Ejercicios resueltos

Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
1
TEMA 2 – MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
 5 4 2 


EJERCICIO 1 : Dada la matriz A   2  1 1  , comprueba que A2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la
  4 4  1


4
fórmula anterior, calcula A .
2   5  4 2  9  8 4  

 

1   2 1 1   4  3 2  
  4 4  1   4 4 1    8 8  3  


 

2

Solución: Comprobamos que A = 2A - I:


 10  8 4   1 0 0   9  8 4 

 
 

2A  I   4  2 2    0 1 0    4  3 2 

  8 8  2   0 0 1    8 8  3 

 
 

Utilizando que A2 = 2A  - I, calculamos A4:
A4 = (A2)2 = (2A - I)2 = 4A2 - 4AI + I2 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I +  4A - I = 4A - 3I
 5

A2   2
 5
4
1
4

4

Por tanto: A 4  4A  3I  4  2
4
1
Son iguales.
2   1 0 0   20  16 8   3 0 0 
 17  16 8 
 
 
 



1   30 1 0   8
4
4    0 3 0    8
7
4 
  16 16  7 
 1  0 0 1    16 16  4   0 0 3 


 1 2
 Satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I
EJERCICIO 2 : Si la matriz A  

3
4


representa la matriz identidad de orden 2.
Solución:
 1 2  1 2    5 10 

  

Calculamos A 2 : A 2  
  3 4   3 4    15 10 
10  2x   0 0 
  5 10 
 1 2
1 0   5  x  y
  x
  y
  
  

Así: A 2  xA  yI  
  15 10 
  3 4
 0 1    15  3x 10  4x  y   0 0 
 5  x  y  0

10  2x  0
Luego, ha de ser:

 15  3x  0
10  4x  y  0

y  5  x  5   5 10


x  5
x  5

y  10  4x  10  20  10
Por tanto: x = 5; y = 10
 2 3
 , halla el valor que deben tener “x” para que A2 - xA +
EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = 
  2 1
yI = 0
Solución:
Calculamos A 2  xA  yI e igualamos a 0:
 2 3   2 3   2 9 
 
  

A 2  
  2 1   2 1   6  5 
9  3x   0 0 
 2 9 
 2 3
 1 0    2  2x  y
  x 
  y 
  


A 2  xA  yI  
 5  x  y   0 0 
  6  5
  2 1
 0 1    6  2x
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
 2  2x  y  0

9  3x  0 
Así, tenemos que ha de ser:

 6  2x  0
 5  x  y  0
2

y  2  2x  2  6  8


x 3
x 3

y  5  x  5  3  8
Por tanto: x = 3, y = 8
 0 1 0

EJERCICIO 4 : Dada la matriz: A  
1 0 1
a) Calcula A t A y AA t , donde A t denota la matriz traspuesta de A.
 x
b) Encuentra las matrices de la forma X    , tales que : AAt X  X
y
a
 
c) Encuentra todas las matrices de la forma Y   b  , tales que : At AY  Y
c
 
Solución:
a) La matriz transpuesta de A es:
 0 1


A t   1 0 . Por tanto:
 0 1


0 1
1 0 1

 0 1 0 

t
   0 1 0 
A A   1 0  
0 1 1 0 1 1 0 1 




0 1
 1 0
0 1 0 
  1 0   

AA t  
1 0 1   0 1  0 2


b) Imponemos la condición dada:
1 0  x   x 
 x  x
x  x
             
AA t X  X  
0
2
y
y
2
y
y

   
   
2 y  y  y  0
x
Por tanto: X    , donde x  R.
0
c) A t AY  Y

1 0 1  a  a  c  a 

  
  
0 1 0 b   b   b
1 0 1  c  a  c  c 

  
  

a  c  a

b  b
a  c  c



c0
 0
 
Por tanto: Y   b  , donde b  R.
 0
a0
 
PROBLEMAS CON MATRICES
EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La
evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.
a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial.
b) ¿Qué información nos da el elemento c 34 de la matriz producto?
PAN
AGUA LECHE
F1  450 800 650 


A  F2  500 810 620 
F3  200 500 600 
1997 1998 1999 2000
 85 90 90 95 


B  AGUA  28 30 30 35 


LECHE  70 72 75 80 
PAN
Solución:
a) La matriz A es 3  3 y la B es 3  4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera
debe coincidir con el número de filas de la segunda.
Por tanto, el producto B · A no se puede hacer, pero el A · B sí.
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
PAN AGUA LECHE
1997 1998 1999 2000
1997
3
1998
1999
2000
F1  450 800 650  PAN  85 90 90 95 
F1  106150 111300 113 250 122 750 






