Introducción a las ecuaciones Diferenciales

Introducción a las ecuaciones Diferenciales
(2016)
¿A dónde vamos? - El ejemplo del péndulo
Este es un complemento a los prácticos 1, 2 y 3, y proundiza lo discutido en clase.
Los problemas sirven para motivar varios temas que van a considerarse más adelante
en el curso. El repartido no tiene fecha de entrega.
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Consideremos un péndulo de longitud l. Asumimos que la varilla que une el centro y
el cuerpo es rı́gida y de masa despreciable. El ángulo que forma la varilla con la vertical
es θ. El movimiento del cuerpo está dado entonces por una función θ(t). Note que θ(t)
b
θ
ω
Figure 1
podrı́a tomar cualquier valor, no solo uno entre −π y π. Eso se interpreta del siguiente
modo: si en determinado tiempo el ángulo es θ1 y un tiempo después es θ1 +2π, entonces
el cuerpo dió una vuelta y volvió al mismo lugar; si un tiempo después el ángulo es en
vez θ1 + 4π entonces dió dos vueltas y ası́ sucesivamente. Este tipo de movimiento se
da cuando el cuerpo tiene una velocidad angular inicial grande (ver debajo).
Los siguientes ejercicios analizan el movimiento del péndulo desde varios puntos de
vista y con cierta profundidad.
1. Usando las leyes de Newton deduzca que la ecuación de movimiento del cuerpo es
la ecuación diferencial de segundo orden,
g
θ̈ = − sin θ
l
(0.1)
El movimiento del péndulo se determina entonces dando la posición inicial θ(0) =
θ0 y la velocidad angular inicial θ̇(0) = θ̇0 .
2. Dé algún argumento (si puede hacer una prueba hágala) que muestre el hecho
intuitivo de que la solución θ(t) debe estár definida para todo tiempo t (esto es
similar al problema 3c del P3).
3. Si θ̇0 = 0 el cuerpo va a pendular eternamente entre los ángulos θ0 y −θ0 con
perı́odo T . Debajo, en 3a y 3b, asumimos esas condiciones iniciales y denotemos por θl (t) el movimiento donde agregamos el subı́ndice l para resaltar que el
movimiento depende también de la longitud del péndulo l.
1
(a) ¿Cual es la relación (ecuación) entre θl (t) y θl0 (t)? (Use el teorema de existencia y unicidad de soluciones).
(b) ¿Cuál es relación (ecuación) entre Tl y Tl0 ? (Use 3a).
4. (a) Manipulando la ecuación de movimiento demuestre que
g
θ̇2 − 2 cos θ = E
l
(0.2)
donde E es una constante que puede interpretarse como la energı́a. Cada
nivel de energa corresponde entonces a un movimiento diferente.
(b) Si denotamos por ω a la velocidad angular θ̇ entonces tenemos que
g
ω 2 − 2 cos θ = E.
l
(0.3)
Las curvas t → (θ(t), ω(t)) describirán por tanto los niveles de energı́a (o
curvas de nivel) de la función E(θ, ω) = ω 2 − (2g/l) cos θ. La figura 2 muestra
dichas curvas. Se distinguen tres clases de curvas según el tipo de lı́nea y
ω
b
b
bbb
b
θ
(0, 0)
(0, π)
Figure 2: Los niveles de energı́a.
hay además marcados dos puntos (0, 0) y (π, 0) que corresponden a configuraciones de equilibrio.
i. ¿Podrı́a describir el movimiento del cuerpo en cada una de dichas clases?
ii. ¿Puede decir cual configuración de equilibrio es estable y cual inestable?
(c) La ecuación de movimiento (0.1) es equivalente al sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden
θ̇ = ω,
(0.4)
g
ω̇ = − sin θ
l
(0.5)
d
~
(θ, ω) = X(θ,
ω)
dt
(0.6)
que podemos reescribir como
~ es el campo vectorial X(θ,
~
donde X
ω) = ω~i − (g/l) sin θ~j. Bosqueje en la
~ con su dirección y magnitud siendo cuidadoso en los
figura (2) el campo X
puntos de equilibrio.
5. Volvamos al movimiento pendular estudiado en el problema 3 anterior. En este
caso θ(t) oscila eternamente entre −θ0 y θ0 . Si el ángulo inicial θ0 es pequeño
2
entonces también lo será θ(t) y la ecuación de movimiento (0.1) es aproximada
por
g
θ̈ = − θ
(0.7)
l
(usar sin θ ≈ θ) que es la ecuación de un movimiento armónico simple.
(a) Si usamos dicha proximación, ¿cuál es el perı́odo de oscilación? Verificar que
dicho perı́odo no depende del ángulo inicial θ0 .
(b) Si el perı́odo (aproximado) es 2 seg, ¿cuánto mide l? (deberı́a ser cercano a
1 metro, lo que no es una coincidencia).
Cuando el ángulo inicial no es pequeño la aproximación anterior no es posible.
Usando (0.2) muestre que, sin aproximaciones, la fórmula para el perı́odo de oscilación es
s Z
√
l θ0
dθ̄
p
T =2 2
(0.8)
g 0
cos θ̄ − cos θ0
Esta fórmula puede reescribirse como (ver Tenenbaum pg. 333),
s Z
dφ
l π/2
p
T =4
g 0
1 − k 2 sin2 φ
(0.9)
donde k = sin θ0 /2.
(c) Usando esta fórmula, ¿es el perı́odo exacto mayor o menor al que fue estimado
en 5a?,
(d) Si el ángulo inicial θ0 es cercano a π, es el perı́odo grande o pequeño? ¿Tiene
esto sentido?
(e) Mostrar que la expresión (0.9) posee la expansión a orden dos en k (por
ayuda ver Tenenbaum pg. 333)
s l
k2
T ≈ 2π
1+
g
4
(0.10)
Usando esta fórmula y si θ0 = 4◦ , ¿por qué factor debe corregirse el perı́odo
estimado en 5a?
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