ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Resolver x  y y'  0
xy
dy
0
dx

yd y   x dx



dy dx
 2
y
x
ydy  

x dx

y2
x2

C
2
2
x 2  y2  2C
Resolver x 2 y' y  0
x2
dy
y0
dx
 
dy

y
dx
x2

x 2 d y  yd x

Ly 
1
C
x

y e

1
 C
x
  he

1
x
 ke

1
x
Resolver (1  x 2 ) y'  1  y2
(1  x 2 )
dy
 1  y2
dx

arc tg y  arc tg x  C
dy
dx

2
1 y
1  x2



dy

1  y2
y  tg (arc tg x  C) 

dx
1  x2
x  arc tg C
xk

1  x .arc tg C 1  k x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 1
Resolver y ' y tg x  0
dy
 y tg x  0
dx

dy
  y tg x
dx

dy
  tg x d x
y
L y  L cos x  C  L cos x  Lk  L k cos x


dy

y
y  ek cos x  K cos x

Resolver y '  e x  y
d y ex

d x ey
e yd y  e x d x

ey  ex  C

exd x

2y
0
x
dy
2y

dx
x

Ly  2L x  C  L x 2  C  L
y

e yd y 
y  L (e x  C) donde e x  C  0

Resolver y '
dy 2y

0
dx x

dy
2 dx

y
x


dy
 2
y

dx
x
1
1
k
 C  L 2  Lk  L 2
2
x
x
x
k
x2
Resolver 2 x y y'  x 2  y2
y'
x 2  y2 1  x y 
   
2x y
2 y x
Haciendo el cambio z 
con lo que y'  z  x z ' 
x
d z 1  z2

dx
2z

 L 1  z2  C  L x
y
x

1 1

  z

2 z
2z
dx
dz 
2
1 z
x

y  xz
L


k
Lx
1  z2
y'  z  x z '

x z' 

1  z2
1  z2
z
2z
2z
2z
dz 
1  z2


k
x
1  z2
dx
x

si z  1
1  z2 
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 2
k
x

sen x
dx
cos x
Deshaciendo el cambio z 
k
z 1 
x
2
y
x
y2
k x k
 1 
2
x
x
x


y2  x (x  k)  x 2  xk
 Si k  0 son dos hipérbolas y   x 2  x k
Resultando 
 Si k  0 son dos bisectrices y   x
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Son de la forma a(x) y'  b(x) y  c(x)
donde a, b y c son funciones de x
Se parte de la ecuación sin segundo miembro a(x) y'  b(x) y  0
separando las variables, queda:
con lo que y  k e


b (x )
dx
a(x)
dy'
b(x)

dx
y
a(x)
 kz
En la ecuación y  k z se considera a k como función de x
derivando:
y'  k ' z  k z
Se calcula k, finalizando al sustituir en y  k z
Resolver x y' 2 y  x 3
Partiendo de la ecuación sin segundo miembro:
x y' 2 y  0
x
dy
 2y 0
dx

L y  2L x  C

x
dy
 2y
dx

L y  L x 2  Lk
dy
dx
2
y
x

L

y
 L x2
k

dy
2
y


dx
x
y  k x2
Suponiendo k función de x, se deriva:
y  k x2

y '  k ' x 2  2k x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 3
Sustituyendo en la ecuación dada x y' 2 y  x 3 se tiene:
x (k ' x 2  2k x)  2(k x 2 )  x 3
 
dk 

dx
k ' x3  x3

k'  1

k x
Finalmente, y  x 2 (x   )
 x3   x2
Resolver y'cos x  y sen x  1
Partiendo de la ecuación sin segundo miembro:
y'cos x  y sen x  0
L y  L cos x  C


cos x
dy
  y sen x
dx
L y  L cos x  Lk

L

 
dy

y
y
 L cos x
k
 sen x
dx
cos x

Suponiendo k función de x, se deriva:
y  k cos x

y'  k 'cos x  k sen x
Sustituyendo en la ecuación dada y'cos x  y sen x  1 se tiene:
(k 'cos x  k sen x)cos x  (k cos x) sen x  1 
 
dk 
dx
cos2 x

k 'cos2 x  1
k  tg x  
Finalmente, y  k cos x  (tg x   ) cos x  sen x   cos x
Resolver: x y' 2 y  L x  0
Determinar la integral con valor cero para x  1
x y' 2 y  L x
Partiendo de la ecuación sin segundo miembro:
x y' 2 y  0
x
dy
 2y 0
dx

x
dy
 2y
dx

dy
dx
2
y
x


dy
2
y

dx
x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 4
y  k cos x
L y  2L x  C
L y  L x 2  Lk


L
y
 L x2
k

y  k x2
Suponiendo k función de x, se deriva:
y  k x2

y '  k ' x 2  2k x
Sustituyendo en la ecuación dada x y' 2 y  x 3 se tiene:
x (k ' x 2  2k x)  2(k x 2 )  L x

 

dk 
x  3 Lx d x
u  L x  du 

dx
x
dv  x 3dx  v 

k


k
k ' x3  L x
x  3 Lx d x
dk 

Lx
dx
x3





1 
3
x dx  v  
2 x 2 
x  3 Lx d x  
Lx 1

2 x2 2

x 3dx  
Lx 1 1
Lx
1

 


2
2
2
2x
2 2x
2x
4 x2
Sustituyendo el valor de k en y  k x 2 resulta:
1
Lx 1
 Lx


   x2  
   x2
y  k x2   
2
2
4x
2
4
 2x

La integral particular que pasa por (1,0) :
y
Lx 1
   x2
2
4
(1,0)
y
L x 1 x2 1 2
 
 (x  2L x  1)
2
4
4
4

0
1

4


1
4
Resolver: x y'  y  arc tg x
Se parte de la ecuación sin segundo miembro: x y '  y  0
x y'  y  0

