Relaciones y Ecuaciones

Módulo M4 - Serie 3, 2009
Fac. de Ingeniera - Univ.Nac. de Misiones
Trabajo Práctico n◦ 2
Cónicas - Relaciones y Ecuaciones
ing. Jorge Omar Morel
En este práctico trabajamos sobre la obtención de las ecuaciones de las
cónicas a partir de las relaciones de distancia y nuestra elección de los
sistemas de referencia, ası́ como sobre el gráfico del lugar geométrico de
estas figuras planas en algún plano del espacio tridimensional.
1. Establece dos formas diferentes de definir los siguientes lugares geométricos, a partir de
relaciones o razones de distanciay las restricciones.Muéstralas gráficamente en bosquejos
adecuados.
a) La elipse.
b) La hipérbola.
c) La circunferencia.
2. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos . . .
a) . . . cuya suma de cuadrados de distancias a dos rectas normales entre sı́ es constante.
b) . . . que equidistan de dos rectas simétricas respecto de su bisectriz
3. Sean los lugares geométricos cuya ecuación se da, a : 16x2 + 25y 2 + 208x + 150y =
−801 ; z = 2 , b : z 2 − y 2 = −5 ; x = 0 y c : z 2 + 16z + 6x = −73 ; y = 2,. . .
a) Clasifı́calos y grafı́calos
b) Describe claramente sus puntos notables: focos, vértices, centros de simetrı́a;
por ejemplo: F (−8, −3, 2)
c) Escribe la ecuación de al menos uno de sus ejes de simetrı́a –ejes focales–.
4. Escribe las ecuaciones de dos cilindros de radio r y altura h. Uno parado sobre su base y
el otro acostado a una distancia –entre ejes de simetrı́a– de m = 4r del anterior.
5. Halla la ecuación del LG de los puntos que equidistan 5 unidades de un centro, sabiendo
que pasa por tres puntos no alineados. Ayuda: eres libre de pensar que los tres puntos dados son
también equidistantes entre sı́.
6. Halla la ecuación del lugar geométrico de
a) Los vértices de ángulo recto de un triángulo cuya hipotenusa se conoce y permanece
inmóvil. En un ángulo recto, el producto de las pendientes es −1
b) Los puntos cuyo producto de pendientes es una constante k > 0
c) Los puntos cuyo producto de pendientes es una constante 0 > k − 1 6= −1
7. Respecto del ejercicio 3, verifica que ese par de puntos fijos puede estar en el lugar
geométrico, y definen una recta que pasa por el centro de simetrı́a de la cónica.
8. Halla la ecuación del LG de los puntos
a) cuya suma de distancias al cuadrado a dos puntos fijos es constante.
b) cuya relación de distancia a dos puntos fijos es constante (pero no igual a 1).
c) tales que el cuadrado de la distancia a un punto fijo es k veces la distancia a una
recta fija.