A  B  F2  500 810 620   AGUA  28 30 30 35    F2 108 580 113140 115 800 125 450 
F3  200 500 600  LECHE  70 72 75 80 
F3  73 000 76 200 78 000 84 500 
La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a 2000.
b) El elemento c 34  84 500, correspond e a la familia tercera en el año 2000; es decir,
nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.
EJERCICIO 6 : En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de
chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material
necesaria para fabricar una unidad de producto:
Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades
de A, 4 de B y 3 de C.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:
A
B
C
CHATARRA  8
6 6  A  6
CHATARRA  90 
  
 
6 4   B  4 
CARBÓN  72 

  
 
ALEACIONES  2 1 3  C  3  ALEACIONES  25 
Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones.

CARBÓN  6
EJERCICIO 7 : En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de
muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:
Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100
mecedoras y 200 sofás.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:
SILLA MECED. SOFÁ
1
1
SILLAS
1
 100  MADERA  400 






PLÁSTICO  1
1
2  MECEDORAS  100   PLÁSTICO  600 

 200  ALUMINIO 1 500 
ALUMINIO  2
3
5 
SOFÁS




Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio.
MADERA
EJERCICIO 8 : Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se
fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes:
Clavos A:
0,20
0,30
0,40 céntimos de euro
Clavos Q:
0,30
0,45
0,60 céntimos de euro
Clavos H:
0,40
0,60
0,80 céntimos de euro
Sabiendo que en un minuto se producen:
De 1 cm de longitud:
100A
50Q
700H
De 1,5 cm de longitud:
200A
20Q
600H
De 2 cm de longitud:
500A
30Q
400H
Se pide:
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
4
a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los
precios.
b) Calcula el elemento a11 de la matriz M · N y da su significado.
c) Calcula el elemento a11 de la matriz N · M y da su significado.
Solución:
1
a) Unidades producidas por minuto:
1,5
2
A  100 200 500 


Q  20 20 30   M
H  700 600 400 
A
Q
H
1  0, 20 0,30 0,40 


1,5  0,30 0,45 0,60   N
2  0, 40 0,60 0,80 
b) a11 = 100 · 0,20  200 · 0,30  500 · 0,40 = 280 céntimos.
Precios (en céntimos de euro):
Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto.
c) a11 = 0,20 · 100  0,30 · 50  0,40 · 700 = 315 céntimos.
Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto.
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa
EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices:
6 
0 
1 3
1 2
2  3 1 






A  2 1
7 .
B = 2 1 2 
C   2 1  1
 1  2  1
 0 5  2
0 2
0 





Solución:
1
2
3
1
6
7
1
0
0
1
0 

0 
1 
a
3
6
1
0
0 
 1


 2  2 1  0  5  5  2 1
0  
a
a

1  2 1 0
0
3 1  0
 5  7 1 0
1 
a
a
1
0
0 
1  33  1
3
0
4
3
3 



a
a
2 1
0    22 53  0
 10 0
9
7
5  
a
 0
1  1 1 
3
0
2
1
1
1 

1
13
9
15
a 
1  1
0
0

a
a
10
10 10
10
10  1  3  2  10
0
0
13
 9 15 



1
9
7
5
a 
a

2
0

10
0

9
7

5




2
0
1
0




10
10
10
10
a
 0
3
0
2
1
1
1 
1 a 
1
1
1

 3  0
0
1


2
2
2
2

 13  9 15 

1 
1
Por tanto, A 
 9  7 5 .
10 

  5 5  5

La inversa de B:
0 1 0 0
0
1 0 0
1 2
1 2
1 2 0 1 0 0








 2  1 2 0 1 0  F2  F2  2F1  0  5 2  2 1 0  F3  F3  F2  0  5 2  2 1 0 
 0 5  2 0 0 1
0 5  2 0 0 1
0 0 0  2 1 1






No tiene inversa porque la tercera fila es nula.
a
1
0
0 
1
1
0
0 
 2 3 1
 2 3 1




a

La inversa de C:  2
1 1 0
1
0   2  1a  0
4  2 1 1
0  
a
 0
 0
2
0
0
0
1 
3
2
0
0
0
1 





