Auxiliar 4 - U

Clase Auxiliar No 4 - IN41B
Prof.: J.Atal - G.Cisternas
Auxs.: J.Vásquez - D.Vega
1. Suponga una economı́a cerrada de dos perı́odos. En el primer perı́odo el individuo recibe y
unidades de un bien perecible, y en el segundo perı́odo éste crece a una tasa γ, es decir recibe
(1 + γ)y.
Su función de utilidad está dada por:
U (c1 , c2 ) = log(c1 − c) +
1
log(c2 − c)
1+δ
(1)
donde c corresponde al consumo de subsistencia.
a) Resuelva el problema del consumidor y encuentre la tasa de interés real de equilibrio.
b) ¿Cómo afecta a r un aumento en γ ?, ¿y en c ? Justifique.
c) Suponga que el consumo de subsistencia es igual a cero. Compare la tasa de interés con
la tasa de crecimiento de la economı́a. De una intuición para su resultado.
d ) Suponga que la economı́a se abre y enfrenta una tasa de interés internacional de r∗ , menor
que la de autarquı́a. ¿Qué pasa con la cuenta corriente en el perı́odo 1 y el consumo en
ambos perı́odos? Compare la trayectoria de la economı́a abierta con la de autarquı́a.
2. Impuestos Flexibles. Numerosos personeros han propuesto en el último tiempo, producto de
la crisis que afecta a Chile, usar los impuestos para frenar y estimular el gasto. Esto significa
subir los impuestos en perı́odos de expansión, con el fin de reducir el ingreso y de esa manera
el gasto, y aumentar los impuestos en perı́odos de recesión. Pero en valor presente esta polı́tica
no cambia la carga tributaria. A pesar de todos los problemas polı́ticos y administrativos que
implica una situación ası́ en este problema analizaremos si ésta polı́tica tiene algún efecto sobre
el suavizamiento del gasto del sector privado y después veremos quienes son las personas que
más incurren en pérdidas con la polı́tica de los impuestos flexibles.
Supondremos que los individuos viven por dos perı́odos. La función de utilidad de los individuos
de esta economı́a viene dada por:
U (c1 , c2 ) = log(c1 ) +
1
log(c2 )
1+δ
donde c1 y c2 representa el consumo del individuo en el perı́odo 1 y 2 respectivamente, mientras
que δ es el factor de descuento.
Los individuos trabajan en cada perı́odo recibiendo un salario y1 en el primer perı́odo e y2 en
el segundo, supondremos que y2 = y1 (1 + g), donde g es la tasa a la cual crece el salario del
individuo. Cada individuo puede prestar y pedir prestado a la tasa de interés dada r. Para
simplificar el análisis suponga que r = δ.
En esta economı́a existe un gobierno que recauda impuestos para financiar su gasto. La trayectoria del gasto es G1 = G2 = G en cada uno de los perı́odos y esto es sabido por los
individuos.
1
a) Suponga que el gobierno es responsable y por lo tanto recauda los impuesto de tal manera
de mantener un presupuesto equilibrado, es decir G = T1 y G = T2 . Calcule el consumo
y el ahorro del individuo en el primer y en el segundo perı́odo. (no use los impuestos en
la expresión final)
b) Las autoridades económicas de esta economı́a desean reducir el consumo en el primer
perı́odo y aumentarlo en el segundo, para ello proponen recaudar todos los impuestos
en el primer perı́odo. Como usted sabrá la restricción presupuestaria intertemporal del
gobierno es
G2
T2
G1 +
= T1 +
.
1+r
1+r
Calcule los impuestos en el primer perı́odo, el consumo y el ahorro del individuo en ambos
perı́odos. Calcule el ahorro del gobierno y el ahorro de la economı́a.
c) Compare los consumos calculados en la parte (a) y (b) y a partir de ello discuta si los
impuestos flexiblees son efectivos en suavizar el gasto del sector privado. comente.
Hay quienes plantean sin embargo que si los individuos enfrentan algún tipo de restricciones de crédito entonces el resultado obtenido en las partes anteriores no se cumple. En
lo que sigue veremos si esta afirmación es cierta.
Suponga que la crédito de liquidez del individuo es tal que su ahorro en el primer perı́odo
no puede ser negativo.
d ) Vuelva a resolver la parte (a).
e) Vuelva a resolver la parte (b).
f ) Un destacado economista ha señalado que si esta polı́tica funciona será a costa de quienes
enfrentan mayores dificultades. Comente.[Hint: Compare la evolución del consumo de los
individuos sin y con restricción de crédito.]
