PDF (6. Nociones sobre geometría diferencial)

CAPITULO 6
NOCIONES SOBRE GEOMETRIA DIFERENCIAL
I
6. 1 Ecuaciones de la tangente a una curva. En el· capitulo
5 hemos visto como las lin~as alabeadas 0 del espacio, se represen­
tan mediante ecuaciones parametricas, .
(1)
x
= x(a) ;
y
= y(a);
z-:- z(a)
las cuales se reducen, en sintesis, a una ecuacion vectorial,
(2)
r
= r(a)
donde r designa el vector que une el origen de la terna con el punto
p (x, y, z). Al vector r. se Ie menciona como coordenada vectorial,
vector de posicion, etc.
Se dijo, ademas, que los parametros empleados con mayor fre­
cuencia para describir una curva, eran: en G€ometria Diferencial,
la longitud s de linea, longitud medida a partir de un origen con­
vencional; en Cinematica, el tiempo transcurrido desde el paso del
movil por una determinada posicion en la trayectoria.
.
En este capitulo se considerara exclusivamente el parametro s.
:.
.
.
../
.
.
Pasamos a deducir las ecuadones de Ia tangente geometrica a
una curva del espacio, (Figura 6-1).
Consideiemos 'el punto P(x, y,
z) que supondremos fijo en la
cui-va, y un punta Ph variable
en el entorno de P.
Pl. tendra por. coordenadas,
O)l------''r;;:-''­
(3)
x
+ ~x,
y
+
~y,
z
+. ~z
que son, como es obvio, las com­
. ponentes del vector OP1'
. . Se escribe ahora,
OP 1 = rl= i(x +
(4)
+ j (y +AY) + k(z +
AX)
dr.",
ds
ds
,
, OP; - OP = PP 1 = Ar = iAx +' JAY + kAZ
(6)
Formemos ahora Ia ecuaci6n 'deJa secante que une los puntos
P,P 1 • Utilizaremos Ietras maylisculas para designar puntos de Ia se­
cante, ~n general; minlisculas para designar, las> coordenadas del
punto fijo, P. Emplearemos ademiis, como pariimetro, Ia abscisa
curvilinea, s.
La ecuaci6n de Ia secante expresa que las compollEmtes de los
vectores PL, PPl, son proporcionales, ~' saber,
x - x _
AX
(7) y - y,
=
Z ~'
,X-x
Y-y
Z-z
-----­
AX/AS
AZ/AS
AY/AS
La tangente se define como Ia secante en Ia posicion limite, 0
sea aqtiella posici6n a 'que se acerca Ia secante cuando el punto PI
tiende a confundirse con P.
Aparecen entonces las derivadas,
AS~
_
dx
' ds
= x',
etc.
,0
con 10 cuallas ecuaciones de Ia tangente se escriben ,
(1,0)
,
,X-
X
Y-
_
Y
-;;,- - 1/'-
Z -z "
=~,-
Si voIvemos ahora a Ia relaci6n (6), resuitafiicil v'er Ia cone­
xion que existe entre Ia derivada del veCtor r y las derivadas de las
coordenadas. Al efecto, dividiendo Ia (6) por ~s, se tiene,
(11)
_. AX +'.] AY
+ k' AZ­
'Ar
---1--AS
AS
AS
AS
de Ia cual se obtiene, al hacer. tender
, . AS a cero:
82 ,
'
........
"
;:' = ix' + jy' + kz'
(13) Si se tiene en cuentaque r' es el vector unitario t, (versor tan­
gente), podemos escribir,
x'
(14)
donde cos
punta P.
a,
= cos a;
y' = cos
f3;
z'
= cos
et~., son los cos enos directores de Ia tangente, para el
anaIitica:
,
, CPS)
,
- - - =p
(PT)
(15) (S: punta (X, Y, Z) ; T: extremo del versor t) las (1,0) dan Iugar a Ia siguiente relaci6n, = r + ~P
R
(16) En esta expOSlClOn mantendremos cierto paralelismo entre los
procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales. EI, meto­
do en general consistirii en pasar de Ia expresi6n cartesiana, (Anii­
lisis) , a la veCtorial, (Sintesis), y viceversa.
'
Volviendoa las ecuaciones de ,Ia tangente, vemos como ellas
pueden ser escritas con empleo de diferenciales, asi,
(17)
X-x
Y-y
dx
dy
Z
-,Z
dz
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida
como interseccion de dos superficies, cuyas ecuaciones escribimos de
manera general, asi,
(18)
f(x,y,Z) = ,0 ;
11 (x,y,z) =
PM,
g
,0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia cur­
va :i.ntersecci6n, de las (18), se
e como sigue:
....', .
~,~. .. '!?;~/~:::
y
La ecuaci6n vectorial de Ia tangente, sintetiza las ecuaciones
(8) lim.:lx
AS
dz
'-­
ds
(.1,0). Si se introduce Ia variable auxiliar empleada en Geometria
Z '
AY
Al dividir los incrementos por AS, las ecuaciones (7) se mO,di­
fican asi"
(9) +k
dy,
seglin Ia notaci6n de Lagrange,
0,
de las cuales se obtiene, por substraccion
'
,
­
(i2) ,
+ jy + kz
OP = r = ix
(5) AZ)
,
UNlVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
s~o~ "fllt'.I.~1N
83
dr, ,
.
..-:=
ds
(i2) .
0,
1
dx .
--
ds
+ 'J.'
