Fundamentos matemáticos para el estudio del medio ambiente

Universidad
de Murcia
Fundamentos Matemáticos para el
Estudio del Medio Ambiente.
Dpto. de Matemáticas
Examen Final. Fecha: 12/07/2005.
Primer Parcial (Problemas para el Examen Final: problemas 2 y 4).
1.
Escribe la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto (1, 1) y que tienen pendiente m. Es
claro que cuando la pendiente verifica m < 0 entonces estas rectas cortan a los ejes coordenados en dos
puntos de la forma (x, 0) y (0, y) de modo que x, y > 0 y determinan un triángulo junto con el origen
(0, 0). Encuentra el área de este triángulo utilizando la fórmula elemental de la base y la altura. ¿Para
qué valor de la pendiente m el valor del área es mı́nimo?
2.
Representa gráficamente la función
f (x) =
x3
.
+1
x2
3.
Encuentra el área determinada por las parábolas y 2 − 4x = 0 y x2 − 4y = 0.
4.
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
x2 y 0 + 2xy = ex cos x.
Segundo Parcial (Problemas para el Examen Final: problemas 1 y 4).
1.
Discute y resuelve – cuando sea posible – el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro
a,

 ay + z = a − 1
−ax + (a + 1)y = a

ax − y + (2a − 1)z = 2a + 1
2.
Sea A la matriz dada por
µ
¶
q+2
q+1
−1
0
Determina si la matriz A es diagonalizable o no en función del parámetro q. ¿Es diagonalizable para
q = 1? En caso afirmativo, encuentra una matriz de paso P y una matriz diagonal D de forma que
A = P DP −1 .
Nota: no es necesario calcular la inversa de P .
A=
3.
En un determinado sistema, dos variables x e y evolucionan de acuerdo con las ecuaciones
½
xn+1 = 3xn + 2yn
yn+1 = −xn
Si las condiciones iniciales son x0 = 2 y y0 = −1, encuentra una expresión general para xn e yn .
Nota: Puedes hacerlo como estimes oportuno.
4.
Sea r1 la recta dada las ecuaciones
x = 1 + 2t,
y = 1 − t,
z=t
y r2 la recta dada por
x = t,
y = 0,
z = 4 − t.
¿Determinan ambas rectas un plano? En caso afirmativo, justifica tu respuesta y encuentra la ecuación
general de éste.
VALORACIÓN: Todos los problemas valen 2’5 puntos.