Ly Lx C
x

dy
 y
dx

dy
dx

y
x
L y   L x  Lk  L
k
x



y
dy

y

dx
x
k
x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 5
Derivando la constante k como función de x: y' 
k'x k k' k
  2
x2
x x
Sustituyendo en la ecuación dada:
 k' k  k
x   2    arc tg x
x x  x
k



arc tg x dx  x arc tg x 
k '  arc tg x

x dx
1
 x arc tg x  L (1  x 2 )  
2
1 x
2
dx

 u  arc tg x  du 

1  x2
 d v  d x  v  x

Finalmente,
y
k 1
1
L (1  x 2 ) 

  x arc tg x  L (1  x 2 )     arc tg x 

x x
2

2x
x
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ECUACIONES DE BERNOUILLI
Son de la forma y '  a(x) y  b(x) ym
con m  0 y m  1, valores para los que la ecuación sería lineal de primer orden.
Se dividen ambos miembros por ym :
Se hace el cambio z 
y' a(x)
 m1  b(x)
ym
y
1
y
m1
z'
 a(x) z  b(x)
1 m
resultando:
como ecuación lineal de primer orden, se siguen los pasos ya indicados.
Resolver: x y'  3 y  x 2 y2
x y' 3
  x2
2
y
y
Diviendo ambos miembros por y2 , queda:
(1)
1

y

1
z

 
haciendo el cambio z 
y
 z '   y'
y2

Sustituyendo en (1) se obtiene la eciación diferencial:  x z '  3 z  x 2
Para resolver (2) se parte de la ecuación sin segundo miembro:
 x z' 3z 0
x z' 3z
L z  3L x


x
dz
 3z
dx
dz
dx
3
z
x

3
L z L x  C



dz
3
z

dx
x
3
L z  L x  Lk  L k x 3
z  k x3
Derivando la constante k como función de x: z '  k ' x 3  3 x 2 k
Sustituyendo en (2) resulta:
 x (k ' x 3  3 x 2 k)  3 x 2 k  x 2

 k ' x 4  x2

k'
1
x2
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 7
(2)
 
dk 
 dx
x2
k

1

x
con lo que,
1

z  k x 3      x 3  x 2   x 3  x 2 (1   x)
x

Finalmente, y 
1
1
 2
z x (1  x)
Resolver: y'  y  x y3
y'
1
 2 x
3
y
y
dividiendo por y3 queda
con el cambio, z 
1
y2

(1)
 2 y'

 z '  y3

 y2  1

z
sustituyendo en (1) resulta:
y'
1
 2 x
3
y
y

 z'
zx
2

 z ' 2 z  2 x
(2)
Se parte de la ecuación sin segundo miembro  z ' 2 z  0
dz
 2z
dx


dz
2
z

dx

L z  2x  k

z  e2x  k  he2 x
En la ecuación z  he2 x se deriva h como función de x:
z  he2 x

z '  h' e2 x  2he2 x
sustituyendo en (2) queda:  (h' e2 x  2he2 x )  2he2 x  2 x
 h' e2 x  2 x



 
dh 

 2 x e  2 x dx  h  x e  2 x 
 u  x  du  dx


2x
2x
 dv   2 e dx  v  e

1 2x

e
2
 2 x e  2 x dx  x e  2 x 

e  2 x dx
1


Siendo z  he2 x se tiene z  he2 x   x e  2 x  e  2 x    e2 x


2
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 8
z  x
1
  e2 x
2
Finalmente, y2 
1
1

z  e2 x  x  1
2
La ecuación diferencial de Riccati es de la forma: y'  a (x) y2  b (x) y  c(x)
donde a, b y c son funciones de x. Sea y1 una solución de la integral.
Se comienza con el cambio y  y1  z

y '  y1'  z '
transformando la ecuación diferencial en:
y '  a (x) y2  b (x) y  c(x )

y1'  z '  a (x)(y1  z)2  b (x)(y1  z)  c(x)
Como y1 es solución particular, verifica: y1'  a (x) y12  b (x) y1  c(x)
después de simplificar, queda:
z '  a (x) z 2   2 a (x) y1  b (x) z
que es una ecuación diferencial de Bernouilli con m  2
Resolver: y' 
1 2 
1
y   2   y  x  2 con solución particular y1  x
x
x

Con el cambio y  y1  z

y  x  z

 y'  1  z '
sustituyendo en la ecuación inicial:
1 2 
1
1
1

y   2   y  x  2  1  z '  (x  z)2   2   (x  z)  x  2
x
x
x
x


1
1

1  z '  (x 2  z 2  2 x z)   2   (x  z)  x  2
x
x

y' 
1 z ' 
1 2
1

(x  z 2  2 x z)   2   (x  z)  x  2
x
x

1  z'  x 
z2
z
 2 z 2 x  2 z 1   x 2
x
x
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z' 
z2 z

x x
x z ' z  z 2

ecuación de Bernouilli con m = 2
dividiendo por z 2 queda: x z ' z  z 2
con el cambio, u 
resulta,
1
z

x z' 1
 1
z2
z
 z'

u'  z 2

z  1

u

 xu'  u  1 ecuación lineal de primer orden
partiendo de la ecuación sin segundo miembro: - x u'  u  0
-x
du
 u 0
dx


du

u

dx
x

L u  L x  Lk
L u  L kx
derivando k como función de x en la ecuación u  k x

u'  k ' x  k
sustituyendo en  xu'  u  1 queda:
 xu'  u  1 
 
dk 
 dx
x2
 x (k ' x  k)  k x  1 

k
con lo que, u  k x

Por tanto, z 
 k ' x2  1
1

x
1

u      x  1  x
x

1
1

u 1  x
Finalmente, y  x  z

yx
1
1  x
Resolver: x 3 y '  y2  5 x 2 y  2 x 4  0 con solución particular y1  x 2
Con el cambio y  y1  z

 y  x2  z

y '  2 x  z '
sustituyendo en la ecuación diferencial dada:
x 3 y'  y2  5 x 2 y  2 x 4  0

x 3 (2 x  z ')  (x 2  z )2  5 x 2 (x 2  z )  2 x 4  0
2 x 4  x3 z '  x 4  z2  2 x2 z  5 x 4  5 x2 z  2 x 4  0

x3 z '  3 x2 z   z2
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 10
La ecuación de Bernouilli x 3 z '  3 x 2 z   z 2 se divide por  z 2
 x z' 3x