La inversa de A: 


a
1
3
6
 1

a

2
 0 5 5
a
a 
3 2  0
0 2
1
a
a








Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
1

2
a
a
a
23 2
a
3 1
4 2
 2

 0
 0

0
1
1
2
0
1
1
1
1
a
1 3

2
3
a
a
a
8

0
0

0
4
0
0
0
2
2
0
1
2
0
1
a
0 

0  
2 
2

2
2 

8
1
4
1
4 1  3 2
a
2 3
3
1
2
a
3
a
a
a

 1

 0


 0

a
2
a
5
 8

 0
 0

0
4
2
0
1
0
3
0
0
2
1
1
0
0
1
4
1
4
1
0
0
0
0
1
1
2

1
2
0 

2 
2 

1
4
1
2


1 1 1

 Así, C 1  1  0 0 2  .



4


2

2
4


1 

CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ
0 a b 


EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: A   0 0 c  , donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.
0 0 0 



a) Encuentra An para todo natural n.

2
b) Calcula A 35  A .
Solución:
a) A1  A
0 a b 0 a b  0

 
0 c 0 0 c   0
0 0 0 0 0 0  0


 
 0 0 ac   0 a


A3  A 2A   0 0 0  0 0
0 0 0  0 0



A2  0
0 ac 

0 0
0 0 
b  0 0 0
 

c   0 0 0
0   0 0 0 
Por tanto, como A 3  0, tenemos que A n  0 para n  3.

b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a): A 35  A
 0 0 ac 

0 0
0 0 0 


2  0  A2   A 2  A 2   0
RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES
 2 0 1


EJERCICIO 11 : Dadas las matrices: A   1 3 0 
 5 1 3


1  3
 9

1
a) Comprueba que A 1    3
1
1 
4

  14  2 6 
Solución:
y
 1 1


B =  2 1
 0 3


b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.
a) Se trata de probar que A A 1  I, donde I es la matriz identidad de orden 3. Efectuamos el producto:
1  3
1  3
2 0 1  9
2 0 1  9
4 0 0
1 0 0

 1
 1

 1



1
1   1 3 0   3
1
1    0 4 0     0 1 0  , como queriamos demostrar.
 1 3 0    3
 5 1 3  4   14  2 6  4  5 1 3    14  2 6  4  0 0 4 
0 0 1

 








b) Despejamos X en la igualdad AX  B, multiplicando por la izquierda por A 1:
A 1 AX  A 1B  IX  A 1B  X  A 1B
 3  1 1 
 11
 
 1
1   2 1   1
4
 
 4   18
  14  2 6   0 3 

 9
1
Por el apartado a), conocemos A 1 ; luego: X    3
1
1
1   11 / 4 1 / 4 
 

1    1 / 4 1 / 4 
2    9 / 2 1 / 2 
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
6
 3 0 1
 1 


 
EJERCICIO 12 : Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo B   1 0 2  y A    2  .
 0 1 0
 4 


 
Solución: Despejamos X multiplicando por la izquierda por B-1: B 1BX  B 1 A
a

2
3
a
a
Como B
1
a
 15

 0
 0

0
1
0
0
6
0
0
5
1
 6
1 

 0
15 
 3
3 0 

0 15  ,
9
0 
X  B 1 A
a
1
0
1
1
0
0
 3 0 1 1 0 0
 3




a
a
 3 0 1 0 0 0 1  
2
1
0
0
0
1 
 0
a 
a
a 

2 1 0 2 0 1 0
3 3 1  0
0
5 1 3
0 
6
3


1
0
0
0 
a  1

1
15 15
3 0 
 6 3 0 


15


a
1 1 


0
1  
2
0
1
0
0
0
1
 B   0
0 15 

15 
1 a 

3
0 

3 
1
3
 3 9 0 
5
0
0
1

0


5 5


 6  3 0  1 
 12 
 4 / 5
 



1 
1 
X
0 15    2  . Así: X 
 0
 60   X   4 
15 
15 

7 / 5
0   4 
 3 9
  21


3 0 1 1 0 0


1
Hallamos B :  1 0 2 0 1 0 
0 1 0 0 0 1


5 1  3

1
a
 1 2
 3  1
 y B  
 .
EJERCICIO 13 : Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo A  
 0 1
0 2 
Solución: Despejamos X multiplicando por A-1 por la derecha: XAA 1  BA 1
F  2F2  1
 1 2 1 0
  1