+k dz
dy
ds
segun la notaci6n de Lagrange,
.' = ix' + jy' + kz'
(13)
Si se tiene en cuentaque r' es el vector. unitario t, (versor tan­
gente), podemos escribir,
x'
(14)
donde cos
punta P.
a,
= cos a;
= cos {3;
y'
= cos y
z'
etc., son los cosenos directores de la tangente, para el
La ecuaci6n vectorial de la tangente, .sintetiza las ecuaciones
(.10). Si se introduce la variable auxiliar empleada en Geometria
analitica:
. (PS)
(15)
- - - ='p
(PT)
(8: punto (X, Y, Z) ; T: extremo del versor t)
las (10) dan lugar a la siguiente relaci6n,
(16)
= r + Jp
R
En 'esta expOSlClOn mantendremos eierto paralelismo entre los
procedimientos y expresiones cartesianas y los vectoriales. EI meto­
do en general consistira en pasar de Ia expresi6n cartesiana, (Ana­
!isis), a Ia vectorial, (Sintesis), y viceversa.
.
Volviendo a las' ecuaciones de: la tangente, vemos como elIas
pueden ser escritas con empleo de diferenciales, asf,
X-x
Z~.z
Y
dz
dy
dx
Ocurre muchas veces que una curva alabeada aparece definida
como intersecci6n de dos superficies, cuyas ecuaciones escribimos de
manera general, asi,'
(18)
. f(x,y,z) = 0 ;
11 (x,y,z)
=0
Para obtener en este caso las ecuaciones de Ia tangente a Ia cur­
va :lntersecci6n de las (18), se •
como sigue:
~
UNlVERSIDAD NAtIONAL OE COLOMBIA IiDl! ....I)fl.~1N DEPTO.
ns Bl8LIOTECAS
83
Las componentes de es[e producto vectorial se obtienen como cofac­
tores de Ia primera linea,' en el determinante simb6lico,
Se efectua Ia diferenciaci6n de las ecuacio,nes (18), con 10 que
se tiene,
(19) ay.
ax
atl
(20) dx
. afl
ay
ax
dy
dy
az
+
az dz
=
0
(26)
dz
= 0, dx
dy
[ (Y
(27)
af/ ay
af/az
dz­
afl/ az
afl/ay
af/ax
af/
, af/ax
af/ az
(28)
valores que, llevados a (17), resuelven Ia euesti6n.
y) (allay)
y) (afday)
(Z
z) (aId az) = 0
Obtendremos ahora de manera directa, por medio del Ca1culo
vectorial, las ecuaciones de Ia tangente ala eurva. Sea, (Figura 6,1),
FS un vector en Ia tangente, con origen en P; sus componentes valeri,
X-x;
Y
Vi
Z-z
Por otra parte, considerando et versor tangente; t, cuyas 'com­
ponentes son (x', V', z'), formaremos el producto vectorial de los dos
vectores mencionados, que,' por ser estos colineales, igualaremos a
cero, teniendose,
(25)
84
,y' .
z'
=0
y)z' -
+
(Z -
[(X -
z)x']i
x)y' -
+
[(Z
z)x' -
(Y -,y)x']k
=
x) z'Ji
(X
0
(Y-y)z'- (Z-z)y' (Z-z)x' -
(X
0,
etc.
0,
x)z' -
Sea una superficie de
(1)
(Z - z) (allaz) = 0,
Las (22) y (,23) vienen a ser las ecuaciones de la tangente a'Ia
curva considerada. Son ecuaciones de dos pIanos, puesto que son Jineales. en X, Y, Z. Tendremos ocasion mas adelante de analizar su
significado.
.
(24) x' 6. 2 Plano tangente a una superficie.
ecuacion,
Se despejan de (:17), dX,dy, dzy se reemplazanen (1,9) y (20),
con 10 eual se obtiene,
(23) (X - x) (all/ax)
Z-z
de las cuales se deduce facilmente Ia (10).
Mas resulta preferible proceder de Ia manera siguiente:
+ (Y
+ (Y
Y-y
igualdad a cero que implica Ia de las tres componentes.
ay
afd ax
afd ax
(22) (X - x) (aflax)
X-x
EI desarrollo de este determinante es,
De estas ecuaciones se deduce,
(,21)
k
i
~dx+
.1
Nos proponemos hallar el Iu­
gar geometrico de las tangentes
a todas las curvas que serta posi­
ble trazar sobre Ia superficie con- .
siderada, a traves de un punto' P
ordinario, de Ia. misma, (Figura
6-2). Por punto ordinario se en­
tiende todo pun to de Ia superficie
en el cual no se anulen a Ia vez
las tres derivadas parciales de
primer orden de I(x,y,z) , con res­
pecto a sus variables.
M
0'J.-_ _ _ _ _--"-4&
F-itJ.
'-Z
Si imaginamos una curva trazada sobre Ia superficie (S), Ia
curva tendra ecuaciones de Ia forma,
(2)
I(x,v,z)
= 0,
fl (x,y,z)
=
0
donde fl (x,y,z) = 0 viene a ser Ia eeuacionr de una segunda super­ de. Las ecuaciones de la, tangente a Ia curva intersecci6n definida
'85
Las componentes de este producto vectorial se obtienen como cofac­
tores de la primera linea, en el determinante simb6Iico,
i
(26)
k
X-x
Y-y
Z
x' .
.y'
Z'
=0
Z
El desarrollo de este determinante es,
(27)
[(Y-y)z'-(Z-z)x'Ji+[(Z
+ [(X -
x)y' -
z)x'
(Y -p)x']k
=
(X-x)z'Ji
0
igualdad a cero que implica la de las tres componentes.
(28)
(Y -y)z' .- (Z-z)y' -
0,
(X .x)z' -
0,
(Z-z)x' -
etc.
de las cuales se deduce facilmente la (10).
6. 2 Plano tangente a una superlide.
ecuaci6n,
(1)
I(x,y.z)
Sea una superficie de
o
Nos proponemos hallar el lu­
gar geometrico de las tangentes
a todas las curvas que seria posi­
ble trazar sobre la superficie con­
siderada, a traves de un punto' P
ordinario, de la misma, (Figura
6-2). Por punto ordinaria se en­
tiende todo punto de la superficie
en el cual no se anulen a la vez
las tres derivadas parciales de.
primer orden de I (x,y,z) , con res­
pecto a sus variables.