 1
z2
z
3
2
con el cambio u 
1
z

 z'

u'  z 2

z  1

u
resulta la ecuación lineal de primer orden x 3 u'  3 x 2 u  1
partiendo de la ecuación sin segundo miembro: x 3 u'  3 x 2 u  0

du
 3
u

dx
x
L u  3L x  Lk

k
Lu L 3
x

u
k
x3
derivando k como función de x en la ecuación u 
u' 
k
x3
k ' x 3  3 x 2 k k ' 3k
 3 4
x6
x
x
sustituyendo en x 3 u'  3 x 2 u  1 queda:
x 3 u'  3 x 2 u  1 
con lo que, u 
k
x3
k
 k ' 3k 
x3  3  4   3 x2 3  1 
x 
x
x
x
 u
x3
k'  1 
kx
1
x3
Por tanto, z  
u x
Finalmente, y  x 2  z

y  x2 
x3
x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 11
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIÓN SIN SEGUNDO MIEMBRO
La ecuación diferencial a y''  b y'  c  0
Tiene como integral general C1 y1  C2 y2 siendo C1 y C2 constantes
 y '  rerx
Se buscan soluciones de la forma y  erx con r complejo 
2 rx
 y ''  r e
sustituyendo, queda:
a y''  b y'  c  0

   b2  4 a c  0


2
  b  4ac  0


2
  b  4 a c  0
(ar 2  br  c) er x  0

ar 2  br  c  0
 y  C1 er1 x  C2 er2 x

y  (C1 x  C2 ) e

b
x
2a
 y  (C1 cos  x  C2 sen  x) e  x
Cuando   b2  4 a c  0 las soluciones complejas son (  i )
La expresión (C1 cos  x  C2 sen  x) se puede poner como Ccos ( x  )
Adviértase que,
y  Ccos ( x  ) e  x  C(cos  x cos   sen  x sen ) e  x
 C1  Ccos 
donde 
C2  C sen 

C12  C22  (cos2   sen2 )C2  C2
Resolver: y''  5 y '  6 y  0
Sea y  er x 
y ''  5 y '  6 y  0
y'  rer x

y ''  r 2 er x
(r 2  5r  6) er x  0

r 2  5r  6  0

La integral general es: y  C1 e2x  C2 e3x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 12
 r1  2

r2  3
Resolver: y''  4 y'  4 y  0
La ecuación característica asociada es
r 2  4r  4  0

r1  r2   2
La integral general es: y  (C1 x  C2 ) e  2 x
Resolver: y''  y'  y  0
La ecuación característica asociada es
r2  r  1  0


3
1
 r1    i

2
2

3
1

r2   2  i 2

1
2

3
2
x

3
3
La integral general es: y  (C1 cos
x  C2 sen
x) e 2
2
2
o también y  Ccos (
x

3
x  ) e 2
2
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 13
ECUACIÓN DIFERENCIAL COMPLETA
Se parte de la ecuación diferencial sin segundo miembro a y''  b y'  c  0
 EL SEGUNDO MIEMBRO ES UN POLINOMIO DE GRADO n
 a y ''  b y'  c y  Pn (x)  Se busca un polinomio de grado n

 a y''  b y'  P (x)   c  0

n

 Se busca un polinomio de grado (n  1)

 a y''  P (x)   c  0 , b  0
n

 Se integra dos veces sucesivamente
 EL SEGUNDO MIEMBRO ES DE LA FORMA ekx Pn (x)
a y''  b y'  c y  ekx Pn (x)
Se parte de la función: y  z ekx
 EL SEGUNDO MIEMBRO ES DE LA FORMA:
a y''  b y'  c y  A1 cos  x  B1 sen  x
 no es raíz de la ecuación característica
i  
 se busca una solución particular y  A cos  x  B sen  x
 es raíz de la ecuación característica
i  
 se busca una solución particular y  x (A cos  x  B sen  x)
 Análogamente, si la ecuación diferencial es del tipo:
a y''  b y'  c y  A1 xn cos  x  B1 xn sen  x
n es entero
 no es raíz de la ecuación característica
i  
 se busca una solución particular y  Pn (x)cos  x  Qn (x) sen  x
 es raíz de la ecuación característica
i  
 se busca una solución particular y  Pn1(x)cos  x  Qn1(x) sen  x
 EL SEGUNDO MIEMBRO ES DE LA FORMA ekx (A1 cos  x  B1 sen  x)
a y''  b y'  c y  ekx (A1 cos  x  B1 sen  x) Se parte de la función y  z ekx
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Resolver: y''  y'  2 y  2 x 2  3 x  2
La ecuación diferencial sin segundo miembro y''  y'  2 y  0
la ecuación característica asociada r 2  r  2  0
con raíces r1  1 y r2   2
La integral general de la ecuación sin segundo miembro:
y  C1 e x  C2 e  2 x
Se busca una solución bajo la forma de un polinomio de segundo grado:
 y  a x2  b x  c

 y'  2 a x  b
 y''  2 a

de donde, resulta:
y ''  y'  2 y  2 a  2 a x  b  2(a x 2  b x  c)  2 x 2  3 x  2
operando e identificando coeficientes:
 2 a  2

2 a  2b   3
 2 a  b  2c   2

a  1
b
1
2
c
1
4
La solución particular de la ecuación completa: y   x 2 
1
1
x
2
4
Según el Teorema Fundamental , la solución general de la ecuación
diferencial propuesta:
2x
 x2 
y  C1 e x  C2 e
1
1
x
2
4
Resolver: y''  y '  2 y  4 x 2  4 x  6
La ecuación diferencial sin segundo miembro y''  y'  2 y  0
tiene asociada la ecuación característica r 2  r  2  0
con raíces complejas 
7
7
1
1

i donde    ,  
2
2
2
2
La integral general de la ecuación sin segundo miembro:
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
7
7   x2
y   C1 cos
 C2 sen
e
2
2 

Se busca una solución bajo la forma de un polinomio de segundo grado:
 y  a x2  b x  c

 y'  2 a x  b
 y''  2 a

de donde, resulta:
y ''  y'  2 y  2 a  2 a x  b  2 (a x 2  b x  c)  4 x 2  4 x  6
operando e identificando coeficientes:
2 a  4