3. (Propuesto) Considere una economı́a habitada por un individuo único que vive por dos
perı́odos. En esta economı́a no hay producción y el individuo recibe una cantidad de bienes
perecibles y1 e y2 en los perı́odos 1 y 2 respectivamente. El individuo maximiza la siguiente
función de utilidad de consumo en cada perı́odo:1
U (c1 , c2 ) = log(c1 ) + βlog(c2 )
(2)
La tasa de crecimiento de la disponibilidad de bienes es γ, esto es y2 = (1 + γ)y1 .
Hay un gobierno que gasta sólo durante el perı́odo 1 una cantidad G de bienes, donde G es
una fracción θ de la dotación de bienes en 1, esto es: G = θy1 . Para financiar este gasto, el
gobierno se endeuda, y para pagar la deuda cobra impuestos en 2.
a) Asuma que la economı́a es cerrada. Plantee y resuelva el problema del consumi-dor (encuentre c1 y c2 como función de la tasa de interés r). Luego, usando las condiciones de
equilibrio (incluida la restricción presupuestaria del gobierno), encuentre la tasa de interés
de equilibrio. ¿Cómo se compara con la tasa de crecimiento de la economı́a?
b) ¿Cuál es el efecto de un aumento en el gasto de gobierno (θ) sobre la tasa de interés?
¿Cuál es el efecto de un aumento de la tasa de crecimiento (γ) sobre la tasa de interés?
Dé una clara intuición a sus resultados.
1β
= 1/(1 + δ)
2
c) Suponga ahora que la economı́a se abre al comercio de bienes y servicios con el exterior y
enfrenta una tasa de interés internacional igual a r. Encuentre los valores de c1 y c2 como
función de la tasa de interés. Luego, encuentre la expresión para el saldo de la cuenta
corriente en el perı́odo 1. ¿Para qué valores de r habrá un déficit en la cuenta corriente?
d ) ¿Cuál es el efecto de un aumento en el gasto de gobierno (θ) sobre el saldo en la cuenta
corriente en el perı́odo 1? ¿Cuál es el efecto de un aumento en la tasa de crecimiento sobre
el saldo en la cuenta corriente en el perı́odo 1? De una clara intuición a sus resultados.
e) Suponga ahora que en valor presente el gasto de gobierno es el mismo, pero se ejecuta el
segundo perı́odo (esto se sabe desde el dı́a cero). Calcule la tasa de interés de equilibrio
en la economı́a cerrada en este caso y compárela con su respuesta en (a).
En el caso de la economı́a abierta calcule c1 , c2 y el saldo de la cuenta corriente en el
perı́odo 1 y compare con su respuesta en (c). ¿Qué puede concluir sobre los efectos del
timing de los gastos fiscales en economı́as abiertas y cerradas?
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Pauta Auxiliar 4
1.
a) Como la economı́a está cerrada, y el bien es percible, el individuo en cada perı́odo consumirá c1 = Y1 , c2 = Y2 .
Tenemos que encontrar la tasa de interés que logra lo anterior.
La reestricción presupuestaria (RP) del individuo es:
c1 +
c2
y(1 + γ)
=y+
1+r
1+r
Las condiciones de primer orden nos dicen:
1
c1 − c
1
(1 + δ)c2 − c
= λ
=
λ
1+r
(3)
(4)
Dividiendo (3) con (4) llegamos a que:
c2 − c
1+r
=
c1 − c
1+δ
(5)
Despejando r de (5) obtenemos rA :
rA = (1 +
γy
)(1 + δ) − 1
y−c
drA
A
b) Tenemos que calcular dr
dγ , y dc .
Derivando (5) con respecto a γ, obtenemos que:
drA
y
= (1 + δ)(
)
dγ
y−c
Como c ≤ y ⇒
drA
dy
≥0
Si aumenta el crecimiento del ingreso, entonces el individuo tendrá incentivos a gastar
más (endeudarse) en el primer perı́odo, por ende la tasa de interés se ajusta con una
subida.
Derivando (5) con respecto a c, obtenemos que:
drA
γy
= (1 + δ)
dc
(y − c)2
⇒
drA
dc
≥0
Si aumenta el consumo de subsistencia, entonces el individuo tendrá que disponer de más
recursos para sobrevivir, por ende la tasa de interés se ajusta con un aumento.
4
c) c = 0
⇒ rA = (1 + δ)(1 + γ) − 1
⇒
(1 + rA )
= cte
(1 + γ)
De la ecuación de Euler, obtenemos que c2 = c1 (1 + γ), es decir, el consumo crece en la
misma proporción que el ingreso.
