Algebra Lineal

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Gustavo Rodríguez Gómez
INAOE
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Espacios Vectoriales
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Contenido
1
Espacios Vectoriales
Terminología
De…niciones
Bases
Dimensión de un espacio vectorial
Sumas y sumas directas
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Terminología
El conjunto de números enteros positivos es denotado por
N = f1, 2, . . .g.
El conjunto de todos los enteros es denotado por Z.
El conjunto de números reales es denotado por R = ( ∞, ∞).
El conjunto de números complejos es denotado por C.
El conjunto de números racionales es denotado por Q.
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Campos
Sea K
C. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes
condiciones
1
Si x, y 2 K , entonces x + y y xy son también elementos de K .
2
Si x 2 K , entonces x es también elemento de K . Si además x 6= 0,
entonces x 1 es un elemento de K .
3
Los elementos 0 y 1 son elementos de K .
El conjunto de números reales R y el conjunto de números complejos
C y el conjunto de números racionales Q son campos.
El conjunto de todos los enteros Z no es un campo.
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Subcampos
Sean K , L campos y supongamos que K
subcampo de L.
L, diremos que K es un
Observemos que los campos que estamos considerando todos son
subcampos de C.
A los elementos de un campo K los llamaremos números o escalares.
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Espacios vectoriales
Un espacio vectorial V sobre un campo K (V /K )es un conjunto de
objetos que pueden ser sumados y multiplicados por elementos de K tal
que:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8u, v 2 V se cumple u + v 2 V y 8λ 2 K y 8u 2 V se cumple
λu 2 V .
8u, v , w 2 V se cumple (u + v ) + w = u + (v + w ).
Existe un elemento de V , denotado por 0, tal que 0 + u = u + 0
8u 2 V
Dado un elemento u 2 V , el elemento ( 1)u es tal que
u + ( 1)u = 0.
8u, v 2 V , se tiene u + v = v + u.
Si λ 2 K , entonces λ(u + v ) = λu + λv 8u, v 2 V .
Si α, β 2 K , entonces (α + β)v = αv + βv .
Si α, β 2 K , entonces (αβ)v = α( βv ) 8v 2 V .
8u 2 V , se cumple 1 u = u 1, 1 2 K .
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Subespacios vectoriales
De…nición
Sea V un espacio vectorial y W
vectorial de V si satisface
1
2
3
V . Diremos que W es un subespacio
Si v , w 2 W , entonces v + w 2 W .
Si v 2 W y λ 2 K , entonces λv 2 W .
El elemento 0 2 V es también un elemento de W .
Lema
Si W1 y W2 son subespacios de V entonces W1 \ W2 es también un
subespacio de V .
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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales
1
Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números reales.
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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales
1
2
Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números reales.
Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números complejos.
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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales
1
2
3
Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números reales.
Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números complejos.
Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números racionales.
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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales
1
2
3
4
Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números reales.
Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números complejos.
Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números racionales.
Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.
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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales
1
2
3
4
5
Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números reales.
Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números complejos.
Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de
números racionales.
Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.
Sea V = Rn y W = fv 2 Rn : v = (v1 , v2 , . . . , vn 1 , 0)g Rn ,
entonces W es un subespacio de Rn . Al subespacio W se le identi…ca
con Rn 1 .
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Generadores (span)
Ejemplo
Sea V un espacio vectorial arbitrario y v1 , v2 , . . . , vn 2 V . Sean
x1 , x2 , . . . , xn 2 K escalares. Una expresión del tipo de
x1 v1 + x2 v2 +
+ xn vn ,
es llamada combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vn . Sea W el conjunto de
todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vn . Entonces W es un
subespacio de V .
Observación
W = span fv1 , v2 , . . . , vn g =
(
n
∑ xi vi : vi 2 V ,
i =1
xi 2 K i = 1, 2, . . . , n
Al subespacio W se le llama el subespacio generado por v1 , v2 , . . . , vn .
Si W = V entonces decimos que v1 , v2 , . . . , vn genera V sobre K .
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)
Bases
De…nición
Sea V /K un espacio vectorial y v1 , v2 , . . . , vn 2 V . Diremos que
v1 , v2 , . . . , vn son linealmente dependiente sobre K si existen elementos
a1 , a2 , . . . , an 2 K no todos iguales a 0 tal que
a1 v1 + a2 v2 +
+ an vn = 0.
Si no existen tales elementos diremos que v1 , v2 , . . . , vn son linealmente
independiente sobre K .
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Bases
Lema
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y v1 , v2 , . . . , vn elementos
linealmente independientes de V . Entonces dos combinaciones de
v1 , v2 , . . . , vn son iguales.
De…nición
Una base de V sobre K es una sucesión de elementos fv1 , v2 , . . . , v g de V
que satisfacen
1
span(v1 , v2 , . . . , vn ) = V ,
2
fv1 , v2 , . . . , v g son linealmente independientes.