 2 a  2b   4
 2 a  b  2c  6

a2
b  4
c3
La solución particular de la ecuación completa: y  2 x 2  4 x  3
La solución general de la ecuación diferencial propuesta:

7
7   x2
2
y   C1 cos
 C2 sen
e  2x  4x  3
2
2 

Resolver: y''  y '  x 2
La ecuación diferencial sin segundo miembro y''  y'  0
la ecuación característica asociada r 2  r  0

r1  0

 r2  1
La integral general de la ecuación sin segundo miembro: y  C1  C2 e x
Se busca una integral particular de grado 3:
 y  a x3  b x2  c x  d

2
 y'  3 a x  2b x  c
 y ''  6 a x  2 b

con lo que:
y ''  y'  6 a x  2b  (3 a x 2  2b x  c)  x 2
identificando coeficientes:
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 3a  1

6 a  2b  0
 2b  c  0


a
1
3
b  1
c  2
La solución particular de la ecuación completa: y  
1 3
x  x2  2 x
3
La solución general de la ecuación diferencial:
y  C1  C2 e x 
1 3
x  x2  2 x
3
Resolver: y''  2 x 2  3 x  1
Se integra dos veces sucesivamente:
y' 
y
2 3 3 2
x  x  x  1
3
2
1 4 1 3 1 2
x  x  x  1 x   2
6
2
2
Resolver: y'' y'  y  x 2 e  x
La ecuación sin segundo miembro: y'' y'  y  0
tiene asociada la ecuación característica: r 2  r  1  0
con raíces
1 i 3
2
  1/ 2
  3 /2
La integral general de la ecuación sin segundo miembro:

3
3  x/2
y   C1 cos
x  C2 sen
xe
2
2 

Considerando la ecuación completa y la forma del segundo miembro,
se hace el cambio: y  z e  x
y  z e x
x
y '  (z ' z) e
x
y''  (z '' 2 z ' z) e
sustituyendo en la ecuación diferencial dada:
y '' y'  y   (z '' 2 z ' z)  (z ' z)  z  e  x  x 2 e  x
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La ecuación z '' 3 z ' 3 z  x 2 se resuelve buscando un polinomio de grado dos:
z  a x2  b x  c
z'  2a x  b
z ''  2 a
z '' 3 z ' 3 z  x 2

2 a  3(2 a x  b)  3(a x 2  b x  c)  x 2
3 a x 2  (6 a  3b) x  (2 a  3b  3 c)  x 2
3 a  1

Identificando coeficientes   6 a  3b  0
2 a  3b  3 c  0

entonces, z 

a  1/ 3
b 2/3
c  4/9
1 2 2
4
x  x
3
3
9
2
4
1
y  z e x   x2  x   e x
3
9
3
Según el Teorema Fundamental, la solución general de la ecuación diferencial:

3
3  x/2  1 2 2
4
y   C1 cos
x  C2 sen
x  e   x  x   e x
2
2 
3
9

3
Resolver: y'' 4 y'  4 y  (x 2  x) e2 x
La ecuación sin segundo miembro y'' 4 y '  4 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  4r  4r  0 , con raíz doble r  2
La integral general de la ecuación sin segundo miembro: y   C1 x  C2  e2 x
Considerando la ecuación completa y la forma del segundo miembro,
se hace el cambio: y  z e2 x
y  z e2 x
y'  (z ' 2 z) e2 x
y ''  (z '' 4 z ' 4 z) e2 x
por tanto:
y '' 4 y '  4 y   (z '' 4 z ' 4 z)  4 (z ' 2 z)  4 z  e2 x  (x 2  x) e2 x
resultando: z ''  x 2  x
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1 3 1 2

 z '  3 x  2 x   1
integrando dos veces consecutivas: 
 z  1 x 4  1 x3   x  
1
2

12
6
 1 4 1 3

y  z e2 x  
x  x   1 x   2  e2 x
6
 12

Por el Teorema Fundamental, la solución general de la ecuación diferencial:
1 4 1 3


y   C1 x  C2 
x  x   1 x   2  e2 x
12
6


Resolver: y'' 2 y '  5 y  cos2 x  2 sen2 x
La ecuación sin segundo miembro y'' 2 y'  5 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  2r  5  0 , con raíces  1  2i ,    1 y   2
La solución de la ecuación sin segundo miembro: y   C1 cos2 x  C2 sen 2 x  e  x
Como 2i no es solución de la ecuación característica, se busca una
solución particular de la forma: y  A cos2 x  B sen2 x
y  A cos2 x  B sen2 x
y '   2 A sen2 x  2Bcos 2 x
y ''   4 A cos2 x  4B sen2 x
por tanto:
y '' 2 y '  5 y  ( 4 A cos 2 x  4B sen2 x)  2(  2 A sen2 x  2Bcos2 x) 
 5 (A cos 2 x  B sen2 x)  cos 2 x  2 sen2 x
operando, resulta:
(A  4B )cos 2 x  ( 4 A  B ) sen2 x  cos 2 x  2 sen2 x
 A  4B  1
identificando coeficientes: 
 4 A  B  2

A
7
17
B
6
17
La solución particular de la ecuación completa es:
y
7
6
cos2 x 
sen2 x
17
17
Por el Teorema Fundamental, la solución general de la ecuación diferencial:
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 19
y   C1 cos2 x  C2 sen2 x  e
x

7
6
cos2 x 
sen2 x
17
17
Resolver: y'' 4 y  cos 2 x
La ecuación sin segundo miembro y'' 4 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  4  0 , con raíces  2i ,   0 y   2
La solución de la ecuación sin segundo miembro: y  C1 cos2 x  C2 sen2 x
Como 2i es solución de la ecuación característica, se busca una
solución particular de la forma: y  x (A cos2 x  B sen2 x)
y  (A cos 2 x  B sen2 x) x
y '  (A cos2 x  B sen2 x)  ( 2 A sen2 x  2Bcos2 x) x
y''  ( 4 A sen2 x  4Bcos 2 x)  ( 4 A cos2 x  4B sen2 x) x
por tanto:
y '' 4 y  ( 4 A sen2 x  4Bcos2 x)  (  4 A cos2 x  4B sen2 x) x 
 4 (A cos2 x  B sen2 x) x  cos2 x
simplificando: y'' 4 y  4Bcos 2 x  4 A sen2 x  cos 2 x
 4B  1
identificando coeficientes: 
 4 A  0

