PARTE VERDADERO O FALSO. De las afirmaciones

PARTE VERDADERO O FALSO.
De las afirmaciones siguientes usted deber decir si cada una de las mismas es verdadera o falsa.
Respuesta correcta
= 2 puntos.
Respuesta incorrecta
= -2 puntos.
No responde
= 0 puntos.
1. Si dos matrices A y B tienen el mismo polinomio
caracterı́stico son semejantes.
9. Si A es una matriz ortogonal n × n entonces el sistema Ax = b es compatible ∀ b ∈ Rn .
0
2. Existen valores de α ∈ R tales que la matriz ( α
α 1)
tiene como una forma canónica de Jordan a ( 10 01 ).
10. Dada A ∈ Mn×n (R) simétrica consideramos la
forma cuadrática en Rn dada por xT Ax. La forma
cuadrática es definida positiva si det A > 0.
3. Sean V un espacio vectorial complejo con producto
interno y T : V → V . Si hT v, vi es real para todo
v ∈ V se cumple que T es diagonalizable.
4. No existe valor de α ∈ R para el cual la matriz
10 α 2−α −α 0 1
2+α 1 −1
11. Dada una base B = {v1 , . . . , vn }. Si para todo v ∈ V
se cumple
v = hv, v1 iv1 + . . . + hv, vn ivn
entonces B es ortonormal.
12. Existe S : V → V que cumple S 2 = S y tal que tiene
a 2 como valor propio.
es diagonalizable.
5. La forma canónica de la forma cuadrática x2 +2xy +
2xz es de la forma
x21 + x22 − x23 .
13. Existe una transformación autoadjunta T : V → V
tal que una forma canónica de Jordan de T es
1 0 0 11 0
.
0 0 1/2
6. La forma cuadrática 2z 2 + 2xy es definida positiva.
7. Dados V un espacio vectorial complejo con producto interno, B = {v1 , . . . , vn } una base ortogonal,
T : V → V tal que {T v1 , . . . , T vn } es una base ortogonal y ||T vi || = ||vi ||, i = 1, . . . , n. Se cumple
que T es diagonalizable.
14. Si existe una base B de un espacio vectorial real tal
que
0 1 0
B (T )B = 1 0 0
8. Dado un sistema incompatible Ax = b, A ∈
Mm×n (R) con m ≥ n donde C 1 , . . . , C n las columnas de A son n vectores ortonormales de Rm . Sean
h , i y || || los usuales de Rm ; se cumple que
15. En un espacio vectorial de dimensión finita V , para
cualquier transformación lineal T : V → W se
cumple que V = ker T ⊕ Im T ∗ .
1
1
n
n
min ||Ax − b|| = ||hC , biC + . . . + hC , biC − b||.
002
se cumple T es diagonalizable.
16. Si A es una matriz n × n que cumple A(A − Id) = Id
el cero no es valor propio de A.
x∈Rn
no .parcial
Apellido, Nombre
Firma
PARTE MULTIPLE OPCION
De los siguientes ejercicios con cuatro opciones solo una de las mismas es correcta.
Respuesta correcta
= 8 puntos.
Respuesta incorrecta = -3 puntos.
No responde
= 0 puntos.
(a) Nul(A) no es un subespacio para ninguna matriz simétrica.
1. Consideramos los siguientes datos
x
−5
2
3
y
0
1
2
(b) Nul(A) es subespacio si todos los valores propios de A tienen el mismo signo.
¿ cual es la recta que aproxima dichos datos por
mı́nimos cuadrados?
(a) 6x + 3.
(b)
(c)
(d)
(c) Nul(A) es subespacio solo si algún valor propio
de A es nulo y traza(A)6= 0.
(d) Nul(A) es
simétrica.
√x + 1 .
3
38
4x
19 + 1.
6x + √13 .
subespacio
para
toda
matriz
1 1 0 0
5. Dada la matriz
2. Dada la matriz A =
−50
20 10
20 78 −8
10 −8 2008
y un vector
b ∈ R3 consideramos la superficie cuádrica S dada
por xT Ax + bT x = 10.
(a) La ecuación reducida de S es del tipo
α1 x21 + α2 x22 + α3 x23 = 1
donde signo(α1 )=signo(α2 )=signo(α3 ).
(b) La ecuación reducida de S es del tipo
α1 x21 + α2 x22 + α3 x1 = 1
donde signo(α1 )=signo(α2 ).
(c) La ecuación reducida de S es del tipo
1100
0033
0033
dan de la misma es:
0 0 0 0
(a) 00 00 01 00
una forma canónica de Jor-
0 0 0 0
(b)
0003
0 0 0 0
(c)
1000
0020
0006
0000
0020
0006
1 0 0 0
(d)
0100
0030
0003
6. Dados V un espacio vectorial real con producto
interno, B = {v1 , v1 , v3 } una base ortonormal y
T : V → V definida por
T (av1 + bv2 + cv3 ) =
(a + 2b + αc)v1 + [(1 − α)a + αb]v2
+[αa + (1 + α)b + 3c]v3 ,
T es autoadjunto:
α1 x21 + α2 x22 + α3 x23 = 1
donde signo(α1 )=signo(α2 )6= signo(α3 ).
(d) La ecuación reducida de S es del tipo
α1 x21 + α2 x22 + α3 x3 = k
donde signo(α1 )6=signo(α2 ).
(a) Para todo valor real de α.
(b) Cuando α = −1.
(c) No existe valor de α tal que T sea autoadjunto.
(d) Cuando α = 2.
3. Sean {v1 , . . . , vn } un conjunto de vectores de Rn tal
Ejercicios de desarrollo
que hvi , vj i = 0 si i 6= j y hvi , vi i =
6 0, i = 1, . . . , n y
1. Sean B = {v1 , v2 , v3 } una base ortonormal de un esA la matriz que tiene como columnas a los vectores
pacio vectorial complejo V y T : V → V definida
vi . Consideramos la transformación T : Rn → Rn
por:
definida por T (x) = AT Ax.
Indique que opción es correcta.
T (αv1 +βv2 +γv3 ) = (iβ−γ)v1 +(β−α)v2 +((1−2i)α−γ)v3 .
(a) T es diagonalizable e inyectiva.
α
(b) T es diagonalizable y ker(T ) 6= {0}.
Si coordB (v) = βγ hallar coordB (T ∗ v).
(c) T no es inyectiva.
(d) T posee valores propios negativos.
4. Dada una matriz simétrica A ∈ Mn×n (R) defininos
el conjunto
Nul(A) = {x ∈ Rn / xT Ax = 0}
mirando x como vector columna.
2. Sea V un espacio vectorial sobre los reales con producto interno h , i y norma inducida || ||. Muestre,
justificando cada paso que
|h u, v i| ≤ ||u|| · ||v|| ∀ u, v ∈ V.