Hallamos A 1: 
F2
0 1 0 1
 0
 3  1  1  2 
3  7
 
  X  

Así: X  
0
2
0
1



0 2 
0
1
1
0
 2

1 


X  BA 1
1  2

A 1  
0 1 
1 2 1
 5 


 
EJERCICIO 14 : Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo A   2 4 3  , B    2  y 0 la matriz nula.
 3 5 2
 1 


 
Solución: Despejamos X: AX  B

A 1 AX  A 1  B  
a
a
2  2 1 
 1 2 1 1 0 0



Calculamos la inversa de A:  2 4 3 0 1 0  

a
a 
 3 5 2 0 0 1
3  3 1 


2
1
1
0
0 
 1


a
a
Intercambiamos las filas 2 y 3 :  0  1  1  3 0
1 
 0
0
1 2 1
0 

a
a
0 1 5 0
2 
1  3 1 0 0  7
 1



  0
1
1
3
0  1  2 a  3 a  0 1 0 5
a
 0
0 0 1  2
0
1 2 1
0 
3


  7 1 2   5   35 
 35 

  



X   5  1  1   2    26   X    26 
  2 1 0   1   12 
 12 

  



IX   A 1B
1
0
2
0
1
1
0
1
a

X   A 1B
1
2
0
1
1  3
0
2
 1

 2  0
1
a 
3  0
0
1 2

 1  1 Por tanto,
1 0 
1
a
1
1
1
A 1
0 

0 
1 
1
3
0
0
0  a
 1  2  2a
1

2 1
0 
2
 7 1


  5  1  1 .
 2 1
0 

Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
7
RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES
5  4
0
 7



EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial: 3 X  2Y   5
9
0  ; 2X  Y    6
 15  4 4 
 10



Solución:
5  4
1
2 
0
 7
3 X  2 X  A




Llamamos: A   5
9
0  y B   6 6
7 
Así, el sistema queda:

2 X  X  B  X
15  4 4 
 10  5  2 




1
3 X  2 B  2 X   A  3 X  2B  4 X  A  7 X  A  2B  X  A  2B 
7
2
2
4
3
2
1
Y  B  2 X  B  A  2B   B  A  B  B  A  3B  2 A
7
7
7
7
7
7
Por tanto:
 0
5  4
1
2 
7
0
1 0
 7
 14
 2


 1 



1
1 
X  A  2B  5
9
0   2  6 6
7     7 21 14      1 3 2 
7
7 
 0  5  2  7  35  14 0 
 5  2 0
15  4 4 







  7
1
2 

1
1 
Y  3B  2A  3   6 6
7 2
7
7 
  10  5  2 

5  4 
0
 21  7 14 
 3 1 2 

 1 



9
0     28 0
21      4 0
3 
5
15  4 4  7  0
 0  1  2
 7  14 





EJERCICIO 16 : Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos,
0
 2
 1  1


verificando: 5 X  3Y  
3 X  2Y  
  4 15 
2 9 
Solución:
0
 2
 1  1
 y B  
 . Tenemos que resolver el sistema:
Llamamos A  
  4 15 
 2 9 
a
5X  3Y  A  3 1 a   15X  9Y  3A
2 1
 10X  6Y  2A

a
a
3X  2Y  B 
52
 15X  10Y  5B
32
  9X  6Y  3B
Sumando:
Y  5B  3A Sumando:
X  2A  3B
Por tanto:
0   2  1  4
0   3  3  1 3
 2
  3
  
  
  

X  2
  4 15    2 9    8 30    6 27    2 3 
 5  6
0    1  5
 1  1  2 0   5
  3
  
  
  

Y  5
0 
  2 9    4 15    10 45    12 45   2
Calculamos X 2 e Y 2 :
 1 3   1 3    5 12 
 1  5  1  5   9 5 
 
  
; Y 2  



X 2  
0   2
0    2  10 
  2 3   2 3   8 3 
2
5    14 17 
  5 12    9
  
  

Luego: X 2  Y 2  
  8 3    2  10    10  7 
HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA
EJERCICIO 17 :
2 0
 , hallar las matrices que conmutan con A.
a) Dada A  
 1 0
b) Escribe una matriz que conmute con A.
Solución:
1
6
2 

7 
 5  2 
 B  2X
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
 2 0 a
 
a) 
1 0  c
2a  2a  b 

2b  0


a  2c  d 

b0
b  a b   2 0



d   c d   1 0 
b0
a  2c  d

8
 2a 2b   2a  b 0 



b   2c  d 0 
a
 2c  d 0 
 c, d  R
Por tanto, X  
d 
 c
3 0

b) Por ejemplo, si c  1 y d  1: X  
1 1 
COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES
EJERCICIO 18 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:



u1  1, 1,  1, 1; u 2  2, 3,  2, 1; u3  1, 3,  1,  1
Solución:
Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente
independientes.
a
a
1 1 1 
1
1 1 1 
1
1 1 1 
 1
 1
1






a
a
a
3  2 1   2  2 1  0
1
0 1 
2
1
0  1
 2
0
a
a
a
a 
 1

3  1  1 
3 1  0
2
0  2 
3 22  0
0
0
0 

Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como
combinación lineal de los otros dos.
  