A0
B
La solución particular de la ecuación completa es: y 
1
4
x
sen2 x
4
La solución general de la ecuación diferencial:
y  C1 cos2 x  C2 sen2 x 
x
x

sen2 x  C1 cos2 x    C2  sen2 x
4
4

Resolver: y'' 4 y  9 x (sen x  2cos x)
La ecuación sin segundo miembro y'' 4 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  4  0 , con raíces  2i ,   0 y   2
La solución de la ecuación sin segundo miembro: y  C1 cos2 x  C2 sen2 x
Como i no es solución de la ecuación característica, se busca una
solución particular de la forma: y  P1 (x) cos x  Q1 (x) sen x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 20
y  (a  b x) cos x  (c  d x) sen x
y'  (b  c  d x) cos x  ( a  d  b x) sen x
y ''  ( a  2d  b x) cos x  ( 2b  c  d x) sen x
sustituyendo en la ecuación dada:
y '' 4 y  ( a  2 d  b x) cos x  ( 2b  c  d x) sen x  4 (a  b x) cos x  4 (c  d x) sen x 
 (3 a  2d) cos x  ( 2b  3c) sen x  3b x cos x  3 d x sen x  9 x sen x  18 x cos x
identificando coeficientes:
3 a  2d  0 
 2b  3c  0 

3b   18


3d  9
d3
b  6
c  4
a  2
P1 (x)  a  b x  2  6 x   (2  6 x)

Q1 (x)  c  d x  ( 4  3 x)
La solución de la ecuación particular: y   (2  6 x)cos x  ( 4  3 x) sen x
La solución de la ecuación propuesta:
y  C1 cos2 x  C2 sen2 x  (2  6 x)cos x  ( 4  3 x) sen x
Resolver: y'' 4 y  8 x (2 cos2 x  sen2 x)
La ecuación sin segundo miembro y'' 4 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  4  0 , con raíces  2i
La solución de la ecuación: y  C1 cos2 x  C2 sen2 x
Siendo 2i solución de la ecuación característica, se busca una
solución particular de la forma: y  P2 (x) cos 2 x  Q 2 (x) sen2 x
y  (a  b x  c x 2 ) cos 2 x  (d  e x  f x 2 ) sen2 x
En este caso, (a cos2x) y (d sen2x) puede obviarse dado que
estas funciones verifican la ecuación sin segundo miembro.
y  (b x  c x 2 ) cos2 x  (e x  f x 2 ) sen2 x
y '  (b  2 c x  2 e x  2 f x 2 ) cos 2 x  (  2b x  2c x 2  e  2 f x) sen 2 x
y ''  (2 c  2 e  4 f x  4b x  4 c x 2  2 e  4 f x) cos 2 x 
 ( 2b  4 c x  4 e x  4 f x 2  2 b  4 c x  2 f) sen 2 x
sustituyendo en la ecuación dada:
y '' 4 y  (2c  4 e  8 f x) cos 2x  ( 4b  8c x  2 f) sen 2x  16 x cos 2x  8 x sen 2x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 21
Al identificar coeficientes:
 2c  4 e  0
 8 f  16


  4b  2 f  0
 8c  8

f2
c1
e   1/ 2
b1

P2 (x)  b x  c x 2  x  x 2
1
Q 2 (x)  e x  f x 2   x  2 x 2
2
 1

Solución de la ecuación particular: y  (x  x 2 )cos2 x    x  2 x 2  sen2 x
 2

La solución de la ecuación propuesta:
 1

y  C1 cos2 x  C2 sen2 x  (x  x 2 )cos2 x    x  2 x 2  sen2 x
 2

1


y  (C1  x  x 2 )cos2 x   C2  x  2 x 2  sen2 x

2

Resolver: y'' y 
1
sen2 x
La ecuación sin segundo miembro y '' y  0 tiene como ecuación
característica r 2  1  0 , con raíces  i ,   0 ,   1
La solución de la ecuación: y  C1 cos x  C2 sen x
Derivando C1 y C2 como funciones de x:
y '  C'1 cos x  C1 sen x  C'2 sen x  C2 cos x
Con la condición: C'1 cos x  C'2 sen x  0
resulta, y'   C1 sen x  C2 cos x
y ''   C'1 sen x  C1 cos x  C'2 cos x  C2 sen x  (C'2  C1 )cos x  (C1'  C2 ) sen x
con lo que,
y '' y  C'2 cos x  C1' sen x 
1
sen2 x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 22
 C' cos x  C' sen x  0
2
 1
Resolviendo el sistema: 
1
'
'
C2 cos x  C1 sen x 
sen2 x

y '' y   C'1
cos2 x
1
 C1' sen x 
sen x
sen2 x

C'2   C'1
cos x
sen x
 C'1 cos2 x sen x  C'1 sen2 x  1
 C'1 (1  sen2 x) sen x  C1' sen2 x  1
 C'1 sen x  1 


dx

sen x
C'2   C1'

C'1  
1
sen x
2d t / 1  t 2

2 t / 1  t2

C1  


dx 
x
 L tg   1
sen x
2
dt
x
 L t   1  L tg  
t
2
cos x
1
cos x cos x


x
sen x sen x sen x sen2 x

C2 

cos x
1
dx  
 2
2
sen x
sen x
resulta, por tanto:

x

1


y  C1 cos x  C2 sen x    L tg   1  cos x   
  2  sen x
2


 sen x

y   1 cos x   2 sen x  1  cos x L tg
x
2
Resolver: y'' y  cotg x
La ecuación sin segundo miembro y '' y  0 tiene como ecuación
característica r 2  1  0 , con raíces  i ,   0 ,   1
La solución de la ecuación sin segundo miembro: y  C1 cos x  C2 sen x
Derivando C1 y C2 como funciones de x:
y '  C'1 cos x  C1 sen x  C'2 sen x  C2 cos x
Con la condición: C'1 cos x  C'2 sen x  0
resulta, y'   C1 sen x  C2 cos x
y ''   C'1 sen x  C1 cos x  C'2 cos x  C2 sen x  ( C'2  C1 )cos x  (  C'1  C2 ) sen x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 23
con lo que, y'' y  C'2 cos x  C1' sen x 
cos x
sen x
 C' cos x  C' sen x  0
2
Resolviendo  1
 '
cos x
'
el sistema
 C2 cos x  C1 sen x 
senx

