INTEGRALES DE SUPERFICIE

103
INTEGRALES DE SUPERFICIE
1.- Algunos conceptos previos
1.1.- Interpretación geométrica de una transformación lineal de R2 en R3


Consideremos T : R 2  R 3 / T u;v    x u;v ; y  u;v ; z u;v   una T.L. cuya matriz
asociada respecto de las bases canónicas es:
a11 a12 


M  a21 a22 


a31 a32 
Como en una transformación lineal las rectas paralelas se transforman en rectas paralelas,
el cuadrado de lado 1 en R2 se transforma en el paralelogramo construido sobre
T10
;    a11;a21;a31  y T  01
;    a12 ;a22 ;a32  .
Esto significa que
 el área del
 cuadrado de lado 1 se transforma en la norma del producto
;  y T  01
; .
vectorial entre T 10
1.2.- Superficies dadas paramétricamente.
1.2.1.- Definición:

:

: D  R 3 con D  R 2 . La suUna superficie parametrizada
es
una
función

perficie  es el conjunto imagen = D 

 u;v    x u;v ; y  u;v ; z u;v  

Si   C1, es decir sus componentes tienen derivadas parciales continuas, se dice que  es
una superficie diferenciable o C 1
1.2.2.- Curvas coordenadas

Dada una superficie parametrizada  u;v  , se llaman curvas coordenadas a las que se
obtienen al mantener constante uno de los parámetros .

Los vectores tangentes a las curvas coordenadas son los vectores derivados de  , es decir


 x y z 
 x y z 
:  'u   u ; u ; u  y  'v   v ; v ; v 




1.2.3.- Plano tangente



Consideremos una superficie dada por  u;v  tal que  'u y  'v son tales que su producto vectorial no es el vector nulo (es decir, no son nulos ni paralelos), estos vectores
generan el plano tangente a la superficie ( ya que éste contiene a todas las rectas tangen-
104
tes a curvas sobre la superficie. Esto
que un vector normal al plano tangente
 significa


es perpendicular a ambos. Resulta: N   'u   'v

Resulta que la ecuación del plano tangente a la superficie , imagen de  u;v  en
P0(x0;y0;z0) es:


 P  P0     ' u  u 0 ; v 0    ' v  u 0 ; v 0    0




Una superficie  imagen de :A  R 3 con A  R 2 es regular si y sólo si   C1 



'u ' v  0, (u; v)  A . Significa que tiene vector normal no nulo y continuo en todos
sus puntos.
2.- Área de una superficie en R3

Consideremos una superficie  , imagen de una función :D  R 3 con D  R 2 que cumpla las siguientes condiciones:
a)  es C1,
b)  inyectiva en D, y



c)  'u (u;v )   'v (u;v )  0 para todo (u;v)  D , excepto en un número finito de puntos.
(Equivale a pedir que  sea suave en D , excepto en un número finito de puntos).
Interesa calcular el área de 
z

 u;v 
v

 v. 'v
vj+1
vj
D
vj

u .  'u
ui
ui
y
ui+1 u
x
Provocamos una partición regular en D en rectángulos de área uivj. Esta partición in
duce, mediante  u;v  , una partición en  en cuadriláteros curvilíneos  ij , cuya área
puede aproximarse por un paralelogramo sobre el plano tangente, trazado en un punto arbi
trario Pij =   i ;  j con ui < i < ui+1 , vj <  j < v j+1.


105
Es decir que estamos considerando, en realidad, la transformación del rectángulo de
área uivj en un paralelogramo sobre el plano tangente a la superficie. Esto equivale a
pensar en que se ha definido una transformación lineal
que
canónica en el plano

 a la base
3
(u,v) le hace corresponder los vectores derivados  'u y  'v de R .
De acuerdo con la interpretación geométrica dada para las transformaciones lineales de R2
en R3 , esto significa que al cuadrado de área 1 del plano ( u;v), le asigna un cuadrilátero de


área  'u   'v .
Por lo tanto, al rectángulo de área uivj le asigna como imagen un paralelogramo de área


 'u   'v uivj .
n m 

Resulta:
área de  = lím    ' u  i ;  j   ' v  i ;  j u i . v j
n  i  1 j 1
m 




Por definición de integral doble se tiene:
Área de  
D


 ' u  u; v   ' v  u; v du. dv
Si  está definida en forma explícita por z= F(x;y) ,para todo (x;y)  A ,podemos pensaru  x
la como una superficie parametrizada en la que 
v  y
Luego la superficie es la imagen del campo vectorial


: A  R3 /  x; y  x ; y ; F x; y , entonces


Área de  =   ' x  x; y   ' y  x; y dx. dy


A

siendo  'x (x; y )  1; 0 ; F 'x (x; y )
,


y

 ' y ( x; y)  0 ; 1 ; F ' y ( x; y) .


 ' x  x; y    ' y  x; y   1 0 F ' x ( x; y ) =

 
F ' x ( x; y ) i  F ' y ( x; y ). j  k

i

j

k
0 1 F ' y ( x; y )


 'x  x; y    'y  x; y   1 F '2x ( x; y )  F '2y ( x; y ) , de donde resulta:
Área de  =
A
1  F'2x ( x; y)  F'2y ( x; y) dx. dy
106
Fórmulas similares a ésta pueden obtenerse si se tiene x= x(y;z) o y = y(x;z). En estos
casos el recinto de integración se obtendrá proyectando la superficie sobre los planos (y,z) ó
(x,z) respectivamente.
Por último,  puede estar definida implícitamente por G (x;y;z)=0. Si G (x;y;z)=0
define implícitamente a z = F(x;y) se tiene:

2
2
2
2
2
G
( x; y ; z )
G
'

G
'

G
'
z
x
y

  G' 
G'
y
1 F '2x ( x; y )  F ' 2y ( x; y )  1  x   
 =
G
'
G
'


z 
z 
G ' 2z
=
G'z
(1)
Pero teniendo en cuenta que el versor normal a la superficie está dado por:

G ( x ; y ; z )

n 
y que las componentes de un versor son sus cosenos directores, resulta
G ( x ; y ; z )
1
que (1) es
 
cos n, k 
Entonces: Área de =

D xy
dx. dy
  donde Dxy es la proyección de sobre el plano(x,y)
cos n, k 
Si se desea proyectar sobre el plano( x,z) es:
dx. dz
Área de  = 
  donde Dxz es la proyección de  sobre el plano(x,z)
cos
n
, j

D xz
Si se desea proyectar sobre el plano( y,z) es:
Área de  =

D yz
dy. dz
 
cos n, i 
donde Dyz es la proyección de  sobre el plano(y,z)
Observación: Todas las fórmulas son válidas para superficies regulares a trozos, es decir
superficie que son imágenes de campos vectoriales inyectivos, pertenecientes a C1
,definidos de una unión de recintos simples de R2 en R3 . Estos campos constituyen una
parametrización de la superficie. Debe cumplirse que al menos,respecto de una de esas
parametrizaciones, el vector normal resulte no nulo en todo sus puntos excepto, a lo sumo,
en un conjunto de medida nula.