2.3. Plano tangente a una superficie paramétrica.

2.3. Plano tangente a una superficie paramétrica.
Sea
la
superficie
paramétrica
S
determinada
por
la
función
vectorial
g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) en el punto P0 , cuyo vector posición
es g ( u0 , v0 ) . Si se mantiene a v constante mediante v = v0 , en una región D del plano
uv, entonces g ( u , v0 ) se convierte en una función vectorial de un parámetro u, que
define a una curva C1 que está incluida en la superficie S. El vector tangente a C1 en P0
se obtiene tomando la derivada parcial de g con respecto a u:
 ∂x ∂y ∂z 
gu =  , , 
 ∂u ∂u ∂u  ( u0 ,v0 )
g ( u , v0 )
Figura 50. Vector Tangente gu de la curva C1.
De manera análoga, si se mantiene a u constante mediante u = u0 , en una región D del
plano uv, entonces g ( u0 , v ) se convierte en una función vectorial de un parámetro v,
que define a una curva C2 que está incluida en la superficie S. El vector tangente a C2
en P0 se obtiene tomando la derivada parcial de g con respecto a v:
 ∂x ∂y ∂z 
gv =  , , 
 ∂v ∂v ∂v  ( u0 ,v0 )
g ( u0 , v )
Figura 51. Vector Tangente gv de la curva C1.
Si gu × g v ≠ 0 , entonces a la superficie S se le denomina como superficie suave. Para
una superficie suave, el plano tangente contiene los vectores tangentes gu y g v y el
vector gu × g v ≠ 0 es un vector normal al plano tangente.
Para construir este vector normal, se determinarán dos vectores que definan las
direcciones de las rectas tangentes a la superficie S en un punto P. Para ello como se
mencionó anteriormente se toma derivada parcial de g con respecto a u, de manera que
 ∂x ∂y ∂z 
g u =  , ,  = ( xu , yu , zu ) es el vector tangente a la curva C1 generada en la
 ∂u ∂u ∂u 
superficie S, cuando en el plano uv se toma a v = v0 , para el punto P. Análogamente, el
 ∂x ∂y ∂z 
vector g v =  , ,  = ( xv , yv , zv ) , resultante de la derivada parcial de g con respecto a
 ∂v ∂v ∂v 
v, es un vector director de la recta tangente a la curva que se genera en la superficie S,
cuando en un plano uv se toma a u = u0 para el punto P.
De esta manera, el vector normal n que se desea determinar, debe ser perpendicular a gu
y a gv. Se obtiene pues, del producto vectorial de los vectores gu y gv, es decir
n = gu × g v . Esto es,
n = gu × g v
iˆ
∂x
=
∂u
∂x
∂v


=



∂y
∂u
∂y
∂v
ˆj
∂y
∂u
∂y
∂v
kˆ
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂u ˆ
i+
∂z
∂v
( x0 , y0 )
∂x
∂u
∂x
∂v
∂z
∂u ˆ
j+
∂z
∂v
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y 
∂u ˆ 
k
∂y 

∂v ( x0 , y0 )
 ∂ ( y, z )
∂ ( x, z ) ˆ ∂ ( x , y ) ˆ 
= 
iˆ +
j+
k
∂ ( u, v )
∂ ( u, v )  x , y
 ∂ ( u, v )
( 0 0)
Esta última expresión, en donde se tiene a los determinantes jacobianos, es entonces la
que permite determinar un vector perpendicular a una superficie suave S, dada
paramétricamente por la función vectorial g ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u, v ) , z ( u , v ) ) en el
punto P = ( x0 , y0 , z0 ) = ( x ( u0 , v0 ) , y ( u0 , v0 ) , z ( u0 , v0 ) ) perteneciente a dicha superficie.
EJEMPLO 48. Determine el vector normal al plano tangente a la superficie definida
(
por x 2 + y 2 + z 2 = 4 , en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = 1,1, 2
)
Solución. Una parametrización para esta superficie se define a través de las
coordenadas esféricas
 2s en (ϕ ) cos (θ )   x 


g : ℜ → ℜ / g (θ , ϕ ) =  2s en (ϕ ) sen (θ )  =  y 

  z 
2 cos (ϕ )
2
3
en donde
0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ ϕ ≤ π . Para el punto en el que se desea determinar el vector normal
del plano tangente
(θ 0 , ϕ0 ) = 
( x0 , y0 , z0 ) = (1,1,
)
2 , el valor de los parámetros está dado por
π π
,  . Como el vector normal n se define como n = rθ × rϕ , se determinan
4 4
π π 
los vectores tangentes rθ y rϕ evaluados en el punto (θ 0 , ϕ0 ) =  , 
4 4
muestra a continuación
como se
 ∂x ∂y ∂z 
, ,
rθ = 

 ∂θ ∂θ ∂θ  (θ0 ,ϕ0 )
= ( −2sen (ϕ ) sen (θ ) , 2 sen (ϕ ) cos (θ ) , 0 )  π
π
 , 
4 4
= ( −1, 2, 0 )
 ∂x ∂y ∂z 
rϕ = 
,
,

 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  (θ0 ,ϕ0 )
= ( 2 cos (ϕ ) cos (θ ) , 2 cos (ϕ ) sen (θ ) , −2sen (ϕ ) )  π
(
= 1,1, − 2
π
 , 
4 4
)
Realizando el producto vectorial entre estos dos vectores se obtiene el vector normal n,
esto es
iˆ ˆj
n = rθ × rϕ = −1 2
1
kˆ
0
(
= −2 2, − 2, −3
)
1 − 2
Figura 52. Superficie esférica del Ejemplo 48.
EJEMPLO 49. Determine el vector normal al plano tangente a la superficie definida
por z = 1 + 2 y 2 + 3x 2 , en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0,1,3)
Solución. Se tiene definida una superficie en forma explicita de la forma y = g ( x, z ) ,
por lo que una parametrización para esta superficie esta dada por la siguiente función
u

  x
 =  y  . El plano tangente a la superficie
vectorial g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = 
v
  
1 + 2v 2 + 3u 2   z 
en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0,1,3) , tiene como parámetros los valores de
( u0 , v0 ) = ( 0,1) .
Dado que n = gu × g v , se determinan los vectores tangentes ru y rv evaluados en el
punto ( u0 , v0 ) = ( 0,1) como se muestra a continuación
 ∂x ∂y ∂z 
gu =  , , 
 ∂u ∂u ∂u  ( u0 ,v0 )
= (1, 0, 6u )
( 0,1)
= (1, 0, 0 )
 ∂x ∂y ∂z 
gv =  , , 
 ∂v ∂v ∂v  ( u0 ,v0 )
= ( 0,1, 4v )
( 0,1)
= ( 0,1, 4 )
Por lo que al calcular el producto vectorial entre los vectores resultantes se determina el
vector normal al plano tangente
iˆ ˆj kˆ
n = gu × g v = 1 0 0 = ( 0, −4,1)
0 1 4
Figura 53. Paraboloide elíptico del Ejemplo 49.
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.4.
Determine el vector normal unitario a las superficies dadas, en el punto ( x0 , y0 , z0 ) ,
indicado.
1) z = 5 x 2 + y 2 en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = (1, 2,9 )
2) z = x 2 − xy + 3 y 2 en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = (1, 2,15 )
3) z 2 + x 2 + y 2 = 1 en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = (1, 0, 0 )
4) z 2 + y 2 = 1 en el punto ( x0 , y0 , z0 ) = ( 3,1, 0 )