C'2   C'1
cos x
senx
cos2 x
cos x
'
 C1
 C1' sen x 

 C'1 cos2 x  C'1 sen2 x  cos x
 cos x
  cos x
cos2 x  sen2 x

C1  
sen x
C1' 
sen x

cos x dx   senx   1
cos x cos2 x 1  sen2 x
'
'
C2   C1


senx
C2 



senx
1  sen2 x
dx 
senx
dx

senx


senx
dx

senx
2 dt / 1  t 2

2 t / 1  t2



senx dx  L tg
x
 cos x   2
2
dt
x
 L t  L tg
t
2
resultando, finalmente:


x
y  C1 cos x  C2 sen x    senx   1  cos x   L tg  cos x   2  sen x
2


x
y   1 cos x   2 sen x  sen x L tg
2
Resolver: y'' 4 y 
1
cos2 x
La ecuación sin segundo miembro y'' 4 y  0 tiene como ecuación
característica r 2  4  0 , con raíces  2 i ,   0 ,   2
La solución de la ecuación: y  C1 cos2 x  C2 sen2 x
Derivando en la solución anterior C1 y C2 como funciones de x:
y '  C'1 cos2 x  2C1 sen2 x  C'2 sen2 x  2C2 cos2 x
Con la condición: C'1 cos2 x  C'2 sen2 x  0
resulta, y'   2C1 sen2 x  2C2 cos2 x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 24
y ''   2C'1 sen2 x  4 C1 cos 2 x  2 C'2 cos2 x  4 C2 sen2 x 
 (2C'2  4 C1 )cos 2 x  ( 2C1'  4 C2 ) sen2 x
en consecuencia,
y '' 4 y  2C'2 cos2 x  2 C1' sen2 x 
1
cos 2 x
 C' cos2 x  C' sen2 x  0
2
Resolviendo  1

1
'
'
el sistema
 2 C2 cos 2 x  2C1 sen2 x 
cos2 x

cos2 2 x
'
 2C1
 2C'1 sen2 x 
sen2 x
1
2

C'2   C1'
cos 2 x
sen2 x
1
cos2 x
1
 cos2 2 x

 2C'1 
 sen2 x  
 sen2 x
 cos 2 x
C1 
C'2   C1'

C1' 
 sen2 x
2cos 2 x
 sen2 x 1
 L cos2 x   1
cos2 x
4
cos 2 x
sen2 x

sen2 x 2cos2 x
x
cos2 x 1

sen2 x 2

C2 
1
2

dx 
1
x  2
2
La solución a la ecuación propuesta es:
1

1

y  C1 cos2 x  C2 sen2 x   L cos 2 x   1  cos 2 x   x   2  sen2 x
4

2

y   1 cos2 x   2 sen2 x 
1
1
x sen2 x  cos 2 x L cos 2 x
2
4
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ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN N
Ecuación diferencial tipo:
an y(n)  an1 y(n1)    a 2 y '' a1 y' a0 y  f(x)
donde (an , an1 ,  , a2 , a1 , a0 ) son constantes, siendo f una función dada.
A la ecuación se asocia una ecuación sin segundo miembro:
an y(n)  an1 y(n1)    a2 y '' a1 y' a0 y  0
La integral general de la ecuación propuesta, según el Teorema Fundamental ,
es la suma de la integral obtenida al resolver la ecuación sin segundo miembro
y de una integral particular.
Se buscan soluciones de la forma y  er x , r complejo, solución de la ecuación
característica: an r n  an1 r n1    a 2 r 2  a1 r  a 0  0
Una raíz simple de r esta asociada a la solución y  er x . A una raíz múltiple r de
orden k estan asociadas soluciones er x , x er x , x 2 er x ,  , xk 1 er x
Se definen n soluciones (y1, y2 ,  , yn ) linealmente independientes.
n
La integral general es: y(x)   Ci yi (x)
i1
Para obtener la integral particular de la ecuación completa, considerando el
segundo miembro, se utilizan métodos análagos a los vistos anteriormente.
Resolver: y''' 3 y'' 3 y' y  0
La ecuación característica: r 3  3r 2  3r  1  0  (r  1)3  0 tiene como raíz
triple r  1
La ecuación tiene por solución: y  (C1  C2 x  C3 x 2 ) e x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 26
Resolver: yIV  y ''' 3 y'' 5 y' 2 y  2 x  7
La ecuación sin segundo miembro: yIV  y''' 3 y''  5 y ' 2 y  0
con ecuación característica: r 4  r 3  3r 2  5r  2  0

 r  1 triple

r   2
La solución de la ecuación sin segundo miembro:
y  C1 e 2 x  (C2 x  C3 x  C4 x 2 ) e x
Se quiere encontrar un polinomio de primer grado que sea solución particular
de la ecuación completa:
y  a  bx
y'  b
y''  y'''  yIV  0
con lo que,
yIV  y ''' 3 y'' 5 y' 2 y  5b  2(a  b x)  2 x  7
a  1
identificando coeficientes: 
 b  1
La integral particular de la ecuación completa es y  1  x
Según el Teorema Fundamental, la solución general:
y  1  x  C1 e 2 x  (C2 x  C3 x  C4 x 2 ) e x
Resolver: yIV  y  sen x
La ecuación sin segundo miembro: yIV  y  0
Tiene ecuación característica: r 4  1  0 con raíces:  1, 1,  i, i
La solución de la ecuación sin segundo miembro:
y  C1 e  x  C2 e x  C3 cos x  C4 sen x
r   i   1 cos( x)   2 sen( x)   1 cos x   2 sen x

r  i   3 cos x   4 sen x
(   )cos x  (   ) sen x  C cos x  C sen x
3
2
4
3
4
 1
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 27
Se quiere encontrar una solución particular de la ecuación completa bajo la forma
y  x (A cos x  B sen x)
 y'  (A cos x  B sen x)  x ( A sen x  B cos x)
 y ''  2( A sen x  B cos x)  x (  A cos x  B sen x)

 y'''  3( A cos x  B sen x)  x ( A senx  B cos x)

 yIV  4 ( A sen x  B cos x)  x ( A cos x  B senx)

con lo que, yIV  y  4 A sen x  4Bcos x  sen x
4 A  1
identificando coeficientes: 
 4B  0

