Problema 17, paragrafo 3, capítulo IV. Linear Algebra. Serge Lang

Problema 17, paragrafo 3, capítulo IV. Linear Algebra. Serge Lang. Segunda
edición
Solución
(a)
El elemento cero es el par ~0U ; ~0W donde el primer cero es el cero del
espacio vectorial U y el segundo cero es el del espacio vectorial W:
Dado un par (~u; w)
~ 2 U W , el negativo es el par ( ~u; w)
~ que también
está en U W
Debemos demostrar ahora que el conjunto U W es cerrado bajo la suma.
Para ello tomamos dos elementos del conjunto (~u1 ; w
~ 1 ) y (~u2 ; w
~ 2 ) y los sumamos
con la regla de…nida (~u1 + ~u2 ; w
~1 + w
~ 2 ) Como tanto U como W son espacios vectoriales, es obvio que ~u1 + ~u2 2 U y w
~1 + w
~ 2 2 W , y , desde luego
(~u1 + ~u2 ; w
~1 + w
~ 2) 2 U W
Falta demostrar que el conjunto U W es cerrado bajo el producto por un
esclar. Para ello tomamos un elemento del conjunto (~u; w)
~ y un real r 2 R y
aplicamos la regla de multiplicación por un escalar r (~u; w)
~ Como tanto U como
W son espacios vectoriales, es obvio que r~u 2 U y rw
~ 2 W , y , desde luego
r (~u; w)
~ 2U W
(b) La dimensión de un espacio vectorial es igual al número de elementos
en una de sus bases. Tomemos un elemento
arbitrario (~u
~ 2 U W . Si
n
o; w)
^
f^
ei ; i = 1; 2; :::; ng es una base de U y fj ; j = 1; 2; :::; m es una base de W ,
tenemos
n
P
~u =
ui e^i
i=1
ya que ~u 2 U y f^
ei ; i = 1; 2; ::ng es una base de U .
Además,
m
P
w
~=
wi f^j
j=1
n
o
ya que w
~ 2 W y f^j ; j = 1; 2; ::m es una base de W .
n
o
Formamos ahora el conjunto de n+m vectores e^i ; ~0 ; ~0; f^j ; i = 1; 2; :::n; j = 1; 2; :::; m .Es
claro, que
n
m
P
P
(~u; w)
~ =
ui e^i ; ~0 +
wi ~0; f^j
i=1
j=1
para cualquier elemento de U W . Así que la dimensión es n + m.
(c)
V es un espacio vectorial
U es un subespacio vectorial
U V
¿Es el conjunto = f(~u; ~u) 2 V V j ~u 2 U g un subespacio?
i) Como U es un subespacio vectorial, contiene el ~0 y claramente la pareja
~0; ~0 está en U .
ii) Dado un elemento arbitrario en , digamos (~u; ~u), su negativo también
está en , ya que U es subespacio vectorial.
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iii) Dados dos elementos arbitrarios en , digamos (~u1 ; ~u1 ) y (~u2 ; ~u2 ), su
suma (~u1 ; ~u1 ) + (~u2 ; ~u2 ) también está en , ya que evidentemente ~u1 + ~u2 2 U
iv) Dado un elemento arbitrario en , digamos (~u; ~u), y un número real r,
su producto r (~u; ~u) también está en , ya que al ser U un subespacio vectorial
es cerrado bajo la multiplicación por un escalar y r~u 2 U:
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