29/03/2008 - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

310. M de R
Primera Integral 1-7
Lapso 2008-1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁREA INGENIERÍA
MODELO DE RESPUESTA
ASIGNATURA: Optimización No Lineal
MOMENTO: Primera Integral
FECHA DE APLICACIÓN: 29/03/2007
MOD. I, UNID.1, OBJ. 1
CÓDIGO:
310
VERSIÓN:1
LAPSO 2008-1
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
1. Solución:
g1(x) =
g2(x) =
g3 (x) =
g4 (x) =
g5 (x) =
x1 + 1
1 - x1
x2 + x21
4 - x21 – x22
1 -2x1 – x2
B
A
D
C
Para x en el interior del área ABCD F(x) = R2 y hay regularidad en las
restricciones
Excluyendo los puntos A, B, C y D
i)Para x ∈ AB : f(x) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g4(x), d > ≥ 0 }
f(x) = {d ε ℜ / 2x1 d1 + 2x2 d2 <0}
El conjunto es abierto y hay regularidad de las restricciones
ii) Para x ∈ BC: f(x) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g5(x), d>≥o}
f(x) = {d ∈ ℜ 2 / 2d1 + d2 ≤ o}
el conjunto es cerrado y hay regularidad de las restricciones
iii) Para x ∈ DC f(x) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g3(x), d > ≥ 0 }
f(x) = {d ε ℜ / 2x1 d1 + d2 ≥ 0}
el conjunto es cerrado y hay regularidad de las restricciones.
Ingeniería de Sistemas
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Primera Integral 2-7
Lapso 2008-1
iv) Para x ∈ AD f(x) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g1(x), d > ≥ 0 }
f(x) = {d ε ℜ / d1 ≥ 0}
el conjunto es cerrado y hay regularidad de las restricciones.
Punto “A”
g4(x) = 4 – x21 – x22
g1(x) = x1 + 1
el punto “A” = (-1, 3 )
f(x) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g1(x), d > ≥ 0 }
f(x) = {d ε ℜ / < 2d1 - 2 3 > 0}
el conjunto no es ni cerrado ni abierto y hay regularidad de las
restricciones.
Punto “B”
G4(x) = 4 – x21 – x22
G5(x) = 1 - 2x1 + x2
⎛ 1 − 2 19 1 + 2 19 ⎞
⎟
;
El punto “B” = ⎜⎜
⎟
5
5
⎝
⎠
2
f(x) = {d ∈ ℜ / < ∇ g4(B), d > > 0; < ∇ g5(B), d > ≥ 0 }
f(x) = {d ε ℜ / (2- 19 )d 1 + (1 + 2 19 )d 2 < 0,2d 1 + d 2 ≤ 0} }
el conjunto no es ni cerrado ni abierto y hay regularidad de las
restricciones.
Punto “C”
g2(x) = 1 - x1
g3 (x) = x2 + x21
G5(x) = 1 - 2x1 + x2
El punto “C” = (1,-1)}
f(C) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g2(C), d > > 0; < ∇ g3(C), d > ≥ 0; < ∇ g5(C), d > ≥0 }
f(x) = {d ε ℜ / -d1≥0, 2d1 + d2 = 0}
tenemos regularidad de las restricciones en “C”
Punto “D”
g1(x) = x1 + 1
g3 (x) = x2 + x21
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Primera Integral 3-7
Lapso 2008-1
el punto D= (-1;-1)
f(D) = {d ∈ ℜ 2 / < ∇ g1(D), d > > 0; < ∇ g3(D), d > ≥ 0}
f(x) = {d ε ℜ / d1≥0, -2d1 + d2 = 0}
el conjunto es cerrado y hay regularidad de las restricciones en “D”
Criterio de corrección:
Procedimiento equivalente y resultados semejantes a los
presentados. Es necesario que el estudiante sea capaz de definir
correctamente las direcciones factibles. Se admiten errores aritméticos si
no provienen de fallas conceptuales.
MOD. I, UNID. 2, OBJ. 2
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
2. Solución:
Sea:
g1(x) = 4 – x21 - x22
g2(x) = 1 – x1 +x2
g3(x) = 1 – x1 – x22
B
A
C
D
X esta constituido por el arco de parábola de extremo A y B y el arco
de parábola comprendido entre C y D para poder utilizar las condiciones
de kuhn – Tucker tenemos que verificar si se cumple una condición de
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Primera Integral 4-7
Lapso 2008-1
regularidad de las restricciones en cada punto factible distinto de A, B, C
ó D sólo la restricción 3 es tensa y su gradiente no se anula, se verifica la
condición IV de regularidad de las restricciones. Esta misma condición se
verifica en los puntos A y B donde las restricciones 1 y 3 son tensas
como:
g1(x) = 4 – x21 - x22
⎛ − 2 x1 ⎞
⎟⎟
∇g 1 ( x ) = ⎜⎜
⎝ − 2x2 ⎠
g2(x) = 1 – x1 +x2
⎛ − 1⎞
∇g 2 ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ − 1⎠
⎛ −1 ⎞
⎟⎟
∇g 3 ( x ) = ⎜⎜
⎝ − 2x2 ⎠
g3(x) = 1 – x1 – x22
⎛ 2x ⎞
f ( x ) = x12 + x 2 λf ( x ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ 1 ⎠
Las abscisas son negativas estos dos vectores son linealmente
independientes tanto en A como en D. En los puntos B y C son tensas
las restricciones 2 y 3.
Como las ordenadas tanto de B como de C son diferentes de ½ estos
gradientes son linealmente independientes en el punto B y en C.