Los tres vectores u1, u 2 , u 3 son linealmente dependient es.
RANGO DE UNA MATRIZ
EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices:
3
0 
 1  4 2  5
2 1




1 
2
1 2 
1 1 0
1
a) M  
b) A  
1 8  6 19 
1 8
9  6




3 1



2
1 

 5  10 15  6 
1 1
 3 0
 2 3 1  1





1
1

1
1


1 0 2 1 
d) A  
e) M  
1
2  3 1
4 9 7  1




  2  1 2 0
 7 9 1  4




Solución:
a
a
0
1 
2 1  1
1
 1  4 2  5




a
a
a
1 
2  5
1 1  4
2 1
1  1 0
a) 


a 
a
a
1 8  6 19 
8  6 19 
3 1
3 1




a 
a
a
3 1
2
1 
1
2
1 
4 3
4  31

a
1 
1
1  1 0


a
2
0  3 2  6 

. Por tanto, ran M  3.
a
a
0 0 0
0 
3  32


a
a 
0 14  30 
3  4  4  2 0
0 
2 1 3


2
1 2 
1
b) 
1  8 9  6


 5  10 15  6 



a
2
1 2 
1


a
1 3
0 
1 2
a 
9  6
3 1 8


a 

4  5  10 15  6 
2
1 
1 1 0


0

3
2

6

 0 9  6 18 


0 4
2  2 


a
2
1 2 
1


5 5 4
2  2  1 0
a
a
 0  10 10  8 
3 1


a
a 

4  5  1  0  20 20  16 
1
a

0
2 
4 7


1
0 
1 0
c) A  
2 7 2 2 


 1  7 1  2


a

Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
a
1 2

2
0  5
 a
a 
0
3 22 0

a
a 
0
4  4  2 0
0
2 
4 7


1
0 
1 0
c) 
2 7 2 2 


1  7 1  2


a
1
1 0 1

a
2
0 7  4
 a
a 
0
3 2 0 0

a
a 
4  2 0 0  4
1
a
1
 3 0

 1 1 1
d) 
1
2 3

 2 1 2

a
1
1

a
2
 0
 a
a 
0
3 2

a
a 
4 2  0
e)
 2

1
 4

 7


1
2 

5  4
. Por tanto, ran A  2.
0
0 

0
0 
a
a
0
1
0 
2 1
1


a
a
a
7
0
2 
1 4
2  4 1
 a

a
a
7 2 2 
3 2
3  2 1


a 
a
a
1  2 
4 1  7
4 1
0

2
. Por tanto, ran A  3.
0

0 
1

1

1

0 
1 1
3
0
4
0
0
0
1

0 2 1 
9 7 1

9 1  4 
a
1
1

a
2
 0
a
a 
0
3 32

a
a 
4 32  0
3 1
2

9
1
3
4
0 2
3 5
0 0
0 0
a
a
a
a
a
1
 1 1 1 1


a
a
0
1 1
1  3
2  3 1

a 
a
a
1
2  3 1
3
3 1


a 
a
a
2 0 
4  2 1
4  2 1
1 

 2
. Por tanto, ran A  2.
0 

0 
2
a
a
1

 2
 4

7

1

1
.
0

0 
0 2
1 

3 1  1
9 7  1

9 1  4 
a

a
 1

2  2 1  0
a
a 
0
3  4 1

a
a 
4  7 1  0
1
a
1
0 
1 0


0 7  4 2 
0 7  4 2 


0  7 0  2



 1 1 1 1 


 0  3 4  2
 0
3 4 2 


 0  3 4  2



0
2
1

3 5 1
9 15 3 

9 15 3 

Por tanto, ran M  2.
EJERCICIO 20 : Halla el rango de las siguientes matrices:
7
0 
 1 4 2 
 4




