Práctica: Cónicas

Práctica: Cónicas
1. Clasifica las siguientes cónicas. Hay una elipse, una circumferencia una parábola, una hipérbola y
otra ecuación que no es la una cónica
(x − 1)2 − 3y = 0
(x − 1)2 + 3(y + 6)2 + 14 = 0
5x2 + 3y 2 + 10x − 12y − 14 = 0
5x2 + 5y 2 + 10x + 20y + 18 = 0
−5x2 + 5y 2 − 18 = 0
2. Determina la posición relativa de la recta 4x + 3y − 15 = 0 con respecto a la circunferencia
x2 + y 2 − 25 = 0. Si se cortaran en algún punto, halla sus coordenadas.
3. Dada la circumferencia de la ecuación (x − 3)2 + (y + 1)2 = 9, determina el valor de α para los
que la recta y = α es no incidente, tangente o secante a la circumferencia.
4. Dada la circumferencia de ecuación 3x2 + 3y 2 + 6x − 12y + 6 = 0
a) Determina su centro y su radio.
b) Calcula la ecuación de la circumferencia de radio 7 concéntrica a la anterior.
5. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en P = (3, −1) que es tangente a la recta
x − y + 5 = 0.
6. Considera el lugar geométrico de los puntos P = (x, y) del plano tales que su distancia a Q =
(−2, 4) sea igual a mayor que 3. ¿De qué figura se trata?
7. Determina la ecuación de la circumferencia que pasa por P = (−3, 2), Q = (4, 5), R(−2, 5).
1
8. Halla el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los
puntos A = (−5, 0) y B = (5, 0) es 250. Identifica la figura resultante.
9. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano tales que su distancia al punto
A = (2, 0) es el triple de su distancia a la recta x = 4. Identifica la figura resultante.
10. Halla el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia a A = (0, −1) es el doble de su
distancia a B = (0, 2). Identifica la figura resultante.
11. Hallar la ecuación en forma canónica de una elipse
a) Cuyo eje mayor es 12 y un vértice del eje menor es B = (0, 5).
b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor mide 10.
c) Cuya excentricidad es e = 3/5 y el eje menor mide 16.
d ) Dada por la expresión x2 + 4y 2 − 2x + 2y − 11 = 0.
12. Determina los elementos caracterı́sticos de las siguientes cónicas, descrı́belas y represéntalas gráficamente:
a)
y2
x2
−
= 1.
4
9
b) 3x2 − 4y 2 − 48 = 0
c) −2x2 + 3y 2 − 24 = 0
SOLUCIONES
1.
parábola
No es conica
elipse
circumferencia
hipérbola
2


 4x + 3y − 15 = 0
proporciona las soluciones (0, 5), (24/5, −7/5). Es decir,

 x2 + y 2 − 25 = 0
la recta y la circumferencia son secantes y s cortan en dichos puntos.
2. Resolver el sistema
3. No incidente α > 2, α < −4. Tangente α = −4, 2. Secante −4 < α < 2.
4. (x + 1)2 + (y − 2)2 − 9 = 0
5. El radio de la circumferencia debe ser la distancia de P a r, que puedes calcular como dist(P,r)=
9
81
|3−(−1)+5|
√
=0
= √ . De ahı́ (x − 3)2 + (y + 1)2 −
12 +(−1)2
2
2
6. De todo el plano excepto el cı́rculo (borde incluido) delimitado por la circumferencia (x + 2)2 +
(y − 4)2 = 3



(−3 − a)2 + (2 − b)2 = r2



tiene
7. Necesitamos conocer su centro (a, b) y su radio r. El sistema
(4 − a)2 + (5 − b)2 = r2





(−22 − a)2 + (5 − b)2 = r2
√
por solución a = 1, b = 7/3 y r = 145/3
8. Es la circumferencia x2 + y 2 = 102
9. Es la hipérbola 8x2 − y 2 − 32x + 140 = 0
10. Es la circumferencia x2 + (y + 2)2 = 4
11.
a)
x2
y2
+
=1
36 25
b) De entre todas las posibles, elegimos la que está centrada en el origen.
12.
x2
y2
+
=1
169 25
c) De entre todas las posibles, elegimos la que está centrada en el origen. Hay que tener en
c
x2
y2
cuenta que e = y a2 = b2 + c2 . La ecuación es
+
=1
a
100
8
(x − 1)2
(y + 1/4)2
d)
+
=1
41/4
41/16
√
√
√
√
a) a = 2, b = 3 por lo que c = 4 + 9 = 13. Los focos están en (− 13, 0) y ( 13, 0), los
3
vértices en (−2, 0), (2, 0) y las ası́ntotas son y = ± .
2
3
x2
y2
−
= 1. De ahı́ tenemos que c = 6 y que los focos están en
16
12
3
(−6, 0) y (6, 0) y los vértices en (−4, 0), (4, 0). Las ası́ntotas son y = ± .
4
√
−x2 y 2
c) La ecuación canónica es
+
= 1. De ahı́ tenemos que c = 2 5 y que los focos están en
12
8
√
√
√
√
√
2
(0, −2 5) y (0, 2 5). Los vértices están en (0, −2 2) y (0, 2 2) y las ası́ntotas son y = ± √ .
3
Las gráficas son, respectivamente
b) La ecuación canónica es
4