↑ γ ⇒↓ r
, y vice-versa.
d ) La economı́a se abre con r∗ ≤ rA , por ende la reestricción presupuestaria se hace “más
plana”, lo que va a implicar que el individuo se endeude en el primer perı́odo, teniendo un
deficit de cuenta corriente, para luego pagar en el segundo perı́odo con una disminución
de consumo, obteniendo un superavit de cuenta corriente.
En resumen, aumenta c1 , y disminuye c2 . En este caso (demuestrenlo!) el individuo aumenta su bienestar, pues tiene más flexibilidad para escoger su plan óptimo de consumo
(se resuelve un problema de optimización con menos reestricciones).
2.
a) El Lagrangeano del problema es:
máx L = log(c1 ) +
{c1 ,c2 }
·
¸
1
c2
(y2 − T2 )
log(c2 ) + λ c1 +
− (y1 − T1 ) −
1+δ
1+r
1+r
done las condiciones de primer orden son respecto a c1 y c2 son:
1
c1
=
−λ
1
c2 (1 + δ)
=
−
λ
1+r
dividiendo ambas ecuaciones obtenemos:
c2
1+r
=
=1
c1
1+δ
Para lo que sigue usaremos β = 1/(1 + δ). Por lo tanto de la restricción presupuestaria
se obtiene:
·
µ
¶¸
1
y1 (2 + r + g)
T2
c2 = c1 =
− T1 +
1+β
1+r
1+r
·
µ
¶¸
1
y1 (2 + r + g)
G
=
− G+
1+β
1+r
1+r
Podemos reordenar las expresiones anteriores notando que
1+r
1
=
1+β
2+r
5
Por lo tanto se tiene que:
c2 = c1 =
1
[y1 (2 + r + g) − (G(1 + r) + G)]
2+r
El ahorro del individuo en ambos perı́odos es:
y1 g
2+r
(1 + r)gy1
2+r
s1 = y1 − T1 − c1
= −
s2 = y2 − T2 − c2
=
b) Si ahora los impuestos se recaudan durante el primer perı́odo se tiene que:
T = T1 +
T2
1+r
pues en valor presente el gobierno gasta lo mismo.
En ese caso la restricción presupuestaria es:
c1 +
c2
y2
(y2 − T2 )
= y1 − T +
= y1 − T1 +
1+r
1+r
1+r
que es la misma restricción presupuestaria de la parte anterior, es decir el consumo del
individuo sigue siendo el mismo. Sólo cambia su ahorro:
s1 = y1 − T − c1
=
s2 = y2 − c2
=
y1 g(1 + r) + G(1 + r) + G
(1 + r)(2 + r)
y1 g(1 + r) + G(1 + r) + G
(2 + r)
−
El ahorro de la economı́a es:
S 1 = G − T + s1
=
S2 = −G + s2
=
y1 g
2+r
y1 g(1 + r)
2+r
−
que es el mismo de la parte anterior.
c) La afirmación es verdadera siempre y cuando el individuo sepa cuál es valor presente de
la recaudación de impuestos.
d ) Como el individuo enfrenta ahora una restricción de liquidez su ahorro en el primer
perı́odo va ser cero, es decir se cumple que:
s1 = y1 − T1 − c1 = 0
a partir de esta ecuación despejamos el nivel de consumo el cuál es:
c1 = y1 − G
En el segundo perı́odo el individuo se consume todo. Por lo tanto su consumo es igual a
su ingreso después de impuestos es decir:
c2 = y1 (1 + g) − G
Por lo tanto el ahorro de la economı́a en ambos perı́odos es cero.
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e) Si ahora los todos impuestos se recaudan en el primer perı́odo se tiene nuevamente que
el ahorro de ese perı́odo es cero, pues recuerden que el individuo desea endeudarse pero
no puede porque enfrenta restricciones de liquidez.
s1 = y1 − T − c1
de donde despejamos el consumo:
c1 = y1 − G −
G
1+r
En el segundo perı́odo el individuo se consume todo. Por lo tanto su consumo es igual a
su ingreso, pues ahora no hay impuestos, es decir:
c2 = y1 (1 + g)
f ) Los individuos que no enfrentan restricciones de crédito tienen una trayectoria de consumo
más suave (deberı́an demostrarlo) que los individuos que enfrentan restrcciones de crédito.
Por lo tanto los individuos que enfrentan restricciones de crédito son los más afectado por
ésta polı́tica.
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