Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 1 Soluciones Para todos

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II
Tarea 1
Soluciones
Para todos estos problemas, una variable como x, y, etcétera denota un número real.
Problema 1: Para la desigualdad abajo, encuentre el conjunto de soluciones
para x y escríbalo como una combinación de intervalos y puntos.
1
1
+
> 0.
x x+1
Solución: Primero, ponemos todo sobre el denominador común, x · (x + 1),
y añadimos para obtener:
x
x+1
+
>0
x(x + 1) x(x + 1)
(x + 1) + x
>0
x(x + 1)
2x + 1
>0
x(x + 1)
Ahora tenemos una desigualdad de la forma
A
> 0,
B·C
tomando A = 2x + 1, B = x, y C = x + 1. Por las leyes de multiplicar signos, el
A
signo de B·C
será positivo si y sólo si o bien (i) todos A, B, y C son positivos,
o bien (ii) dos de A, B, C son negativos y el tercer es positivo.1
Ahora
1
A > 0 ⇔ 2x + 1 > 0 ⇔ x > − ,
2
B > 0 ⇔ x > 0,
y
C > 0 ⇔ x > −1.
Evidentemente los tres números A, B, y C son positivos si y sólo si x > 0.
1 Ningún de A, B, ni C puede ser igual a 0: si A = 0, entonces
entonces la expresión no está definida.
1
A
BC
= 0, y si B o C = 0,
Para x en (− 12 , 0), A y C son positivos pero B < 0; y
Para x en (−1, − 21 ), A y B son negativos mientras C es positivo; y
Para x < −1, los tres números A, B, y C son negativos.
A
En resumen, la expresión BC
es positivo si y sólo si o bien (i) x > 0, o bien
1
(ii) x está en (−1, − 2 ).
Conjunto de soluciones: (−1, − 21 ) ∪ (0, +∞).
Problema 2: Otra desigualdad para resolver, esta vez con un valor absoluto:
|x − 1| + |x + 1| ≤ 4.
Solución: Nótese que hay tres posibilidades:
Si x ≤ −1, entonces |x − 1| + |x + 1| = −(x − 1) − (x + 1) = −2x;
si −1 ≤ x ≤ 1, entonces |x − 1| + |x + 1| = −(x − 1) + (x + 1) = 2;
si 1 ≤ x, entonces |x − 1| + |x + 1| = 2x.
Con base en estos tres casos, no es difícil deducir que |x − 1| + |x + 1| ≤ 4 si
y sólamente si −2 ≤ x ≤ 2, y el conjunto de soluciones es el intervalo [−2, 2].
Problema 3: Demuestre que para todos números reales a y b,
2ab ≤ a2 + b2 .
Solución: Observe que para todo número z, siempre z 2 ≥ 0. Así que
(tomando “a − b” para z)
0 ≤ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
de lo cual sacamos la conclusión de que
2ab ≤ a2 + b2
(por añadir 2ab a ambos lados de la desigualdad).
Problema 4: Demuestre la Desigualdad Cauchy-Schwartz: para todos
números reales x1 , x2 , y1 , y y2 ,
q
q
x1 y1 ≤ x21 + x22 y12 + y22 .
Ayuda: Una manera es primero cuadrar cada lado (¿por qué se puede hacer
esto?) y luego aplicar el resultado del Problema 3.
2
Solución: Primero, notamos que
0 ≤ a2 + b2 + c2
para todos números a, b, y c, pues cada término es ≥ 0 (siendo el cuadrado
de otro número), y la suma de tres números mayores o iguales a 0 sigue siendo
mayor o igual a 0.
Aplicando esto a a = x1 y2 , b = x2 y1 , y c = x2 y2 , deducimos
0 ≤ (x1 y2 )2 + (x2 y1 )2 + (x2 y2 )2
y luego
0 ≤ x21 y22 + x22 y12 + x22 y22
x21 y12 ≤ x21 y12 + x21 y22 + x22 y12 + x22 y22
x21 y12 ≤ x21 + x22
y12 + y22 .
Ahora concluimos:
q
q
p
(x1 y1 )2 ≤ x21 + x22 y12 + y22
(¿por qué es válido sacar raíces cuadradas de ambos lados?), y nótese que el
lado izquierdo es igual a |x1 y1 |. Finalmente,
q
q
x1 y1 ≤ |x1 y1 | ≤ x21 + x22 y12 + y22 ,
y terminamos.
Problema 5: ¿Existe una función f : R → R (con dominio todo R) que es
simultaneamente par y impar? ¿Existe más de una función así? Explique.
Solución: Sí, la función constante con valor 0, es decir, f (x) = 0 para todo
x.
Ésta es la única función f : R → R que es par e impar a la vez: si fuera g
otra función con esa propiedad, entonces tendríamos que para todo número x
g(x) = g(−(−x)) = −g(−x) = −g(x),
donde la segunda igualdad es porque g es impar y la tercera igualdad es
porque g es par. Por lo tanto, el valor g(x) debe ser un número tal que g(x) =
−g(x), pero el único número así es 0. Este argumento se aplica a cada x, así
que g(x) = 0 para todo x.
3
Problema 6: Supongamos que f : R → R es una función impar, y sea
g = f ◦ f . ¿Es la función g par, impar, o ningún de los dos?
Solución: La función g siempre es impar. La razón es que para todo número
x,
g(−x) = f (f (−x)) = f (−f (x)) = −f (f (x)) = −g(x).
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