Si imaginamos una curva trazada sobre la superficie (S), la
curva tendra ecuaciones de la forma,
(2)
I(x,y,z) = 0,
11 (x,y,z) = 0
donde 11 (x,y,Z) = 0 viene a ser la ecuaci6ni de una segunda super­
cie. Las ecuaciones de la tamrente
a la curva intersecci6n definida
....
'85
por las (2), estfm escritas en (22) y (23) del numero" 6,1,siendo
. innecesario repetirlas aqui.
Si ahora imaginamos una variedad infinita de superficies,
Ii (x,y,z)
0, (i
1,2, 3, ... ), las cuales contengan el punta P, ob­
tendremos el.lugar geometrico de las tangentes; al eli minar,
=
=
(2.)
=°
PM.G
10 que demuestra que G es perpendicular a PM y por consiguiente al
plano tangente, puesto que el punta M ha sido elegido libremente en
dicho plano. La normal al plano tangente est la normal a la su­
perficie. '
El modulo 'del gradiente vale,
(3)
ay
az
en el sistema (22), (23,) ampliado a las nuevas funciones, elimina­
cion que resulta innecesaria, puesto que la ecuacion (22) es indepen­
diente de las li(X,y,Z)
0. Ellugar geometrico viene a ser, en con­
secuencia,
=
al
(4)
(X -
x) -
ax
+
'
,'
al
(Y - y) ay
., . '
(Z -
+
"'; 'ai'
z)
-
, az
= [(allax)2 +
G
(allay)2
= u
.
.
,,';
"..
Tales funciones .definen superficies y, para losdiv~rsos valores
de C, definen una familia de superficies, cuyos elementos' comp Ollen­
tes no se cortan.
l..
Sean las dos superficies de la
familia 0 conjunto:
­
ay
En todo punto ordinario' de la
modulo diferente de cero.
superfici~,
11
}-----,--------"dicho vector tendra
El gradiente es un vector de grande importancia en Fisica ma­
tematica. Como vamos a demostrar, es perpendicular a'la superfi­
cie, en el punta <;onsiderado.
. Sea el vector PM que" en el plano tangente une el punta P con el
punta (X, Y, Z). Las componentes de este ultimo vector, son,
(1)
(X -
x),
(Y -
y),
(Z -
86
(3)
=
Cl
C2
Sean, por otra parte P (x, y, z) un
punta en la primera, Q (x + AX,
y + AY, z + AZ), un punto en la
segtinda. Representemos por AS el
modulo de PQ, (distancia), y for­
memos la razon de incrementos:
rq.
C-J'
12 (x
+ ~x, y + AY, z + AZ)
-
11 (x, y, z)
AS
El limite de esta razon cuando AS tiende acero, (f2 -+ It), re­
cibe elnombre de derivada direccional de fl' en la direccion PQ.
,Ahora bien, segun el Calculo Diferencial dicho limite vale,
z)
, Ahora bien, sielgradiente, se designa por G, la ecuacion '0)
del plano tangentepuede escribirse,
I~
z)
y,
(x, y, z)
'Xo+4'JC., ••• J
al
, az
--,
11 (x,
(2) El gradiente. Se da el nombre de gradiente de Ia super­
ficie I (x, y, z) - 0, al vector cuyas componl<lnteil son:'
6. 3
(1) .
I(x, y, z) = C
(1) =
aj
(allaz)2]V,
6. 4 Derivada direccional. En muchas cuestiones de Fisica
matematica, por e]emplo, en el estudio del calor, se consideran fun-'
ciones es'calares'de los puntos, a saber,
'
"
,
Resulta ahora facil interpretar las ecuaciones (22), (23). Es­
.tas representan la tangente a la linea interileccion de las superfi­
cies I
0, 11
0. Pero la tangente no es otra cosa que la arista se­
gun la cual se cortan los dos pIanos tangentes a las superficies en el
punta considerado.
al _
ax
+
­
que, como habiamos dicho ya, es ecuacion de un plano: el plano tan­
gentea la superficie en el punta considerado.
=
(3)
(4)
'df
ds _
ald~'
Bxds
+
afdy
ayds'
+
afdz
azds
87
(2)
=0
PM.G
10 que demuestra que G es perpendicular aPM y por consiguiente aI
plano tangente. puesto que el punto M ha sido elegido libremente en
dicho plano. La normal al plano tangente eSi la normal a la su­
pe1:ficie.
.
..
EI modulo <del gradiente vale,
(3)
G
= [(al/ax)2
+
(al/ay)2
+
(al/az)2]'h
6. 4 Derivada direccional. En muchas cuestiones de Fisica
matematica. p~r e]emplo, en el estudio del calor, se consideran fun-·
cione~ escalaresde lo~ puntos, a saber,
.. . . <
..
I(x, y, z)
(1)
=c
Tales funciones definen superficies y, para los div~rsos valores
de C, definen una familia de superficies, cuyos elementos componen­
tes no se cortan.
l.
Sean las dos superficies de la
familia 0 conjunto:
(2)
11 (x, y, z)·
=C
12
= C2
(x, y, z)
1
'X.+4JC., ••• J
1J
r----------"­
P.Lj. '-.3.
Sean, por otra parte P(x, y, z) un
punto en la primera, Q(x + AX,
Y + AY, Z +AZ), un· punto en Ia
segunda. Representemos por AS el
modulo de PQ, (distancia), y for­
memos la razon de incrementos:
11 (x, y,
(3)
z)
~s
EI limite de esta razOn cuando AS tiende a cero, (If ~ 11), re­
cibe el nombre de derivada direccional de 110 en la direccion PQ.