0 
 2 1 3


1

1
0
1
0
1 



B 1
2 1 2  C  
A
1
8  6
2
7  2
 1  8 9  6






 3
 1 7 1 
1
2 



 3

D   1
 1

0
1
1
1
2
3
1 
 2


1  E  1
 4
1 

3
0
1
2
9
7
 1

1 
 1 
Solución:



 A





 B


a
a
2 
1 0 
2  1
1
 1 1




a
a
a
1 1 0 
4 2 
3
1  1
2 1  0
 a

a
a



1
8 6
1
8 6
0
9
3
3 1




a 
a
a 


3
1
2 
1
2 
4
4  3
4  3 1  0
a
a
2 1 3
0 
2  1
2 1 2 
1





1
2  1 2   1a  2  1 3
0   2 a  2 1a 
a 
a
a

1  8 9  6 
3  1
 8 9  6 
3 1 
Por tanto, ran (B) = 2.
1
4
a
0 
1
 1 1 0 



a
2 
2
 0 3 2 

 ran (A) = 3.
a
a
 0
 6
0
0 
3  3 2



a
a 
2 
0 14 
3 4  4 2  0
a
1
2
1
2 
1
2 1 2 
 1



a
0
5
5
4  
2
0

5 5  4 

a
a 
0
 10 10
 8 
3  22  0
0
0
0 
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
10
a
a
0 
0
1 
0
1 
2  1
1
 1





a
a
a
0
1 
7
0 
7  4
1  4
2  4 1  0
 a
 a
 
a 
7  2
2
7  2
0
7  4
3
3  2 1





a 
a
a

 7 1 
 7 1 
 7 0 
4  1
4 1  0
a
a
0
1
1 
2  1
1 1 1 
1
 1 1 1




a
a
a
1 1 1   1  3 0
1
1   2  3 1  0  3 4
a 
a
a

2  3 1 
3  1
2  3 1 
3 1  0
3 4
ran (D) = 2.
a
a
3
1  1
2 1 0
2
1
1
2
1
1 0




a
a
a
0
2
1  1  2
3
1  1  2  2  1  0
3
5
1
a 
a
a 


9
7  1
3  4
9
7  1
3  4 1  0
9 15 3
ran (E) =2.
 4

 1
 C
2

 1

 3

 D  1
 1

Por tanto,
 2

 E1
 4

Por tanto,
7
a


2

a
a 
3 2

a

4

1 

 2 
2 
1
a





1
0
1 

0
7  4
 ran (C) = 3.
0
0
0 

0  7 0 
a
1
 1 1 1 1 


a
2
 0  3 4  2
a
a 
3 2  0
0
0
0 
1

2
a
a
a
3  3 2
a
 1

0
0

0
3
2
5
0
0
1

1
0 
EJERCICIO 21 :
0  1
 2



1
1
3 

a) Halla el rango de la matriz: A  
3
1
4 


 4

2
1


b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:



u1  2,  1, 3, 4 ; u 2  0, 1, 1, 2  y u3   1, 3, 4, 1
Solución:
a)  2

 1
3

4

a
a
 1
3
2  1 1
1
 1 1 3 





a
a
a
1 3
0  1
2 5
1  2
2  2 1  0



a 
a
a 
1 4
3 1 4
0 4 13 
3
3  3 1





a
a
a 
2 1 
2 1 
6 13 
4  4
4  4 1  0
a
a
3 
3
1
1
 1 1
1 1




a
a
2
5 
2
5
2
2
 0
 0
 a

. Por tanto, ran A  3.
a 
a
 0
0
0
3 
0
3
3 22
3




a
a 
a
a 
0  2 
0
0 
4 32  0
34  23  0
  
b) Observamos que las columnas de la matriz A coinciden con los vectores u1 , u 2 , u 3 .
El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
0
EJERCICIO 22 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores



  
u1  2,  1, 0, 1; u2   1, 0, 2, 1; u3  5,  4, 6, 7 y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u3 .
Solución:
  
Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 :
a
1 
2  1
0
2
1 
 2 1 0




a
2
1   1  2 1 0
1  
 1 0
a 
 5 4 6
7 
3  5
4 6
7 

1
a
a
a
a
a
2  2 1
3  51
 1 0

 0 1
 0 4

2
4
16
1 

3 
12 

a
2
1 
1 0


0

1
4
3  . Por tanto, el rango de la matriz es 2.

a
a 
3 42  0
0
0
0 
Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de
ellos.
1