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Representación de los elementos de V
Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a
su base fv1 , v2 , . . . , vn g. Si v 2 V entonces se puede representar
como una combinación lineal
v = λ1 v1 + λ2 v2 +
+ λn vn
de los elementos de la base.
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Representación de los elementos de V
Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a
su base fv1 , v2 , . . . , vn g. Si v 2 V entonces se puede representar
como una combinación lineal
v = λ1 v1 + λ2 v2 +
+ λn vn
de los elementos de la base.
A (λ1 , λ2 , . . . , λn ) se le llaman las coordenadas de v respecto a la
base fv1 , v2 , . . . , vn g de V .
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Subconjunto máximo linealmente independiente
De…nición
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sea fv1 , v2 , . . . , vn g V y
r n, diremos que fv1 , v2 , . . . , vr g es un subconjunto máximo de
elementos linealmente independientes si v1 , v2 , . . . , vr son linealmente
independientes, y si dada cualquier vi con i > r , los elementos
v1 , v2 , . . . , vr , vi son linealmente dependientes.
Teorema
Sea V un espacio vectorial, fv1 , v2 , . . . , vn g V tal que
span(v1 , v2 , . . . , vn ) = V . Sea fv1 , v2 , . . . , vr g un subconjunto máximo de
elementos linealmente independientes. Entonces fv1 , v2 , . . . , vr g es una
base de V .
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Dimensión de un espacio vectorial
Nuestro objetivo es demostrar que cualesquiera dos bases de un espacio
vectorial tienen el mismo número de elementos. A partir de este resultado
se podrá de…nir la dimensión de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y fv1 , v2 , . . . , vm g una base
de V . Sea w1 , w2 , . . . , wn son elementos de V y n > m, entonces
w1 , w2 , . . . , wn son linealmente dependientes.
Teorema
Sea V un espacio vectorial con dos bases. Suponga que una base tiene n
elementos y la otra m elementos. Entonces m = n.
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Dimensión de un espacio vectorial
De…nición
Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos.
Diremos que n es la dimensión de V . Si V contiene únicamente el 0,
entonces V no tiene base y diremos que V tiene dimensión 0.
Ejemplos
El espacio vectorial Rn tiene dimensión n sobre R, el espacio vectorial Cn
tiene dimensión n sobre C. En general, para cualquier campo K , el espacio
vectorial K n tiene dimensión n sobre K .
De…nición
Un espacio vectorial con una base que consista de un número …nito de
elementos, o el espacio vectorial cero, es llamado espacio de dimensión
…nita.
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Dimensión de un espacio vectorial
Ejemplo
Sea K un campo. Entonces K es un espacio vectorial sobre si mismo y
tiene dimensión 1. Observe que el elemento 1 2 K forma una base de K .
De…nición
Sea fv1 , v2 , . . . , vn g
V elementos linealmente independientes, diremos
que forman un conjunto máximo de elementos linealmente independientes
de V , si dado cualquier elemento w 2 V , los elementos fv1 , v2 , . . . , vn , w g
son linealmente dependientes.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n y fv1 , v2 , . . . , vn g V un
conjunto linealmente independiente. Entonces fv1 , v2 , . . . , vn g constituye
una base de V .
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Dimensión de un espacio vectorial
Corolario
Sea V un espacio vectorial y W un subespacio. Si dim V = dim W ,
entonces V = W .
Teorema
Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. Sea
W un subespacio diferente el nulo. Entonces W tiene una base y la dim
W
n.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n y fv1 , v2 , . . . , vr g V
elementos que son linealmente independientes. Entonces existen
fvr +1 , vr +2 , . . . , vn g V tal que fv1 , v2 , . . . , vn g forman una base de V .
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Sumas y sumas directas
De…nición
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sean U, W subespacios de
V . De…nimos la suma de U y W como
U + W = fu + w : u 2 U, w 2 W g .
Además, U + W es un subespacio de V .
De…nición
Diremos que V es la suma directa, V = U W , si para cada elemento
v 2 V existen elementos únicos u 2 U y w 2 W tal que v = u + w .
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Sumas y sumas directas
Teorema
Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y U, W subespacios de V .
Si V = U + W , y si U \ V = f0g, entonces V es la suma directa de U y
W.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión …nita sobre un campo K . Sea W
un subespacio de V . Entonces existe un subespacio U de V tal que
V = U W.
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Sumas y sumas directas
Teorema
Si V es un subespacio vectorial de dimensión …nita sobre K , y es la suma
directa de los subespacios U, W entonces
dim V = dim U + dim W .
Ejemplo
Sea V = R 3 sobre el campo R. Considere W como el subespacio
generado por (1, 0, 0) y sea U el subespacio generado por (1, 1, 0) y
(0, 1, 1). Entonces V = U W .
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