Ahora bien, segun el Calculo Diferencial dicho limite vale,
(4)
ds .
aldx.·
axds·
+
afdy
·ayds·
+
iJldz
iJzds
87
Tratemos de interpretar esta relaci6n. En primer lugar, se ob­
serva que los cosenos directores de PQ, tienen POl' valor ,
qV
dx
(5)' :
dz
as'
ds'
ds
· que pueden ser considerados como las componentes de un vector uni­
tario, e, dirigido segun PQ, (vector de direcci6n 0 versor). En con­
secuencia, la (4) puede escribirse como producto escalat, aSi,
df
(6) ds = G.e =
G cos v · donde v designa el angulo formado por PQ con la normal a la super­
ficie, en P, (dirigida hacia f:J .La relaci6n (6) hace vel' como la de­
rivada direccional se obtiene al multiplicar el m6dulo del gradien­
te por cos v 0 sea, que es igual a la proyeccion del vector gradiente
sobre la direcci6n PQ.
mos luego, el plano osculador tiene un contacto de tal -naturalel.a
con la curva, en un punto ordinario, que en el entorno del punta la
curva puede ser considerada como si fuera plana y ademas, conte­
nida en el plano osculador.
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto
geometrico sobre el plano osculador.
Sea una curv~ alabeada, (Figura 6-4). pun, punta ordinario
en la misma y el versor.t correspondiente. Se construye el plano que
contiene a t y a un punta H de la curva, cuyas coordenadas vienen
a ser,
6. 5
v,
---
PM.t = 0
(X -
+
(Y -: y) (dvjds)
+
(Z
z) (dz/ds)
6. 6 El. plano osculad.or" Un elemento geometrico de 'grande
importancia en el estudio de curvas alabeadas, es el plano osculador..
Este plano representa para las lineas del espacio tridimensional, un
papel anaJogo al de la tangente.para las curvas planas. Segun vere­
88
+ B(Y
+ x',
V)
+ C(Z -
z)
=
0
V
+ V',
z
+ z'
+ By' + Cz' =' 0 . Ax'
(4) Si el plano contiene ademas el punto H, se verifica, A~x
(5) ~y,
=0
+ ~z
En consecuencia, si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la' relaci6n,
+ B~V +CAZ =
0
. Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos ~x,
~Z, para tener,
cuya expresi6n cartesiana, es,
x) (dx/ds)
x)
x
(6)
(2)
z
extremidad del versor tangente· tiene por coordenadas, ~3) (.1)
~j, C-4 .'
A(X·
:La
Tiene como ecuaci6n vectorial
la siguiente,
+ ~V,
Sea primero la ecuaci6n de. un plano que contenga el punt6 P:
:2)
El plano normal, en punta ordina­
rio de una cur va, . es por defini­
ci6n, el plano perpendicular a Ia
tangente, construido en e1 punto
considerado.
V
La ecuaci6n del plano osculador se deduce en seguida..
z) = C
El plano normal.
+ ~x,
Al hacer tender Hhacia P, el plano gira alrededor dela tan­
gente acercandose a una posici6n limite, para la cual· hablamos de
plano osculatlor a la curva, en P.
Por In anterior seconcluye que el· modulo del gradiente corres­
ponde al valor mas alto de laderivada direccional; en otras pala­
bras: el gradiente mide en direccion, intensidad y sentido, la varia­
· cion mas rapida de Ia funci6n
f(x,
x
(1) AX
= x'As + (x"/21)
(~s)2(x'''/3!) (AS)3
+
etc. Substituyendola(6) y analogas en (5), resulta,
(7) (Ax'
+ BV' + Cz')~s +
(Ax"
+ BV" + Cz") (AS)2/2! + ..
=0
EI primer parentesis. es nulo en virtud de (4). Dividiendo la s~­
rie restante por (As)2/2! y haciendo tender acero AS, se obtiene.
89
mos luego, el plano osculador tiene un contacto de tal naturaleza
con la curva, en un punto ordinario, que en el entorno del punta la
curva puede' ser considerada como si fuera plana y ademas, conte­
nida en el plano osculador. .
Las consideraciones siguientes permiten adquirir un concepto
geometrico sobre el plano osculador.
Sea una curva alabeada, (Figura 6-4). Pun, punta ordinario
en la misma y el versor t correspondiente. Se construye el plano que
contiene a t y a un punta H de la curva, cuyas coordenadas vienen
a ser,
(1) x + LlX,
Y + LlY, ·.Z + LlZ
Al hacer tender H hacia P, el plano gira alrededor de latan~
gente acercandose a una posici6n limite, para la cual hablamos de
plano osculatlor a la curva, en P.
La ecuacion del plano osculador se deduce en seguida.,
Sea primero la ecuaci6n de. un plano que contenga el punta P: '
(2) A(X
~ x)
+ B(Y -
+ C(Z
y)
z)
= 0
La extremidad del versor tangente ti~ne por coordenadas,
~3) x
+ x',
y
y',
Z
+- z' .
. En consecuencia, si el plano (2) contiene la tangente se cumple
la relaci6n,
(4) Ax'
By'
+ Cz'
=' 0
Si el plaho contiene ademas el punto H, se verifica,
(5) ALlx
+
BLlY
CLlZ
=0
Ahora desarrollamos en serie de Taylor los incrementos LlX,
LlY, LlZ, para tener, '.
(6)
~X=X'LlS+- (x"/2!) (LlS)2+(X"'/3!)
,
.
(LlS)3+
"
etc. Substituyendo la(6) y analogas en (5) ,resulta,
(7) (Ax' + By' + CZ')LlS + (Ax" + By"
+ Cz") (Lls)2/2!
