CONTROL 2 ALGEBRA LINEAL Profesores: Natacha Astromujoff

CONTROL 2 ALGEBRA LINEAL
Profesores: Natacha Astromujoff, Alejandro Maass,
Mauricio Telias
P1)
a) Considere
E = x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0 y x2 + 2x3 + 3x4 = 0
a.1) (1 pto.) Pruebe que E es un espacio vectorial de R4 , encuentre un
generador
a.2) (2 ptos.) Considere ahora F = {x ∈ R4 | x3 = 0}. Pruebe que F
es un espacio vectorial de R4 , encuentre un generador de F y de E ∩ F .
b) Sea V el espacio vectorial de las matrices
reales definido por


a


V = A ∈ M3×3 (R)|A = 0

0
de 3 × 3 con coeficientes

b c 
d e

0 f
(espacio de las matrices triangulares superiores). Se define
W = {A ∈ V | la suma de cada fila de A es cero}.
(1,5 ptos.) Pruebe que W es subespacio vectorial de V .
c) (1,5 ptos.) Sean V, U subespacios de un espacio vectorial E. Depuestre
que la union de los subespacios es un subespacio de E si y slo si U ⊆ V
oV ⊆U
P2) a) (2,0 ptos.) Sea P ∈ R3 un punto y L ⊆ R3 una recta de vector
posición A y vector director d con P 6∈ L. Pruebe que el punto Q,
simétrico de P con respecto a L está dado por
d
Q=2
hP − A, di + A − P
||d||2
1
2
CONTROL 2 ALGEBRA LINEAL
b) (4,0 ptos.) Considere las rectas
 
 
 
 
0
1
1
−1
L : x = 0 + λ 0 y L0 : x = 0 + µ  1 
1
0
0
0
Demuestre que el conjunto de puntos simétricos de cada punto de L0
con respecto a L es una recta y determine su ecuación vectorial o
paramétrica de dicha recta.
Tiempo: 2 horas 30 minutos