UNIVERSIDAD DE ATACAMA Gu´ıa de Espacios Vectoriales

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Guı́a de Espacios Vectoriales: ALGEBRA II
Profesores: Salim Elal, David Elal y Gonzalo Astorga
Primer año Plan Común de Ingenierı́a
Segundo Semestre 2009
1. Para n ≥ 0 el conjunto Pn de polinomios de grado menor que n consiste en todos los
polinomios de la forma p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ....... + an−1 tn−1 donde los coeficientes
a0 , a1 , a2 , ......., an−1 y la variable t son números reales. El grado de p(t) es la mayor
potencia de t con coeficiente distinto de cero. Si p(t) = a0 6= 0 el grado de p(t) es
cero. Si todos los coeficientes son cero, entoneces el grado de p(t) es el polinomio cero.
El polinimio cero esta incluido en Pn aun cuando su grado, por razones técnicas, no
esté definido.
Sean
p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ....... + an−1 tn−1 y q(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + ....... + bn−1 tn−1
y definamos la suma p + q como:
(p + q)(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + (a2 + b2 )t2 + ....... + (an−1 + bn−1 )tn−1
y definamos el producto α · p como:
(α · p) = p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + (αa2 )t2 + ....... + (αan−1 )tn−1
con las definiciones de suma y producto, antes definidas, pruebe que (Pn , +, ·) es un
espacio vectorial
2. Sea
S=
a
a+b
a+b
b
/ a ∈ R, y b ∈ R
Pruebe que S es un subespacio vectorial de M2x2
3. Pruebe que toda recta en el plano que pasa por el origen es un subespacio vectorial
de R2
4. Pruebe que toda recta en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial
de R3
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5. Pruebe que todo plano en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial
de R3
6. Sea S = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}. ¿Es S un subespacio vectorial de R2 ?
7. Sea

s + 3t



s−t
W = 
 2s − t



4t





 / s ∈ R, y t ∈ R





¿Es W un subespacio vectorial de M4x1 ?
8. Sea W el conjunto de todos los polinomios de la forma p(t) = at donde a ∈ R. ¿Es W
un subespacio de Pn ?
9. Sea W el conjunto de todos los polinomios de la forma p(t) = a + t2 donde a ∈ R. ¿Es
W un subespacio de Pn ?
10. Sean u = (1, 0, −1); v = (2, 1, 3); w = (4, 2, 6); p = (3, 1, 2) y q = (8, 4, 7)
a) ¿Está el vector p en el espacio generado por u, v y w?
b) ¿Está el vector q en el espacio generado por u, v y w?
c) ¿El conjunto {u, v, w} es li o ld?
11. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son li o ld
a) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2), (3, 1, 4, 1)}
b) {p(t) = 1 + t, q(t) = t2 + t3 , r(t) = −2 − 2t + 3t2 + 3t3 }
c) {p(t) = 3 + t − t2 , q(t) = 2 − 3t + 2t2 , r(t) = 1 + t + t2 }
1 2
−2 4
3 −1
d) A =
3 0
1 0
2 0
−1 3 2
1 0 0
0 6 4
e) B =
0 0 0
2 3 1
4 6 2
12. Sea (V, +, ·) un espacio vectorial
a) Sea A = {u, v, w} ⊂ V . Si A es li pruebe que B = {u, v} es li
b) Si 0 es el vector nulo de V (elemento nuetro de (V, +)). Pruebe que B = {0} es
ld
c) Sea C = {u, v, w} ⊂ V un conjunto ld. Si se define el conjunto D = {p, q, r} donde
p = u + v, q = u + w y r = v + w. ¿Es D li o ld?
13. Sabemos que (FR (R), +, ·) es un espacio vectorial, donde FR (R) = {f /f : R → R}
Si W = {f ∈ FR (R)/f (−x) = −f (x)}. ¿Es W un subespacio vectorial de FR (R)?
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14. Considerando el espacio vectorial (FR (R), +, ·). Determine si los siguientes subconjuntos de FR (R) son li o ld
a) A = {et , e2t }
b) B = {cos t, sin t, et }
c) C = {t, et , sin t}
15. Determine si los siguientes conjuntos forman una base para R3
a) A = {(5, 0, 0), (0, 2, 0), (3, 3, 3)}
b) B = {(1, 2, −1), (0, 3, 1)}
c) C = {(1, 5, −6), (2, 1, 8), (3, −1, 4), (2, 1, 1)}
16. Halle una base y la dimensión del subespacio W de R5 generado por:
{(1, 2, 0, 4, 1), (0, 1, 2, 0, 1), (−1, 0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 1)}
Además extienda la base base de W a una base de R5
17. Halle una base y la dimensión del Subespacio Vectorial de R5 determinado por el
conjunto de todas las soluciones del sistema:
x + 2y − 2z + 2u − t = 0
x + 2y − z + 3u − 2t = 0
2x + 4y − 7z + u + t = 0
18. ¿Para qué valor(es) de x el conjunto B es una base para R3 ?, donde:
B = {(1 + x, 1, 1), (1, 1 + x, 1), (1, 1, 1 + x)}
19. Sea:
W = {(1, 1, 1), (1/2, 0, 3), (1, 2, −4)}
a) ¿Es W una base para R3 ?
b) Sea v = (2, 1, −3). ¿Pertenece v al espacio generado por W ?
20. Sea W = {(a, b, c) ∈ R3 / 3a + 2b − c = 0}.
a) Pruebe que W es un subespacio vectorial de R3
b) Encuentre una base y la dimensión de W
21. Sea:
M=
a b
c d
/ d=a+b+c
a) Pruebe que M es un subespacio vectorial de M2x2
b) Encuentre una base y la dimensión de M
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