bajar - Docencia DIM-UChile

FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Álgebra Lineal 08-2
Ejercicios
1. Averigue si el conjunto de polinomios {1 + x3 , 1 − x3 , x − x3 , x + x3 }
constituye una base de F = {p ∈ P( ) | gr(p) < 4}. Donde P( ) el es
espacio de los polinomios a coeficientes reales.
R
R
R
2. Sea W es subespacio vectorial de 4 generado por el conjunto
      
2 
1
1



      
−1
1
  ,   , 3 .
1  1  2





3
−1
1
(a) Determine una base de W y su dimensión.
(b) Extienda la base encontrada antes a una base de
R.
4
3. Se desea probar el siguiente resultado:
Supongamos que V = U + W , entonces dim V = dim U + dim W −
dim U ∩ W .
Para ello:
Considere U ∩ W como subespacio de U y W . Si se toma {z1 , ..., zk }
base de U ∩ W , se puede extender a
BU = {z1 , ..., zk , u1 , ..., ul } base de U y
BW = {z1 , ..., zk , w1 , ..., wp } base de W.
Se probará que B = {z1 , ..., zk , u1 , ..., ul , w1 , ..., wp } es base de V .
(a) Pruebe que B genera a V . Es decir, tome v ∈ V y pruebe que es
combinación lineal de los vectores de B. Use que V = U + W .
(b) Para probar que B es l.i., tome una combinación lineal de B igual
a cero:
0 = α1 z1 + ... + αk zk + γ1 u1 + ... + γl ul + β1 w1 + ... + βp wp
de donde
−(β1 w1 + ... + βp wp ) = α1 z1 + ... + αk zk + γ1 u1 + ... + γl ul . (3.2)
Pruebe que existen λ1 , . . . , λk ∈
K tales que
−(β1 w1 + ... + βp wp ) = λ1 z1 + ... + λk zk .
(c) Demuestre que β1 = · · · = βp = λ1 = · · · = λk = 0.
(d) Reemplace lo anterior en 3.2 y use que BU es base para probar que
α1 = · · · = αk = γ1 = · · · = γl = 0.
(e) Concluya que B es l.i. y por ende base de V .
(f ) Concluya el resultado buscado.
95
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Guı́a
Semana 7
Ingenierı́a Matemática
Teorema 3.7
P1. Considere los conjuntos W y U

a
W = {M ∈ M33 ( ) | M =  b
0
definidos por:

b 0
e c ∧ a+e+i = 0, a, b, c, e, i ∈
c i


0 r s
U = {M ∈ M33 ( ) | M = r 0 0 , r, s ∈ }.
s 0 0
R
R
R}.
R
R
(a) Demuestre que W y U son subespacios vectoriales de M33 ( ).
(b) Encuentre bases y dimensiones para los subespacios U, W, U ∩ W
y U + W , y decida (justificando) si la suma U + W es directa.
¿Cuántos vectores es preciso agregar a una base de U +W para obtener una base de S = {M ∈ M33 (R) | M simétrica}? Justifique
encontrando una base de S.
R
P2. Sea m = 2n con n > 0 y considere el conjunto Pm ( ) de los polinomios
reales de grado menor o igual a m. Si cada p ∈ Pm ( ) se escribe
p(x) = a0 + a1 x + · · · + am xm , se define el conjunto
R
R
V = {p ∈ Pm ( ) | ∀i ∈ {0, . . . , m}, ai = am−i .}
(a)
(b)
(c)
(d)
R
Probar que V es subespacio vectorial de Pm ( ) sobre los reales.
Encontrar una base de V y deducir que su dimensión es n + 1.
Probar que Pm ( ) = V ⊕ Pn−1 ( ).
Se define
R
′
V = {p(x) =
m
X
R
R
ai xi ∈ Pm ( ) | ∀i ∈ {0, . . . , m}, ai = −am−i }.
i=0
R
R
Probar que Pm ( ) = V ⊕ V ′ (asuma que V ′ es un subespacio
vectorial de Pm ( )).
R
P3. Si A ∈ Mnn ( ) y V es un subespacio vectorial de
R
n
, se define:
A(V ) = {Ax | x ∈ V }.
R
R
R
(a) (1) Pruebe que si A ∈ Mnn ( ) y V es s.e.v. de n entonces
A(V ) también es s.e.v. de n .
(2) Sean V, W s.e.v. de n tales que V ⊕ W = n . Pruebe que
si A ∈ Mnn ( ) es invertible entonces A(V ) ⊕ A(W ) = n .
(3) Sean V, W s.e.v. de n tales que V ⊕ W = n . Pruebe que
si A(V ) ⊕ A(W ) = n , entonces A es invertible.
Indicación: Pruebe que para todo z ∈ n el sistema Ax = z
tiene solución.
(b) (1) Sea W un s.e.v. de n y definamos E = {A ∈ Mnn ( ) | A( n ) ⊂
W }. Muestre que E es un s.e.v. de Mnn ( ).
(2) Sea W = {(t, t) | t ∈ }. Calcule la dimensión de E = {A ∈
M22 ( ) | A( 2 ) ⊂ W }.
R
R
R
R
R
R
R
R
96
R
R
R
R
R
R
R
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Problemas