −1).
b) f (x, y) = x2 − y 2 sen y, en (π, π).
R
R
c) f (x) = kxkα , x ∈ n \{0}, α ∈ + . En x = 0 y x 6= 0.
Hint: Separe en los casos α < 1 y α > 1 para estudiar la diferenciabilidad en 0.
P2.-
a) Hallar la ecuación para el plano tangente a cada superficie z =
f (x, y) en el punto indicado:
i) z = x3 + y 3 − 6xy en (1, 2, −3)
ii) z = cos x sen y en (0, π/2, 1)
b) Calcular, para los siguientes casos, la dirección de mayor crecimiento en (1, 1, 1)
1
Ingeniería Matemática
Universidad de Chile
i) f (x, y, z) = xy + yz + xz
ii) f (x, y, z) = x2 +y12 +z2
P3.- Considere la función f :
3
R3 → R definida por:
f (x, y, z) =
exy + z 2
1 + cos2 (xy)
a) Encuentre ∇f (x, y, z).
b) Encuentre el plano tangente al grafo de f en el punto (x, y, z) =
(0, 3, 2).
P4.- Sea S la superficie:
n
S = (x, y, z) ∈
R3 : z 2 + (
o
p
x2 + y 2 − 2)2 = 1
a) Encuentre los planos tangentes a S en 0, 2 +
√1 , √1
2
2
y (0, 1, 0).
b) Bosqueje la intersección
de S al plano x = 0. En el bosquejo
indique 0, 2 + √12 , √12 y (0, 1, 0)y dibuje los vectores normales
a S en dichos puntos.
P5.- Calcular una ecuación para el plano tangente a la gráfica de:
f (x, y) =
ex
x2 + y 2
en x = 1, y = 2.
P6.- Encuentre la linealización de
1
f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 3
2
en el punto (3, 2).
P7.-
a) Trazar las curvas de nivel de
f (x, y) = −x − 9y 2
para c = 0, −1, −10
b) Sobre su trazo, dibujar ∇f en (1, 1). Explicar.
2
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P8.- El capitan PF tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio.
La temperatura del casco de la nave, cuando el está en la posición
(x, y, z) estará dada por:
T (x, y, z) = e−(x
2
+2y 2 +3z 2 )
donde x, y, z están medidos en metros. Actualmente él está en (1, 1, 1):
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápido la
temperatura?.
b) Si la nave viaja a 8 metros por segundo, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura?.
c) Desafortunadamente,
√el metal del casco se quebrará si se enfría a
una tasa mayor que 14e2 grados por segundo. Describir el conjunto de posibles direcciones en las que puede avanzar bajando
la temperatura a una tasa no mayor que esa.
Curvas parametrizadas
P9.- Encuentre la derivada de f (x, y, z) = xyz en la dirección del vector
velocidad de la hélice
r(t) = (cos 3t, sen 3t, 3t)
en t =
P10.- Sea f :
π
3.
R2 → R definida por:
f (x, y) = x3 − xy + cos(π(x + y))
a) Encuentre un vector normal a la curva de nivel f = 1 en el punto
(1, 1).
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel
f = 1 en el punto (1, 1).
c) Encuentre un vector normal al grafo de f en el punto (1, 1).
d) Encuentre el plano tangente al grafo de f en (1, 1).
P11.- Considere la superficie S = {(x, y, z) ∈
R3 | x2 + y2 − z = 0}.
a) Encuentre el plano tangente a S en el punto (0, −π, π 2 ).
b) Considere la curva definida por σ(t) = (t sen t, t cos t, t2 ).
Muestre que σ está contenida en S y que pasa por el punto
(0, −π, π 2 ) ¿Cuál es el valor de t allí?
Calcule el vector v, tangente a la curva en (0, −π, π 2 ). Haga un
dibujo.
3
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Universidad de Chile
3.
PROBLEMAS RESUELTOS
P12.- P3 C2 PRIM 07, M. Leseigneur
a) Muestre que la ecuación del plano tangente a la elipsoide
y2
b2
+
z2
c2
x2
a2
+
= 1 en el punto (x0 , y0 , z0 ), puede escribirse como:
xx0
yy0
zz0
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
2
2
2
b) Encuentre todos los puntos de la elipsoide xa2 + yb2 + zc2 = 1 para
los cuales el plano tangente forma un ángulo de π4 con el eje OZ.
Identifique la ecuación que satisfacen dichos puntos y explique
su resultado geométricamente.
Solución
2
2
2
a) Si definimos la función g(x, y, z) = xa2 + yb2 + zc2 − 1, entonces
el vector normal al plano deseado corresponde al gradiente de g.
Este es:
2x 2y 2z
∇g =
,
,
a 2 b 2 c2
Luego, la ecuación del plano corresponde a:
h∇g, x − x0 i = 0
Es decir:
2y
2z
2x
(x − x0 ) + 2 (y − y0 ) + 2 (z − z0 ) = 0
a2
b
c
Luego, utilizando el hecho que
x20
a2
+
y02
b2
+
z02
c2
= 1, se obtiene:
xx0
yy0
zz0
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c
b) Necesitamos encontrar los puntos tales que la normal del plano
anterior forma un ángulo de π4 con el eje OZ. Si se impone esta
condición:
π h 2x0 , 2y0 , 2z0 , (0, 0, 1)i
a2 b2
c2
=
cos
2x20 , 2y20 , 2z20 4
a
b
c
Esto lleva a:
2zo
√
2
2
1
2
x20
a4
+
y02
b4
+
z02
b4
=
1
2
=
=
4
2
c
r x20
4 a4 +
y02
b4
+
z02
b4
zo2
c4
z02
c4
x20
a4
+
y02
b4
+
z02
b4
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Finalmente:
x2
y2
z02
= 40 + 40
4
c
a
b
lo que corresponde a elementos pertenecientes al cono de esta
última ecuación.
P13.- (P1 EX OT 2005, M. Leseigneur)
Encontrar todos los puntos de la superficie
z = ex+y + sen(x − y)
cuyo plano tangente es paralelo a z = x + y.
Solución
Sea F (x, y, z) = z − ex+y − sen(x − y), entonces el vector normal a la
superficie del enunciado es:


−ex+y − cos(x − y)
∇F =  −ex+y + cos(x − y) 
1
Dado que la curva de nivel F (x, y, z) = 0 coincide con la superficie
del enunciado.
Por otro lado, el plano z − x − y = 0 tiene por vector normal:


−1
 −1 
1
Por lo que si se quiere que el plano tangente en (x0 , y0 , z0 ) sea paralelo
al plano pedido, debemos imponer que sus vectores normales sean
paralelos, es decir:




−ex0 +y0 − cos(x0 − y0 )
−1
 −ex0 +y0 + cos(x0 − y0 )  = λ  −1 
1
1
para algún λ 6= 0. Entonces:
λ = 1,
−ex0 +y0 − cos(x0 − y0 ) = −1,
−ex0 +y0 + cos(x0 − y0 ) = −1
Y se tienen las siguientes ecuaciones:
ex0 +y0 = 2 ⇔ x0 +y0 = ln(2),
cos(x0 −y0 ) = 0 ⇔ x0 −y0 = 2kπ para algúnk ∈
Finalmente, los puntos son:
ln(2)
ln(2)
+ kπ, y =
− kπ
(x, y) ∈ 2 | (∃k ∈ ) x =
2
2
R
Z
5
Z