+ .. == 0
EI primer parentesis. es nulo en virtud de (4).' Dividiendo la se­
rie restante pOl' (Lls)2/2! y haciendo tender acero LlS, se obtiene, •
89
Ax"
(8)
Cz" '. 0
+ By"
La eliminaeionde A, Bj C, entre las ecuaciones (2), (4), (8),
conduce a la ecuacion del plano oseulador,
X-x
(9)
x'
x"
y,
y
Z-'z
z' .
v'
Construyamos en el' ,punto F un versor n sujeto a las siguientes
'condiciones: coincide con ,In arista interseccion del. plano osculador
con el plano normal y su orientacion es tal que se dirige hacia el
centro de eurvatura de Ia porcion de eurva que forma el entorno de
P. Tal versorreeibe el nombre de versor nor'1nal-principal y, como
vamos a' demostrar en seguidaj permite' completar las igualdades
(2), asi:
=0
(3)
y".
Otrus definiciones para el plano osculador.
Existen otras dos definieiones para el plano osculador que per­
miten obtener tambien. la ecuacion del ,J;TIismo, las cuales expondre­
mos en seguida, pues ayudan Ia intui~i6n y.. tiene~ . importaneia en
las aplicaciones.·
.
Una nueva definicion es Ia siguiente: dado un puntofijo, P, y
dos puntos proximos, Pl, P 2 ,Iostres determinim un plano, cuya po,.
sidon llmite, cuando Ph P 2 tienden a reunirse con P, eS.la del plano
oseulador.
Por ultimo: dado eI,punto P y el correspondiente versor tangen­
te, t; un punta proximo PlY el consiguiente versor h, se traza par P
una paralela a este ultimo versor. EI plano que asi se delermina ad­
quiere una posici6n limite cuando iF\ tiende a confundirse' can P; en
tal posicion
. limite el plano es osculador a Ia curva en P.
'
= njR
donde R es un, esca!ar, . cuya dimensi6n es una longitud,que luego
interpretaremos;
En 10 que sigue resulta eonveniente introducir un auxiliar geo­
metrico, que recibe el nombre de J:ndicatriz es[6rica de las tangentes.
Sea un punto 0', (Figura '6-5,), desde el eual trazamos verso res
equipolentes a t, t1 ; t:i, ',,:., '}os extremos dees~os verso res estaran
situados en una superificie esferiea de radio unidad, en la eual des­
criben una curva,sigma,' que recibe el nombre de indicatriz esferica
de las tangentes. Entre la curva dada y su indicatriz, existe una co­
rre!acion facil de analizar. . '
Pasemos una secante Q - QIJ con punto fijo Q, punto variable'
Ql.Se tiene; .
,
(4)
.
6. 7 Derivada segunda del vector de posicion. En este m.1me­
ro analizaremos Ia significaci6n geometrica de la derivada de segun­
do orden del vector de posicion, a saber, el Hmite,
" r"·
AS,
At es el incremento vectorial de t. Dividierido (4) por el escalar
se obtiene un .vector Qh l , variable, a saber,
.....:.
QQl .:.. Qh 1
-- -
(5)
AS
Al hacer tender AS a cera, se obtiene' un veCtor limite Qh que sigue
Ia direccion tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que creeen
los arcos, sigma. Par consiguiente, 'se puede escribir,
(6)
Dicha segunda derivada se es-'
cribe en unau otra de las formas
equivalentes,
(2)
r"
"
90
=
d2r
ds 2
dt
ds
.. ' dt
d 2r
ds
ds 2
= Qh'
Precisemos completamente Ia naturaleza de este vector. Qh.
Veamos,en primer lugar, Ia direccion. EI,vector QQh esta con­
tenido en el plano determinado por t y h. Al Hmite de las posiciones
deeste plano corresponde el plano osculador, y allimite de Ia cuerda
QQl corresponde Ia tangente a sigma, 0 sea que, Qhvendra a ser .pa­
ralelo al plano osculador.
91
Construyamos en eLpunto F: un versor n sujeto a las siguientes
condiciones: coincide con.' la' arista intersecci6n del plano osculador
con el plano normal y su orientaci6n es tal que se dirige hacia el
centro de curvatura de la porci6n de curva que forma el entorno de
P. Tal versor'recibe el nombre d~ versornormal-principal. y, como
vamos a' demostrar en seguida;' permite . completar las igualdactes
(2), asi:
(3)
r" =njR
don de R es un,esca!ar, cuya:dimensi6n esuna longitud,que luego
interpretaremos.
En 10 que sigue resulta conveniente introducir un auxiliar geo­
metrico, que recibe el nombre . de indicatriz esterica. de las tangentes.
,Sea un punta 0', (Figura '6-5,) ,desde el eual trazamos v'ersores
equipolentes a t, t1, h, '. . :., los extremos de estos versores estaran
situados en una superificie esferica de radio unidad, en la cual des­
. criben una curva,sigma; que recibe el nombre de indiCatriz esferica
de las tangentes. Entre la curva dada y su indicatriz, existe una co­
rrelaci6n facil de analizar. .
Pasemos una secante Q - Qh con punta fijo Q, punta variable
Q1' Se tiene, .
(4)
AS,
QQ1
=h
-
t
= Ilt
At es el incremento vectorial de t. Dividiendo (4) por el escalar
se obtiene un .vector Qhh variable, a saber,
Ilt _
(5) . QQ1 ' Qh1
! "'AS
AS Al hacer tender IlS a cera, se obtiene un vector limite Qh que sigue
la direcci6n tangente a la indicatriz y lleva el sentido en que crecen
los arcos, sigma. Por consiguiente, se puede escribir,
dt '
(6)
ds
-
d 2r ,
ds 2
= Qh
Precisemos completamente la naturaleza de este vector Qh.