A
1
4
B0
La solución particular de la ecuación completa es: y 
1
x cos x
4
Según el Teorema Fundamental, la solución general:
y
1
x cos x  C1 e  x  C2 e x  C3 cos x  C4 sen x
4
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ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL CON CAMBIO DE VARIABLE
Resolver: x y '' y' 4 x 2 y  0
Sea t  x 2

dt  2 x dx

dt
 2x
dx
d y d y dt
dy

.
 2x
dx dt dx
dt
d2 y
d 
dy 
dy
d  dy 
dy
d  d y  dt

2x
2
 2x
2
 2x 





2
dx 
dt 
dt
dx  dt 
dt
dt  dt  dx
dx
2
2
dy
d  dy 
dy
2 d y
 4 x2

2

4
x
dt
dt  dt 
dt
dt
con lo que,
x y'' y' 4 x 2 y  2 x
d2 y
y 0
dt

dy
d2 y
dy
d2 y
 4 x3
 2x
 4 x2 y  4 x3
 4 x2 y  0
dt
dt
dt
dt
y'' y  0
La ecuación característica asociada r 2  1  0 tiene raíces r   i
Solución: y  C1 cos t  C2 sen t
sustituyendo, y  C1 cos x 2  C2 sen x 2
Resolver: x y'' 2 y' x y  1
Sea t  x y
y '' 

y
t
x

y' 
t'x  t t' t
  2
x x
x2
t '' x  t ' t ' x 2  2 x t t '' 2 t ' 2 t




x x2 x3
x2
x4
sustituyendo,
x y'' 2 y' x y  1 
t ''
2t' 2t 2t' 2t
 2
 2 t1
x
x
x
x
queda, t '' t  1
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 29
con solución: t  1  C1 cos x  C2 sen x
deshaciendo el cambio:
y
1
(1  C1 cos x  C2 sen x)
x
Resolver: y y'' y' 2  6 x
Sea t  y y '

t '  y' 2  y y''
sustituyendo, y y'' y' 2  6 x
t'  6x


t  6 x dx  3 x 2   1
en consecuencia: y y '  3 x 2   1


y y 'd y  (3 x 2   1)dx

y2
 x3  1 x   2
2
y2  2 x 3  C1 x  C2
Resolver: y''  y ' tg x  sen2 x
 y'  t
Sea 
 y''  t '
d y  t dx
sustituyendo queda la ecuación de primer orden: t ' t tg x  sen2 x
resolviendo la ecuación sin segundo miembro t ' t tg x  0
dt
  t tg x 
dx

dt

t

sen x
dx  L t  L k cos x  t  k cos x
cos x
En t  k cos x se deriva k como función de x:
t '  k 'cos x  k sen x
trasladando el valor a la ecuación de primer orden:
t ' t tg x  sen2 x

k 'cos x  k sen x  k cos x
k 'cos x  sen2 x  2 sen x cos x

sen x
 sen2 x
cos x
k '  2 sen x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 30
k2

sen x dx   2cos x  C1
siendo t  k cos x  ( 2cos x  C1)cos x   2 cos2 x  C1 cos x
Como y'  t
d y  ( 2cos2 x  C1 cos x)

y
 ( 2cos x  C cos x)dx
2
1
1
y   sen 2 x  x  C1 sen x  C2
2
1

2
2
2
2
cos2 x  cos x  sen x  cos2 x  2cos x  1  cos x  2 (cos 2 x  1)

  2 cos2 x dx   (cos2 x  1)dx   1 sen2 x  x

2


Resolver: x y''  y ' 
Sea y'  t  d y  t dx
1
x
y''  t '
sustituyendo queda la ecuación de primer orden: x t ' t 
1
x
La ecuación sin segundo miembro x t ' t  0

dt dx


t
x
dt

t

dx
 L t  L kx  t  kx
x
En t = k x se deriva k como función de x:
t'  k'x  k
x t ' t 
k ' x2 
1
x
1
x


x (k ' x  k)  k x 
k

1
x
1
1
dx   2  C1
3
x
2x
1
1


t  k x    2  C1  x  
 C1 x
2
x
2
x


 1

Como y '  t: d y   
 C1 x 
 2x


y

 1

  2 x  C1 x  dx


Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 31
1
y   L x  1 x2   2
2
Ecuación y  x f (y')  g(y')
Con el cambio t  y' se tiene: y  x f (t)  g(t) , siendo d y  t dx
y  x f (t)  g(t)
d y  t dx  f (t)dx  x f (t ')dt  g(t ')dt

 t dx  f (t)dx  x f (t ')dt  g(t ')dt  0
 t dx  f (t)dx  x f (t ')dt   g(t ')dt
 f (t)  t  dx  x f (t ')dt   g(t ')dt
 f (t )  t 
dx
 f (t ') x   g(t ')
dt
ecuación lineal de primer orden
Resolver: y  x y' 2  y' 3
Cambio t  y'
d y  t dx

sustituyendo, resulta:
y  x y' 2  y' 3

y  x t2  t3
d y  t 2 dx  2 x t dt  3 t 2 dt
t dx  t 2 dx  2 x t dt  3 t 2 dt
(t 2  t)dx  2 x t dt  3 t 2 dt  0

Si t  0 se obtendría la integral singular y  x.0  0  0

Si t  0 se tiene una ecuación diferencial de primer orden:
t (t  1)
dx
 2 x t  3 t2  0
dt

(t  1)
dx
 2 x  3t  0
dt
dx
 2 x  3 t se parte de la ecuación
dt
dx
2x 0
sin segundo miembro: (t  1)
dt
Para resolver (t  1)
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 32
(t  1)
dx
 2 x
dt
Lx L
k
(t  1)2



dx
 2
x
x

dt
t 1

L x L
1
h
(t  1)2
k
(t  1)2
Una solución particular de la ecuación completa bajo la forma de
un polinomio de grado uno:
dx
b
dt
x  a  bt
en consecuencia:
(t  1)
dx
 2 x  3 t
dt

