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Diplomatura en Ciencia y Tecnologı́a Análisis Matemático II - Segundo Parcial - 15/06/06
Apellido y Nombre:
1) Dada f (x, y) =
ln (4−(x+y)2 ) +
e
x−y
√
TEMA A
x2 +y 2 −1
−1
a) Expresar analı́ticamente D = Dom(f ). Graficar.
b) Hallar D ◦ y ac(D). Justificar si D es abierto/cerrado/acotado.
2) Sea f (x, y) =
2−x2 −y 2
4−2x−2y
a) Calcular, si existe, el lı́mite radial teniendo al (1, 1)
b) Caracterizar las curvas de nivel de f . Graficar las que corresponden a los valores k = ±1, ±2
¿ Pertenece el (1, 1) a alguna curva de nivel? ¿ Es de acumulación de alguna curva de nivel?
(
f (x, y) si x + y 6= 2
c) Sea g(x, y) =
1
si x + y = 2
Determinar si g es continua en el punto (1, 1). Justificar.
3) Sabiendo que
¡
¢
¡
¢
~ (x, y) = 6xy − 2y 3 + 3x2 ĭ + 3x2 − 6xy 2 j̆
∇f
f (1, −1) = 0
(a) Hallar f (x, y)
(b) Para la función hallada, encontrar en el punto (1, 0) las direcciones de máximo crecimiento y de
derivada direccional − √3 , respectivamente.
2
4) Dadas S1 : (x + 2y + z) e
x+y−z
−1=0 ;
S 2 : x2 + y 2 + z 2 = 6
a) Encontrar todos los puntos de S1 donde el plano tangente es paralelo al eje Z. A continuación,
determine especı́ficamente uno de tales puntos y escriba una ecuación del plano tangente a S 1 en
dicho punto.
T
b) Hallar ecuaciones de la recta tangente a la curva S1 S2 en el punto A(2, −1, 1)
5) Utilizando la regla de la cadena:
a) z = f (x2 + ln y) donde x = t2 e y = e t . Expresar dz
dt
p
∂2z
∂2z
2
2
b) z = f (r) donde r = x + y . Probar que: 2 + 2 = f 00 (r) + 1r f 0 (r)
∂x
∂y
TEORÍA
~ (a, b) es perpendicular a la curva de nivel de F que pasa
I) Dada F (x, y) = e x+y + xy demostrar que ∇F
por (a, b)
II) Para una función z = f (x, y) definir qué significa que sea diferenciable en un punto P o (xo , yo ). Ejemplificar
esta definición para f (x, y) = 3xy + y 2 en el punto Po (−1, 1)