2
a
EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente
2
1
2 
 3


independientes: A    1 1
1  2
 1 6 5 6 


Solución:
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
Calculamos el rango de la matriz dada:
a
a
2
1
2 
2  1
1
1  2
1
 3




1  2   1a  3
2
1
2   2 a  3  1a
 1 1
a
a
a
 1 6 5 6 

3  1
 6  5 6 
3 1


a
1
1  2
 1 1


a

2
5
4  4  . Por tanto, ran A  2.
 0
a
a 
3 2  0
0
0
0 
Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A;
11
1  2
 1 1


5
4  4
 0
 0 5 4 4 



las otras dos dependen linealmente de ellas.
EJERCICIO 24 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros:
a 
 1 0  3
 1 1 a
 2






a
a  1
3 
 1
a


A  
B  2 a 1 
C   3 2 0
D  
E 1
a  1 .
4
2 
 a
 2 a  1
 3 2  a
 1 a 1
 0
a  1 





Solución:
 1
 A: Aplicamos el método de Gauss: 
 a
a  2
Hacemos 4  a 2  0 
a  2
1 2 1

o Si a  2, 
 0 0 0
 1 2
o Si a  2, 
0
 0
o Si a  2, ran C = 2.
1

 B: Aplicamos el método de Gauss:  2
3

a

7

Hacemos  a 2  9a  14  0 
a  2
a  1

2 
a
4



2  a 1 

1

a
a
a
1
0
a
4a2
a  1 
 a  a  2 
2
ran A  1
3

 4 

ran A  2
0  3

a 1  
2  a 
1
a
a
a
a
a
2  2 1
3  3 1
Si a  7 y a  2, ran B = 3
 1 0  3


o Si a  7,  0 7 7   ran B  2
0 0 0 


a
1
1 1 a 


 C: Aplicamos el método de Gauss:  3 2 0   2 a  3  1 a
a
a
1 a 1 
3 1


a  1
Hacemos  3a 2  2a  1  0 
a  1 / 3
3 
1 0


7  
0 a
0 2  a  9


1
2
a
a
a
a 3  22
a
3
1 0



7
0 a

 0 0  a 2  9a  14 


o
o
1 
1 1


Si a  1,  0  1  3 
0 0
0 


 1 0  3


Si a  2,  0 2 7 
0 0 0 


a
1
a 
1
1


a
2
 0  1  3a  
a
a
0 a 1 1 a 
3  a  12


o
a 3
Hacemos a 2  a  6  0 
a  2
a
1 1



 3a
 0 1

 0 0  3a 2  2a  1


1

1 1  
3
1 
Si a   ,  0  1 1 
3 
0 0
0 




ran C  2
1
Si a  1 y a   , ran C  3.
3
3 
a
 
 D: Aplicamos el método de Gauss: 
 2 a  1
 ran B  2
a
3
a



2
a  2  2  1 0 a  a  6
1
a
a

ran C  2
Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
o
o
12
  2 3

Si a  2, 
 0 0
 3 3
  ran D  1
Si a  3, 
0 0
Si a  3 y a  2, ran D = 2.

ran D  1
a
1
a 
a 
 2
 2




a
a
 E: Aplicamos el método de Gauss:  1
a  1  2  2  1  0
a  2
a
 0
 0
a  1
3
a  1 


La tercera fila se anula si a = 1 y la segunda, si a = 2. Estudiamos estos dos casos:
2 1
 2



o Si a  1,  0 3   ran E  2
Si a  2,  0
0 0
 0



Por tanto, ran D = 2 cualquiera que sea el valor de a.
 2

0 
 3 

ran E  2
SISTEMAS EN FORMA MATRICIAL
Ejercicio 25 : Expresa y resuelve los siguientes sistemas de forma matricial:
x  2y  2 z  0 
3 x  y  2z  10 
 x  y  2z  4 



a)  x  y  z  1 
b) x  2y  z  5 
c) 2x  y  2z  3
2x  y  4
x
 2z  3
x  y  z  2 
Solución:
 1  2 2  x   0 

   
a)   1 1  1 y    1   A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B
2
1
0  z    4 