(t  1)b  2 (a  b t)  3 t
3b   3
identificando coeficientes 
 2a  b  0
solución particular: x  

b  1
a
1
2
1
t
2
La ecuación lineal admite como integral general:
x
1
k
t
2
(t  1)2
si t  1
Finalmente,
1 2
k t2
y  xt  t   t 
2
(t  1)2
2
3
si t  1
Si t  1 se obtendría la integral singular y  x.1  1  x  1
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 33
Ecuación y  x y'  g(y') , caso particular de la ecuación de Lagrange
con y'  f (y ')
Con el cambio t  y ' se tiene: y  x t  g(t) , siendo d y  t dx
y  x f (t)  g(t)
es decir,

d y  t dx  t dx  x dt  g(t ')dt
 x  g(t ') dt  0

dt  0

 x  g(t ')  0
dy
 C se tiene una familia de rectas:
dx
y  x t  g(t)  C x  g(C)
 Si dt  0

t
 Si x  g(t ')  0

g(t)  C1  C2 x 2 parábola que es
la envolvente de la familia de rectas.
Resolver: y  x y' y' 2
Cambio t  y'

d y  t dx
sustituyendo, resulta:
y  x y ' y' 2
y  x t  t2

d y  t dx  t dx  x dt  2 t dt
t dx  t dx  (x  2 t )dt

Si dt  0

t

dt  0
(x  2 t )dt  
 x 2t  0
dy
 C se tiene una familia de rectas:
dx
y  x t  t 2  C x  C2

Si dt  0

x 2t  0  t  
d y  t dx  d y  
x
2
x
x2
dx  y  
2
4
La parábola es la envolvente de la familia de rectas. En esta
linea la tangente en un punto (x1 ,  x12 / 4) tiene por ecuación:
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 34
x12
2x
y
  1 (x  x1)
4
4
x
x2  x 
 x 
y   1 x  1   1 x  1
2
4  2 
 2 
recta correspondiente a C  
2
x1
2
d2 y
dy
 bx
 c y  f(x)
Ecuación a x
2
dx
dx
2
1 x0
Con el cambio de variable x   e t , donde   
, esto es x  e t ,
 1 x  0
conduce a una ecuación lineal con coeficientes constantes.
x   et

dx   e t dt

dt
1

dx  e t
entonces,
y' 
d y d y dt
1 dy
1 '

.


yt
t
dx dt dx  e dt  e t
y '' 
d y ' d y ' dt
dy'
1 
1 '
1 '' 
1
1

 e t


.
yt 
y t    2 t y't  2 t y''t
t 
t
t
dx
dt dx
dt
e  e
e
e
e

Sustituyendo en la ecuación: a x 2 y''  b x y' y  f ( x)
1
1
1 '


a e2 t   2 t y't  2 t y''t   b  e t
yt  c y  f (  e t )
t

e
e
e


 a y't  a y''t  b y't  c y  f (  e t )

a y''t  (b  a) y't  c y  f (  e t )
d2 y
dy
a 2  (b  a)
 c y  f( e t )
dt
dt
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 35
Resolver: x 2 y ''  x y ' y  L x
x  0 por la función logaritmo, el cambio es x  e t
dx  e t dt 
y' 
dt
1
 t  e t
dx e
d y d y dt
dy

 e t
 e  t y't
.
dx dt dx
dt
y '' 


d y ' d y ' dt
dy'

 e t
 e  t  e  t y't  e  t y''t   e  2 t y't  e  2 t y''t
.
dx
dt dx
dt
Sustituyendo en la ecuación: x 2 y''  x y' y  L x


e2 t  e  2 t y't  e  2 t y''t  e t e  t y't  y  L e t
 y't  y''t  y't  y  t
y''t  y  t

Se tiene la ecuación lineal

d2 y
 yt
dt 2
y''t  y  t
La ecuación sin segundo miembro y''t  y  0
ecuación característica r 2  1  0  r  1 
0
1
integral general sin segundo miembro: y  C1 cos t  C2 sent
se busca un polinomio de grado uno para la solucion particular:
y  a  bt
y''t  y  t
y'  b

bt  t
y ''  0

b1
solución particular: y  t
Solución general: y  C1 cos t  C2 sent  t
Deshaciendo el cambio: x  e t  t  L x
y  C1 cos (L x)  C2 sen (L x)  L x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 36
Resolver: x2 y ''  5 x y' 4 y  x
 x x  0

 x x0
el cambio es x   e t
dx   e t dt 
y' 
dt
1

dx  e t
d y d y dt
1 dy
1 '

.


yt
t
dx dt dx  e dt  e t
y '' 
dy' d y' dt
1 d y'
1 
1
1 '' 
1
1

.


 t y't 
yt    2 t y't  2 t y''t
t
t 
t
dx
dt dx  e dt
e  e
e
e
e

Sustituyendo en la ecuación: x 2 y''  5 x y ' 4 y  x
1
1 '
 1

e2 t   2 t y't  2 t y''t   5  e t
yt  4 y   e t
t
e
e
 e

 y't  y''t  5 y't  4 y   e t

y''t  4 y' 4 y   e t
d2 y
dy
 4
 4 y   et
dt
dt

 La ecuación sin segundo miembro: y''t  4 y' 4 y  0
ecuación característica r 2  4r  4  0  r  2 (doble)
solución sin segundo miembro: y  (C1  C2 t) e  2 t
 Se busca una solución particular de la forma y   et
y   et
y'   e t
y ''   e t
sustituyendo,
y''t  4 y ' 4 y   e t
9  et  


 et  4  et  4  et   et


9

solución particular: y 
y   et 
 t
e
9
 t
e
9
Solución de la ecuación completa: y = (C1  C2 t) e  2 t 
 t
e
9
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 37
 t  L x
Deshaciendo el cambio de variable: x   e t   2
2t
 x  e
y=
x
1
 2 C1  C2 L x 
9 x
Portal Estadística Aplicada Negocios, Medicina e Investigación ‐ 38