':
Veamos, en primer lugar, la direcci6n. El,vector QQh esta con-:
tenido en elplano determinado por t y t1. Al iimite de las posiciones
de este plano corresponde el plano osculador,y al limite de la cuerda
QQ1corresponde la tangente a sigma, 0 sea que, Qh .vendraa serpa­
ralelo al plano osculador.
.
.
91
EI sentido de este vector es aquel en que se recorre la indica­
triz, sigma, que a la vez es el mismo sentido que, en la primera cur­
va, tiene elversor. normal-principal.
Vamos a .demostrar por ultimo, que el m6dulo del vector Qh
tiene por valor lacurvatura principal en el punto P, con 10 que se
puede escribir,
\Qhl = Ir"l =
(7) K
Con el fin de determinar el m6dulo, atendemos a la relaci6n (5).
y a la Figura 6-5, 'por la cual observamosque elm6dulo del vector
~t es longitud de una cuerda en una circunferencia de radio unidad.
En consecuencia,
1
_l_l~tl _ -'-.2
ItI .sen(~.a/2)
~s
,
Al considerar ~s como infinitesimo de' primer orden, la rela­
ci6n (8) se simplifica asi:
~s
I ~: 1=
(9)
(1)
(2) X,
= ix' + iV' + kz'
r'
De estase obtiene, por otra parte,
(3) r"
= ix" + jy" + kz"
Las relaciones (.2) y (3) son casos particulares de la relaci6n
general,
(4) r(n) =ix(n)
.
La, curvatura es una magnitud de naturaleza escalar: m6dulo
del vector r". Su valor, en coordenadas cartesianas, se deduce facil­
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7, por medio de multiplicali6n
escalar, asi,
r". r" -
~a
es el cingulo de contingencia 0 sea, el angulo' entre las tan­
gentes en P y P b de donde se desprende que la ultima relaci6n tiene
por valor la, curvatura media de la linea considerada, entre los pun~
tos P,P!. Pasando al limite resulta, en consecuencia,
(10) I
~/
=" ~ =
ds
ds
K
= 1jR
De esta manera la igualdad (3) ha quedado completamente de­
mostrada.
R designa, Gomo ya hemos dicho, el radio de curvatura. La cur­
vatura, a que nos referimos es la que se estudia en el caso de curvas
planas, la cmil, , cuando las curvas son alabeadas, recibe el nombre
de curvatura principal; EI plano osculador hace. posible asimilar to­
da curva ahtbeada; a una curva plana en las vecindades del puntode
osculacion.
.
92
+ iy(n) + kz(n)
Fundados en la relaci6n (3) vamos a obtener la expresion ana­
litica de la curvatura.
(5) ~s
Expresado el vector de posi­
= ix + iy + kz
r
se obtiene, derivando segun
= 1:/R
Por curvatura principal se entiende la curvatura de la porci6n
infinitesima de curva, que en el entorno de P, coincide con el plano
osculador.
(8)
6. 8 El vector derivada n-sima.
ci6n por medio de sus componentes,
n.n
R2
= 1/R2
EI producto escalar, que aparece al lado izquierdo de ·(5) se ex­
presa ahora en funci6n de las componentes sobre los ejes, con 10 cual
se obtiene,
(6) (x")2
+
(y")2
+
(z")2
= I/R2
de la cual se deduce el valor de R. Los cosenos directores de la nor­
mal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec­
tor r" al ser divididas por el modulo de este vector. Son, a saber,
(7)
a = Rx" ..
b = Ry" ,.
c = Rz"
6; 9 El plano rectific(mte. Es el plano que contiene la tan­
gente a la curva -el versor t- y es a la oyez perpendicular al plano os­
culador. Omitimos, por no ser esencial a los fines de esta exposicion,
deducir la ecuaci6n del plano rectificante.
93
6, . 8
cion
POl'
El vectOt' derivada n-sima,
Expresado el vector de posi­
medio de sus componentes,
(1)
= ix + iy + kz
.r
se obtiene, derivando segun x,
(2)
= ix' + j y' + kz'
r'
De estase obtiene, por otra parte,
(3)
r"
= ix" + 111" + kz"
Las relaciones (.2) y (3) son casos particulares de la relacion
general,
+ iy(n) +
r(n) =ix(n)
(4)
kz(n),
Fundados en Ia reIaci6n (3) vamos a obtener la expresi6n ana­
utica de Ia curvatura.'
,
La curvat'!1ra es una magnitud de naturaleza. escalar: modulo
del vector r Su valor, en coordenadas cartesianas, se deduce facil~
mente de la relaci6n (3) del numero 3-7, por medio de multiplicalion
escalar, asi, '
H
,
n.n
(5)
R2
= 1/R2
EI productoescalar, que aparece al lado izquierdo de '(5) se ex­
presa ahora en funcion de las componentes sobre los ejes, con 10 cual
se obtiene,
(6)
(XUP
+
(y")2
+
(z")2
= IjR2
de Ia cual se deduce el valor de R. Los cosenos directores de la nor-:­
mal principal se obtienen como cocientes de las proyecciones del vec- '
tor r al ser divididas por el modulo de este vector. Son, a saber,
U
(7)
a
= Rx" ;
b
= Ry";
.c
= Rz"
6; 9 El plano recti/icimte. Es el plano que contiene la tan­
gente a la curva -el versor t-' y es a la vez perpendicular al plano os­
culador. Omitimos, por no ser esencial a los fines de esta exposici6n,
deducir la ecuaci6n del plano rectificante.