1 0 0
 1  2 2 1 0 0
1  2 2

 F2  F2  F1 

Calculamos la inversa de A:   1 1  1 0 1 0 
1 1 0  F3
 0 1 1
F  F3  2F1 
2

1
0 0 0 1  3

0 5  4  2 0 1

1  2 2 1 0 0
 1  2 0  5  10  2 
 1 0 0 1


 F2  F2  F3 


 0 1 1 1 1 0
 0  1 0  2  4  1  F1  F1  2F2  0  1 0  2
 0 0 1 3 5 1  F1  F1  2F3  0 0 1 3
0 0 1 3
5
1 





 F3  5F2
2
0


 4  1 F2  F2 /(1)
5
1 
1 0 0 1  2 0
 1  2 0




-1
0
1
0
2
4
1

A
=
4 1


2
0 0 1 3
3
5 1 
5 1 


 1  2 0  0    2

    
-1
Calculamos X: X = A .B =  2
4 1  .  1    0   (x,y,z) = (-2,0,1)
3
5 1    4   1 

 3 1  2  x   10 

   
b)  1 2 5  y    5   A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B
  1 0 2  z    3 

   

 3 1  2 1 0 0
3 1  2 1 0 0


 F2  3F2  F1 

Calculamos la inversa de A:  1 2 5 0 1 0 
 0 5 17  1 3 0  F3  5F3  F2
  1 0 2 0 0 1  F3  3F3  F1  0 1 4
1 0 3 





0 0
6
30 
3 1  2 1
 9 3 0 15
 45 0 0 180  90 405  F1  F1 /(45)


 F2  3F2  17F3 



 0 5 17  1 3 0 
 0 15 0  105 60  255  F1  5F1  F2  0 15 0  105 60  255  F2  F2 /(15)
F

3
F

2
F
1
3 
0 0 3
0 0 3
6  3 15  1
6
 3 15 
6
3
15  F3  F3 /(3)

0 0 3

1 0 0 4  2 9 
 4 2 9 




-1
 0 1 0  7 4  17   A =   7 4  17 
 0 0 1 2 1 5 
 2 1
5 



Tema 2 – Matrices – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
 4 2 9 


Calculamos X: X = A .B =.   7 4  17 
 2 1
5 

-1
13
 10   3 
   
 5    1   (x,y,z) = (3,1,0)
  3  0 
   
  1  1 2  x   4 

   
c)  2 1  2  y     3  A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B
1 1
1  z   2 



  1 1 2 1 0 0 
 1 1 2 1 0 0 

 F2  F2  2F1 
 F1  3F1  2F3
Calculamos la inversa de A:  2 1  2 0 1 0 
 0 1 2 2 1 0 
F3  F3  F1 
1 1

 F2  3F2  2F3
1 0 0 1

 0 0 3 1 0 1

  3  3 0 1 0  2
  3 0 0  3  3 0  F1  F1 /(3)





3  2  F2  F2 /(3)
 0  3 0 4 3  2  F1  F1  F2  0  3 0 4
 0
 0
0 3 1 0 1 
0 3 1
0
1  F3  F3 / 3


1
1
0 
1
0 
1 0 0
 1




-1
0
1
0

4
/
3

1
2
/
3

A
=

4
/
3

1
2
/ 3



0 0 1 1/ 3
 1/ 3
0 1 / 3 
0 1 / 3 


1
0  4  1
 1

   
-1
Calculamos X: X = A .B =.   4 / 3  1 2 / 3    3     1  (x,y,z) = (1,-1,2)
 1/ 3
0 1 / 3   2   2 

 1 1 1  x   1 

   
Ejercicio 26 : Resuelve matricialmente el siguiente sistema:  2 2 1   y    0 
  1 0 1  z   0 

   
Solución:
A.X = B  A-1.A.X = A-1.B  I.X = A-1.B  X = A-1.B


1 0 0
 1 1 1 1 0 0
1 1 1

 F2  F2  2F1 
 F2  F3
Calculamos la inversa de A:  2 2 1 0 1 0 
0 0 1  2 1 0
  1 0 1 0 0 1  F3  F3  F1  0 1 2
1 0 1 




1 0 0
2  1  1
1 1 1
1 1 0 1 1 0
1 0 0



 F2  F2  2F3 



0
1
2
1
0
1
0
1
0

3
2
1
F

F

F
0
1
0

3 2 1  F3  F3 /(1)



 1
1
2
 0 0  1  2 1 0  F1  F1  F3  0 0  1  2 1 0 
0 0 1  2 1 0 






1
0
0
2

1

1
2

1

1








-1
0
1
0

3
2
1

A
=

3
2
1




 0 0 1 2 1 0 
 2 1 0 




 2  1  1  1   2 

   
Calculamos X: X = A .B =.   3 2 1   0     3   (x,y,z) = (2,-3,2)
 2 1 0   0  2 

   
-1