El problema es de la forma max f(x) sujeto a
x ∈ X = {x ∈ ℜ 2 / g 1 ( x ) ≥ 0; g 2 ( x ) ≥ 0; g 3 ( x ) = 0}
por consiguiente tenemos que hallar λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0; λ sin restriccionesdesigno y:
λ1 g1 ( x ) = 0; λ2 g 2 ( x ) = 0
(1)
⎧
x ∈ X /⎨
⎩∇f ( x ) + λ1∇g1 ( x ) + λ2∇g 2 ( x ) + λ3∇g 3 ( x ) = 0 (2)
Las ecuaciones (1) admiten cuatro soluciones:
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Primera Integral 5-7
Lapso 2008-1
i.- λ1 = λ2 = 0 en este caso las ecuaciones (2) se escriben
λ
⎛ −1 ⎞
⎛ 2 x1 ⎞
1
⎟⎟ = 0 Para λ3 ≠ 0 x1 = 3 ; x 2 =
⎜⎜
⎟⎟ + λ3 ⎜⎜
2
2λ3
⎝ 1 ⎠
⎝ − 2x2 ⎠
por otra parte como g 3 ( x ) = 0 se obtiene λ33 − 2λ23 + 0,5
Donde las raíces de esta ecuación son λ3 = 0,6; λ3 = 1,86; λ3 = −0,45
Si λ3 = 0,6 Entonces x1= 0,3; x2 = 0,83 como g2(0,3; 0,83) < 0
descartamos esta solución.
Si λ3 = 1,86 Entonces x1= 0,93; x2 = 0,26 como g2(0,93; 0,26) < 0
descartamos esta solución.
Si λ3 = −0,45 Entonces x1= -0,225; x2 = -1,11 como este punto es
factible y el valor correspondiente de la función objetivo es –1,06
ii.- λ1 = g 2 ( x ) = 0 las ecuaciones (2) se escriben como
⎛ −1 ⎞
⎛ − 1⎞
⎛ 2 x1 ⎞
⎟⎟ = 0
⎟⎟ + λ2 ⎜⎜ ⎟⎟ + λ3 ⎜⎜
⎜⎜
⎝ − 1⎠
⎝ 1 ⎠
⎝ − 2x2 ⎠
Como buscamos puntos factibles, también se verifica g 2 ( x ) = g 3 ( x ) = 0
Tienen por solución los puntos B = (0, 1) y C = (1, 0)
En B las ecuaciones (2) tienen por solución λ2 = −1; λ3 = 1 debemos
descartar esta solución por ser λ2 < 0
En C las ecuaciones (2) tienen por solución λ2 = 1; λ3 = 1 y el valor de la
función objetivo es 1.
iii) λ2 = g 1 ( x ) = 0 las ecuaciones en (2) se escriben
⎛ −1 ⎞
⎛ − 2 x1 ⎞
⎛ 2 x1 ⎞
⎟⎟ = 0
⎟⎟ + λ3 ⎜⎜
⎟⎟ + λ1 ⎜⎜
⎜⎜
⎝ 1 ⎠
⎝ − 2x2 ⎠
⎝ − 2x2 ⎠
Para buscar puntos factibles, se tiene g3(x)=0 y las condiciones
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Primera Integral 6-7
Lapso 2008-1
g1(x) = 0 = g3(x) determinan los puntos
⎛ 1 − 13
A=⎜
;
⎜ 2
⎝
1 + 13 ⎞⎟
2 ⎟
⎠
⎛ 1 − 13
1 + 13 ⎞⎟
D=⎜
; −
⎜ 2
2 ⎟
⎝
⎠
En el punto A las ecuaciones (2) tienen por solución:
λ1 = 0,814; λ3 = −0485 yf ( A) = 3,215
En el punto D las ecuaciones (2) tienen la solución:
λ1 = 0,63; λ3 = −0,96; f ( D ) = 0,18
iV.- g 1 ( x ) = g 2 ( x ) = 0 obtenemos
⎛ 1 − 17 1 + 17 ⎞
⎟
E = ⎜⎜
;
⎟
2
2
⎝
⎠
⎛ 1 + 17 1 − 17 ⎞
⎟
;
⎟
2
2
⎝
⎠
y F = ⎜⎜
3
2
3
2
que no son factibles ya que g 3 ( E ) = − ≠ 0 y g 3 ( F ) = − ≠ 0
En resumen la solución del problema es x = (− 1,303; 1,52 )
Criterio de corrección:
Procedimiento equivalente y resultados semejantes a los presentados.
Es necesario que el estudiante sea capaz de aplicar correctamente las
condiciones de Kuhn- Tucker. Se admiten errores aritméticos si no
provienen de fallas conceptuales.
Ingeniería de Sistemas
310. M de R
Primera Integral 7-7
Lapso 2008-1
MOD. II, UNID. 3, OBJ. 3
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
3. Solución:
Por definición, si xk es una sucesión de límite x , si existen C > 0 y p ∈ N
tales que:
Lim
n→∞
x n +1 − x
xn − x
=C
Entonces decimos que p es el orden de convergencia de la sucesión y C
es el factor de convergencia.
x = Lím
n →∞
n
= 1 y la expresión toma la forma.
n +1
n +1
n+2
n
−1
n +1
p
=
(n + 1) p
n+2
(n + 1) p no existe si p > 1.
n →∞
Pero Lím
Ahora bien si p = 1 Lím
n →∞
n+2
n +1
=1
n+2
Así, el factor de convergencia es C = 1 y el orden de convergencia es
p = 1 para la sucesión dada.
Criterio de corrección: Procedimientos equivalentes y resultados
idéntico al mostrado.
FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS
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