93
6. 10
Si, en direccion normal al plano
db
- - I + (b.n) (.1/R)
0
(6) deterniinado por I y n (Plano os­
ds
.
culador MB de la Figura 6-6), se
EI segundo producto en (6) es nulo.Queda solamente,
construye un· tercer versor b de
manera' a tener una terna direc­
db
ta, se formara el Hamado triedro
1=0
(7) intrinseco. EI nuevo' versor, b, re­
ds
cibe el nombre de versor bi-nor­
Segun este resultado, db/ds es perpendicular a I, mas, como
mal.
por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador, su direc­
cion coincidira con la del soporte de n, 10 que conduce a escr~bir,
Con referencia a la misma Fi­
gura, es MT el plano normal; MN
el plano rectificante. Se tiene,
db
xn
(8) ds
I A b = n; bAn
I
El triedro intrinseco.
-t
" ~--"~==--__ I
\
\
\
_---8
(1)
n AI
= b;
=
=
=
o sea que, cada versor es el producto vectorial de los otros dos, mul­
tiplicados en orden adecuado. Las dos ultimas relaciones se deducen
de las dos primeras por permutacion circular de las letras.
donde xes un numero rositivo
el sentido de noel opuesto. ,
6..11 Segunda curvatura 0 torsion. Antes de estudiarla, pro­
cederemos a calcular la derivada delversor b, (bi-normal). Como se
trata de un versor, 0 sea, un vector con modulo unidad, se tiene,
6. 12 Modulo de la torsion. Si se consideran los pIanos oscu­
ladoresa Ia curva en P y PI, puntos separados por una distancia cur­
vilinea igual a ~s, el anguloentre dichos pIanos, ~f3, da idea de la
mayor 0 menor rapidez con que tuerce la curva.
(1) =1
b.b
db
ds
Esta relacion demuestra que db/ds, esta contenido en un plano
perpendicular a b. Es paralelo por tanto al plano osculador.
(2) - - . b =·0
Por otra parte, de la relacion,
(3) b.1
~f3
(1) ~s
~I
ds
=0
b~
ds
= n/R
Xn
A partir de un punto. 0" (Fi­
gura 6-7), se traza Ia indicatriz
esferica de las binormales. Con
referencia . a la Figura, se tiene,
=0
Si en esta ultima relacion se tiene en cuenta que es,
dl
ds
=
mide la torsion media. 8u limite, df3/ds, cuando ~s tiende acero, es
la torsion en elpunto P, magnitud escalar, modulo del vector db/ds,
que pasamos a construir.
se obtiene, alderivar,
(5) negativo, segun que db/ds tenga
. La razon
de donde,
(4) 0
'Q~
~
b
AP'
(
(1)
:
Q~
l
Se construye el siguiente vec­
\~ l tor conteriido en el plano deter­
'" 1 minado por b y b 1 :
puede escribirse,
94
95
db
ds
(6)
--t
+
(b.n) (,1/R)
.
=0
EI segundo producto en (6) es nulo.· Queda solamente,
db
(7)
--0
ds
t
=0
Segun este resultado, db/ds es perpendicular a.' t, mas, como
por otra parte sabemos que es paralelo al plano osculador, su direc­
cion coincidira con la del soporte de n, 10 que conduce a escr~bir,
db
(8)
--=xn
ds
donde x es un numero r:ositivo
el sentido de noel opuesto. ,
0
negativo, segun que db/ds tenga
6. 12 Modulo de la torsion. Si se consideran los pIanos oscu­
ladoresa la curva en P y Ph puntos separados por una distancia cur­
vilinea igual a AS, el anguJoentre dichos plarJ.Os, A/3, da idea de la
mayor 0 menor rapidez con que tuerce la' curva.
La razon
(1)
AS
=
Xn
mide Ia torsion media. Su limite, d/3/ds, cuando AS tiende acero, es
la torsion en el punta P, magnitud escalar, modulo del vector db/ds,
que pasamos a construir.
A partir de un punto. 0" (Fi­
gura 6-7), se traza la indicatriz
esferica de las binor:m.ales. Con
referencia a la Figura, se tiene,
'Q~
~
b
AI.
b;
Q
(1)
l
:
Se construye el siguiente vec­
\'\. l tor conteriido en el plano deter­
' \ 1 minado por b y b i :
1
(3) (.2)
n'.t
= a(t.t)
+ ,8(n.t) + y(b.t) Por ser nulos los dos ultimos productos, queda solamente, Haciendo tender acero Dos, se tiene el vector limite, que
~
(3) ds
~era,
BBI
teniE~ndose,
== Ibl.2
y,
n'.t
I ~~ 1=
(7) ~L
=
-n.t'
0
(9) n/R ;
EI triedro intrinseco constituye labase de un sistema de coor- ,
denadas. Vamos a utilizarle para calcular Ia derivada del versor n,
con respecto a, s. Escribim'os,
= <:I:t
,8n
yb;
n'
= dn/ds
Multiplicando la (2) port, escalarmente, se tiene,
96
a
= - (n.n) /R = -1/R = a
= a (t.n)
+,8 (n.n)
"I (b.n)
Esta relacion se simplifica por tenerse,
n.n'
= t.n =
b.n
=0
obteniendose finalmente,
db
= niT
ds
Procedemos a deducir la tercera de estas importantes f6rmu­
las, que sus autores derivaron por via analitica.
n'
n.n'
(10)
6. 13 F6nnulasde Fnnet y 8m"1·et. Tres formulas de Ia
Geometria Diferencial Bevan el nombre de los matematicos france­
ses Frenet y Serret. Dos. de ellas han sido ya deducidas:
(2)
-n.n/R
radio' de
db
-= niT
ds
(7) =
Vamos a demostrar ahora que es, ,8 = O. Al efecto, multiplican­
do la relacion fundamental (2), escalarmente por n, se tiene,
La ecuacion (8) del numero anterior, queda pues como sigue,
==
-n.t' Substituyendo el valor de t' dado por la primera de las (1), se
tiene,
=,x
l/T
ds
T viene a ser aqui elradio de segunda curvatura
torsion.
r"
=0
+ n.t'
n'.t :-
(8)
(1) = 0, segun s, se tiene, Con esto la relacion (4) puede. escribirse, ultimo,
(6) = a
de donde,
(6) sen (Do,8/2)
I~~l-
p~r
(5)
en consecuencia,
(5)
n'.t
Ahora bien, derivando el producto n.t
=Ql·
cuyo modulo tiene por valor d,8/ds. En efecto,' al ser QQl infinitesi­
mo de primer orden, puede escribirse,
(4) (4) (11) ,8(n.n) ==,8
=0
Nos falta, determinar el coeficiente y. Para ,ello se multiplica Ia
misma igualdad (.2) por b -producto escalar- para tener,
(12)
n'.b
= a (t.b) .
