Examen Parcial - Universidad Autónoma de Madrid

Univ. Autónoma de Madrid
Teorı́a Macroeconómica III - LECO
Prof. Marcel Jansen
1er. Semestre 10/11
Examen Parcial
Fecha de entrega: Miércoles 15 de diciembre de 2010
Instrucciones: Está permitido el trabajo en grupos de máximo 3 personas. Cada grupo entrega
una solución con los nombres y el NIU de todos los alumnos del grupo en la primerá página.
El examen parcial sólo puntua para aquellos alumnos que entregan al menos 4 prácticas en las
fechas previstas. Las respuestas deben ser exhaustivas y concisas. El bonus es igual al número
de puntos divididos por 100 y se añade a la nota del examen final.
1. (50 puntos) Considere el modelo de generaciones solapadas con gobierno. Los agentes
viven durante dos periodos y sólo trabajan en el primer perı́odo de su vida. En cada
perı́odo t ≥ 1 nacen N jóvenes con las siguientes preferencias:
U (cy,t , co,t+1 , ly,t ) = ln(cy,t ) + ln(1 − ly,t ) + βln(co,t+1 ).
Las restricciones presupuestarias de los agentes están dadas por:
cy,t + st+1 = (1 − τa )(wt ly,t − τb )
co,t+1 = (1 + rt+1 − δ)st+1
donde τa y τb son impuestos, cy,t y co,t+1 son los niveles de consumo de la generación t y
ly,t es su oferta laboral y δ es la tasa de depreciación. El gobierno compra bienes por el
valor de Gt y mantiene el equilibrio presupuestario en todos los periodos, es decir
Gt = N (τb + τa (wt ly,t − τb ))∀t ≥ 1.
Note que el gasto público no aparece en la función de utilidad de los agentes. Finalmente,
existe una empresa representativa que produce el único bien final y que maximiza sus
beneficios:
Π = At (Ktf )α (Lft )1−α − wt Lft − rt Ktf
Todos los mercados son competivos.
a. Resuelve el problema de los agentes y describe los efectos de τa y τb sobre el consumo,
el ahorro y la oferta laboral de los jóvenes. Explique sus respuestas. (10 puntos)
b. Define el equilibrio para valores arbitrarios de {At , τa , τb }∞
t=1 . (10 puntos)
c. Halle el equilibrio estacionario para esta economı́a si At = 1 y τa = τb = 0 en todos
los periodos. Explique intuitivamente porque el stock de capital converge a un valor
estacionario. (10 puntos)
Suponga que la economı́a se encuentra en estado estacionario durante muchos periodos
cuando el valor de At baja por sorpresa de todos a un valor de 0.90 en el perı́odo T . En
el siguiente perı́odo At vuelve a su valor habitual de 1.
1
d. Explique porque YT y KT +1 son exactamente 10% más bajos que en el perı́odo anterior. ¿Cuál es el valor de la inversión IT si δ, la tasa de depreciación, es igual a 0.10?
(10 puntos)
e. Suponga que el gobierno aumenta el valor de GT al principo del perı́odo T despues de
observar la caı́da en AT pero antes de que los agentes tomen sus decisiones. Describe
los efectos de esta polı́tica sobre YT y KT +1 suponiendo que el gobierno financia el
gasto público con un impuesto proporcional τa > 0 sobre la renta de los jóvenes
(τb = 0). ¿Cómo cambiarı́an sus resultados si el gobierno fuera capaz de imponer un
impuesto (de cuantı́a fija) sobre los viejos en el perı́odo T ? (10 puntos)
2. (50 puntos) Considere un modelo de generaciones solapadas básico. Los agentes viven
durante dos perı́odos: jóvenes y viejos. No hay crecimiento de la población. Cada perı́odo
nacen N agentes jóvenes, por lo que la economı́a está habitada por N jóvenes y N viejos en
cada perı́odo. Los jóvenes dedican todo su tiempo a trabajar. Los mayores están jubilados.
Las restricciones presupuestarias son
cy,t + st+1 = wt ,
para los agentes jóvenes y
co,t+1 = (1 + rt+1 − δ)st+1 ,
para los mayores. Suponga que la tasa de depreciación, δ = 1, de manera que
co,t+1 = rt+1 st+1 .
Aquı́ cy,t se refiere al consumo de los jóvenes de la generación t y co,t+1 al consumo de los
mayores de la misma generación en el perı́odo t + 1, st+1 es el ahorro de los jóvenes en el
perı́odo t, wt es el salario en el perı́odo t y rt+1 < 1 es precio de alquiler del capital en
t + 1.
Los agentes maximizan su utilidad a lo largo de su vida. Su función de utilidad es
u(cyt , cot+1 ) =
c1−σ
c1−σ
yt
+ ot+1 .
1−σ 1−σ
Finalmente, existe una empresa representativa que contrata capital y trabajo para resolver
max {rKtf + At Lft − wt Lft − rt Ktf }.
Lft ,Ktf
Todos los mercados son competitivos, por lo que
rt+1 = rt = r y wt = At
a. Resuelve el problema de maximización de los jóvenes y encuentre las soluciones de
cy,t , st+1 y co,t+1 en términos de At , r y σ. Muestre claramente todos sus pasos. (10
puntos)
b. Calcule la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo
∂
=
co,t+1
cy,t
∂r
2
r
co,t+1
cy,t
.
Explique como cambia la relación entre el ahorro y r en función del valor de σ. ¿Qué
valor tiene ∂st+1 /∂r cuando σ = 1? ¿Como depende el ahorro de la tasa de interés
para valores de σ distintos de 1? (10 puntos)
c. Define el equilibrio para una secuencia determinada de la productividad de trabajo,
{At }∞
t=1 . (10 puntos)
d. Suponga que el valor de At ha sido 1 durante muchos perı́odos. En el perı́odo t = T
se produce un shock transitorio que resulta en un valor de AT = 2. En el siguiente
perı́odo, At vuelve a su valor habitual de 1. Halle las expresiones para Yt , It , Kt , Ct
en términos de r y σ para los perı́odos T, T + 1 y T + 2. Compare los casos en que
σ = 0.5 y σ = 2 con r = 0.5. (10 puntos)
e. Explique porque noy hay propagación más alla del perı́odo T + 1. Pista: ¿Cuál es la
relación entre wT +1 y AT o Kt+1 ? (10 puntos)
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