Pr ctico 5

ÁLGEBRA Y ÁLGEBRA II
PRÁCTICO 5
Espacios con producto interno
1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son productos internos en R2 .
(a) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x
p1 y2 ,
(b) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 ,
(c) ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 .
2. Determinar cuáles de las siguientes son espacios con producto interno, con las funciones especificadas.
P
b) C[−1, 1] con (f, g) = f (0)g(0)
a) Cn , con (α, β) = ni=1 xi yi
Rb
n×n
t
c) R
con (A, B) = P
tr(AB ),
d) C[a, b] con (f, g) = a f (t)g(t)dt.
e) Rn×n con (A, B) = i,j (AB(i, j))
3. Sea V un espacio vectorial y ( , ) un producto interno sobre V .
(a) Demostrar que (0, α) = 0 para todo α de V .
(b) Demostrar que si (α, β) = 0 para todo β de V , entonces α = 0.
(c) Demostrar que α = β si y solo si (α, γ) = (β, γ), para todo γ en V .
4. (a) Sean α1 = (1, 2) y α2 = (3, 4). Sea ( , ) un producto interno en C2 tal que
(α1 , α1 ) = 1,
(α1 , α2 ) = 1 + 2i,
(α2 , α2 ) = 1/2.
Calcular (α, β), para α, β en C2 .
(b) Sea V un espacio vectorial con producto interno de dimensión n, y B = {α1 , . . . αn } base de V .
Probar que dados α, β en V , el valor (α, β), queda determinado a partir de los valores (αi , αj )
para todo i, j y mostrar que existe una matriz G n × n autoadjunta, tal que
 
y
¡
¢  .1 
(α, β) = x1 . . . xn G  ..  ,
yn
 
 
x1
y1
 .. 
 .. 
donde  .  = [α]B y  .  = [β]B .
xn
yn
5. Considerar R4 con el producto interno canónico. Sea W el subespacio de R4 generado por α1 =
(1, 0, −1, 1) y α2 = (2, 3, −1, 2) . Hallar una base de W ⊥ .
6. (a) Usando el procedimiento de Gram-Schmidt, construir la base ortonormal a partir de la base:
B = {α1 = (1, 1, 1), α2 = (0, 1, 0), α3 = (−1, −1, 1)} en R3 y respecto del producto escalar
canónico.
(b) Resolver el mismo problema para la base B = {1, x, x2 } de P 3 con el producto interno (f, g) =
R1
0 f (x)g(x) dx.
7. Sea V un espacio vectorial con producto interno de dimensión n. Sea v ∈ V un vector no nulo y
W = {w ∈ V : w es ortogonal a v}.
(a) Probar que W es un subespacio vectorial de V .
(b) Probar que dim W = n − 1.
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PRÁCTICO 5
8. Sea V el subespacio vectorial de todas las matrices n × n sobre R, con el producto interno (A, B) =
tr(AB t ). Hallar el complemento ortogonal del subespacio de matrices diagonales.
1. Rectas y planos
Si V un espacio vectorial, v ∈ V y W es un subespacio de dimensión k, llamaremos al conjunto
v + W una k-variedad lineal de V, (ver Ej .. Práctico..) Definimos entonces, una recta como una
1-variedad lineal de Rn y un plano como una 2-variedad lineal de Rn . Recordar que una k-variedad
lineal, v + W , es un subespacio si y solo si v ∈ W.
9. Si L ∈ R2 es una recta demostrar que
(a) existen v, w ∈ R2 tal que L = {α ∈ R2 : α = t.w + v, t ∈ R} (llamada ecuación vectorial o
paramétrica de la recta)
(b) existen v, n ∈ R2 tal que L = {α ∈ R2 : hα − v, ni = 0} (llamada ecuación normal dela recta. A
n se lo llama el vector normal)
(c) existen a, b ∈ R tal que L = {(x, y) ∈ R2 : y − ax − b = 0} (llamada ecuación implı́cita de la
recta.)
10. Si L ∈ R3 es una recta demostrar que
(a) existen v, w ∈ R3 tal que L = {α ∈ R3 : α = t.w + v, t ∈ R} (llamada ecuación vectorial de la
recta).
(b) ¿Que puede decir de las otras dos ecuaciones?
11. Si π ∈ R3 es un plano demostrar que
(a) existen v, u, w ∈ R3 tal que π = {α ∈ R3 : α = s.u + t.w + v, s, t ∈ R} (llamada ecuación
vectorial o paramétrica del plano)
(b) existen v, n ∈ R3 tal que π = {α ∈ R3 : hα − v, ni = 0} (llamada ecuación normal del plano. A
n se lo llama el vector normal)
(c) existen a, b, c, d ∈ R tal que π = {(x, y, z) ∈ R2 : a.x + b.y + c.z + d = 0} (llamada ecuación
implı́cita del plano.)
Definiciones: Dos rectas en R2 , L1 y L2 , se dicen paralelas si sus vectores normales satisfacen
n1 = c.n2 para algún c ∈ R. Se dicen ortogonales si sus vectores normales satisfacen hn1 , n2 i = 0.
Analogamente, dos planos en R3 , P1 y P2 , se dicen paralelos si sus vectores normales satisfacen
n1 = c.n2 para algún c ∈ R y se dicen ortogonales si sus vectores normales satisfacen hn1 , n2 i = 0.
12. Describir paramétricamente e implı́citamente las siguientes rectas.
R1 : recta que pasa por (2, 0) y es ortogonal a (1, 3).
R2 : recta que pasa por (−3, 0, 2) y es paralela al vector (0, 3, −2).
y−3
z+1
R3 = {(x, y, z) : x+2
2 = 1/2 = −3 }.
13. Describir paramétricamente e implı́citamente los siguientes planos. En todos los planos escribir la
ecuación implı́cita y la ecuación normal.
π1 : el plano que pasa por (0, 1, 6), (1, −1, 3), (2, −2, 2).
π2 : el plano que pasa por (1, 2, −2) y es perpendicular a la recta que pasa por (2, 1, −1), (3, −2, 1).
π3 = {X : X = s(1, 2, 0) + t(2, 0, 1) + (1, 0, 0); s, t ∈ R}.