"I (b.b)
.
"I
de don de,
(13) "1= n'.b == -n.b' = -n.n/T = -l/T
En definitiva, la relacion (2) queda reducida a 10 siguiente,
(14) - n'
=:.. -
t
R
b
- T-
que es la tercera formula de Frenet y Serret, escrita bajo forma vec­
torial.
97
(3) + .8(n.t) + {(b.t) n'.t = a(U)
Por ser nulos los dos uItimos productos, queda solamente, (4)
Ahora bien, derivando el producto n.t
(5)
n'.t
+ n.t'
= 0, segun s, se tiene,
=0
de clonde, (6) n'.t
=
-n.t' Con esto la relaci6n (4) puede. escribirse, . (7) -n.t'
=
a
Substituyendo el valor de t' dado por la primera de las (1), se
tiene,
(8)
-n.n/R = --(n.n)/R
= ,--,1/R =
a
Vamos a demostrar ahora que es, .8 = O. Al efecto, multiplican­
do la relaci6n fundamental (2), escalarmente por n, se tiene,
(9) n.n' = a(t.n)
+ .8 (n.n) + y(b.n) Esta relaci6n se simplifica por tenerse, (JO)
n.n'
= t.n =
b.n = 0
obteniendose finalmente,
(11) .8 (n.n) =.8= 0
Nos falta determinar el coeficiente y. Para ella se multiplica la
misma igualdad (,2) por b -producto escalar- para tener,'
(12) n'.b= a(t.b)
+ y(b.b)
-:- {
de donde,
(13)
y = n'.b
=
-n.b' = -n.n/T
=
-1/T' En definitiva, la relaci6n (2) queda reducida a 10 siguiente, (14) 'n'
=
t
-R
­
b
T
que es la tercera f6rmula de Frenet y Serret, escrita bajo forma vec­
torial.
'7
Resp. G
a
EJERCICIOS
.1) Dada una curva cuyas ecuaciones parametricas son:
(1)
x
= 2s,
=
se deben determinar, en el punta correspondiente a s
1/2, los ele­
mentos siguientes: a) la ecuaci6n de la tangente; b) el versor tan­
gente; c) la ecuaci6n del plano normal; d) la ecuaci6n del plano os­
culador; e) la ecuaci6n del plano rectificante; f) la curvatura prin­
cipal. COl1).putos con tres cifras decimales.
Resps. a) X = -4Z
b)
a
+ 3/4,
= 0,549,
c) 64X
+
= 0,824,
y
96Y -16Z- 1317
= 0;
(3
d) 8 (Y -+~ 2Z ...:..- X)
e) 13X -
f)
(J/R)
Y = -6Z
7Y
+3
+ 10Z
+ 3/8;
= -0,137;
= 39,243,
= -0,3058;
(3
= 0,2548;
y
= 0,9173.
4) Demostrar que la distancia del punto PI, (Figura 6-1), al
plano osculador correspondiente al punto P, es infinitesimo de tercer
orden comparado con PPl> infinitesimo principal.
5) La helice circular, cuyas ecuaciones parametricas son:
x
= a cos (3,
y
= a sen{3,
Z
= c{3,
tiene las siguientes propiedades: la inclinaci6n de las tangentes res­
pecto al eje de z -eje del cilindro':', es constante. EI radio de curvatu­
ra es constante y tiene por valor: R
l/a. EI Angulo diedro forma­
do por el plano osculador con el plano (x, y), es constante. Racer
las demostraciones.
=
=0;
~ 5.7/8
= 0;
= 6,708
2) Dar la ecuaci6n del plano tangente a la cuadrica reducida:
(2)
en el punto (x, y, z), de la superficie.
Resp. SlXX
+ S2YY + SazZ + DI = 0..
Demostrar que la superficie (.2), en el caso de representar una
cuadrica no degenerada, (D 1 diferente de cero) , carece de puntos
singulares.
Por el contrario, cuando se tiene Dl = 0, la ecuacion (2) corres­
ponde a un cono.· Determinar el punto singular.
3) Dado el elipsoide cuya ecuaci6n es,.
3X2
+ 5y2 + 6z2 ':"" 71 =
0,
se deben calcular, el modulo del gradiente y los cosenos directores de
dicho vector, en elpunto (-2; 1; 3).
98
99
Resp.
G - 39,243,
a
::::
[3
-0,3058;
= 0,2548;
y
= 0,9173.
4) Demostrar que l~ distancia del punta Ph (Figura 6-1), al
plano osculador correspondiente al punto P, es infinitesimo de tercer
orden comparado con PPl> infinitesimo principal.
5) La helice circular, cuyas ecuaciones parametricas son:
x
= a cos [3,
y :::: a sen [3,
Z
= c[3,
tiene las siguientes propiedades: la inclinaci6n de las tangentes res­
pecto al eje de z -eje del cilindro-, es constante. EI radio de curvatu­
ra es constante y tiene por valor: R
l/a. EI angulo diedro forma­
do por el plano osculador con el plano (x, y), es constante. Hacer
las demostraciones.
=
I: :.1 99