Semana 3 - Universidad de Chile

Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 07-1
Semana 3
Guı́a Problemas
La presente guı́a le permitirá tener una idea bastante precisa del tipo de problemas que debe ser
capaz de resolver en una evaluación y el tiempo promedio que deberı́a demorar en resolverlos. En
total deberı́a poder resolverla en 3 horas. Le recomendamos que trabaje en ella una hora antes de la
clase de trabajo dirigido, que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique
una hora a escribir con detalles las soluciones.
Antes de comenzar, considere las siguientes definiciones preliminares, que necesitará para resolver
los problemas.
Preliminar 1: Se dice que dos rectas L y L′ son perpendiculares si sus pendientes satisfacen que
mL · mL′ = −1. En el caso de segmentos, se considera la recta que contiene al segmento.
Preliminar 2: La ecuación de la recta tangente por un punto P = (α, β) a una circunferencia de
ecuación x2 + y 2 = r2 es: xα + yβ = r2 . P se llama punto de tangencia .
P1. (15 min.) Dado el punto P de coordenadas (a, b) y la recta L de ecuación y = mx, determinar
la ecuación de la recta que pasa por P y tal que el trazo que determinado por la intersección
de ella con los ejes, queda dimidiado por L.
P2. (15 min.) Un triángulo ABC isósceles (AC = BC) y rectángulo en C, varı́a de tal manera que
su vértice A permanece fijo en el origen del sistema de coordenadas y su vértice B se mueve
sobre la recta de ecuación x = a. Determinar la ecuación del lugar geométrico que recorre el
punto C y reconocer la figura que describe.
P3. (15 min.) Dados el punto P = (a, b) y la recta L : y = mx, se trazan P H perpendicular a OX
y P K perpendicular a L. Si D es el punto medio de OP y M es el punto medio de HK probar
que DM es perpendicular a HK y DK = DH.
P4. (15 min.) Dos rectas variables L1 y L2 que pasan, respectivamente por dos puntos fijos A y B
se cortan perpendicularmente en el punto P . Determinar el lugar geométrico de P .
P5. (30 min.) Sean L1 : x + 2y + 4 = 0, L2 : x − y − 1 = 0, y L3 : −x + 3y − 3 = 0, tres rectas que
definen el triángulo ABC. Determinar:
a) Perı́metro del triángulo ABC.
b) Area del triángulo ABC.
c) La ecuación de la circunferencia circunscrita.
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Semana 3 Guı́a Problemas
P6. (30 min.) Se consideran tres puntos O, A, B situados sobre un recta y se contruyen dos semicircunferencias de diámetros OA y OB, respectivamente. Desde el punto medio M del trazo
AB se levanta la perpendicular, cortando a la circunferencia mayor en R y luego se traza la
tangente M P a la circunferencia menor, siendo P el punto de tangencia. Demuestre que O, P
y R se encuentran sobre una misma recta.
P7. (30 min.) La base de un triángulo está fija, siendo sus vértices A = (0, 0), B = (b, 0). El vértice
C está sobre la recta y = c, b > 0 y c > 0. Determinar el lugar geométrico correspondiente a la
intersección de las tres alturas.
P8. (30 min.) Considere la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = 1. Una recta variable L que pasa
por el origen, intersecta a la circunferencia en los puntos Q y S. Determinar, analı́ticamente, el
lugar geométrico de la intersección de las tangentes a la circunferencia por los puntos P y Q.
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