Composición de Movimiento Instantáneo

Lectura de Apoyo 2
Unidad 1: Trigonometría Analítica
Tomado de: Edwards, C.H., The Historical Development of Calculus
Springer Verlag. New York 1979. Cap. 5
Traducción de: Martha C. Villalva y G. y Víctor M. Hernández L.
Composición de Movimiento Instantáneo
Durante los años 1630-1640 un acercamiento a las líneas tangentes derivada del concepto intuitivo
de movimiento instantáneo fue desarrollada por Torricelli y especialmente por Gilles Persone de
Roberval, quien fue profesor en el Colegio Real (Francia) desde 1634 hasta su muerte en 1675. Su
idea ( no nueva en sí misma) consistió en considerar una curva como la huella de un punto en
movimiento, y la línea tangente como el movimiento instantáneo de dicho punto. Si el movimiento
del punto que genera la curva es el resultado o combinación de dos movimientos suficientemente
simples, entonces la línea instantánea de movimiento puede ser determinada por la composición
de los movimientos constituyentes.
Q(0, y)
v
R(x, y)
w
u
P(x, 0)
Figura 6
La ley del paralelogramo para la
adición de vectores velocidad
constantes era bien conocida.
Esto es, si los puntos P y Q se
mueven a lo largo de dos líneas
rectas que se intersecan con
vectores de velocidad constante
u y v , respectivamente, y estas
dos líneas se toman como los ejes
X y Y, entonces el movimiento del
punto R, cuyas coordenadas (x ,y)
están dadas por P y Q, tiene el
w=u+v
vector
velocidad
(Figura 6).
Roberval fue más allá al aplicar la ley del
paralelogramo a vectores de velocidad
instantánea. Esto es, si el movimiento de
un punto está compuesto de dos
movimientos más simples, él asumió que
su vector de velocidad instantánea es la
suma del paralelogramo de vectores de
velocidad instantánea correspondientes
a los dos movimientos componentes más
simples.
Por ejemplo, considere la espiral de
Arquímedes dada en coordenadas
polares por r = at , θ = ωt .
El movimiento del punto P(at, ωt), sobre
la espiral puede ser considerado como la
resultante de un movimiento radial (a partir del origen) y un movimiento angular. Para encontrar la
tangente a la espiral en P, se construye un vector radial de longitud a (la velocidad radial) y un
1
Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría
M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L.
Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa
de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos
bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000.
Octubre de 2000
vector de longitud rω (la velocidad angular) tangencial al círculo de radio r en P. La diagonal del
paralelogramo determinado por estos dos vectores es el vector velocidad en P, y por lo tanto
determina la línea tangente a la espiral en P (Figura 7).
Un suceso relevante de la aproximación al movimiento instantáneo fue la determinación de la
tangente a la cicloide. Considere un cículo de radio a que inicialmente es tangente al eje X en el
origen y a partir de allí rueda sobre el eje X a la derecha con velocidad angular unitaria (un radián
por segundo). Entonces la cicloide es la trayectoria del punto P -sobre el círculo- que inicialmente
estaba en el origen, y está determinado en coordenadas rectangulares por
x = a(t − sen t ), y = a(1 − cos t ). Ver Figura 8.
Roberval consideró el movimiento del punto P sobre la cicloide como compuesto de
1. una traslación uniforme a la derecha con velocidad a,
2. y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj con una velocidad angular unitaria,
centrada en el tiempo t en el punto (at, a).
Los correspondientes vectores de velocidad instantánea
rectangulares por
están dados en coordenadas
u = ( a, 0 ) (traslación)
y
w = (− a cos t , a sen t ) (rotación).
Su paralelogramo suma (dada en coordenadas rectangulares por su correspondiente suma de
coordenadas) es el vector velocidad
v = (a (1 − cos t ), a sen t ) ,
el cual determina la línea tangente a la cicloide en P. Note que este resultado es el mismo que el
obtenido a través de la derivación del vector posición (a (t − sen t ), a (1 − cos t )) . Desde un
punto de vista moderno, esta última observación es la que verifica (en este ejemplo al menos) la
w
P
v
u
(at, a)
T(at, 0)
Figura 8
validez del proceso de combinar vectores de velocidad instantánea por la suma del paralelogramo.
EJERCICIO: Pruebe que el vector tangente a la cicloide, calculado arriba, es perpendicular a la línea que pasa
por el punto P en la cicloide y el punto de contacto T entre el círculo y el eje X
2
Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría
M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L.
Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa
de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos
bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000.
Octubre de 2000