Auxiliar 3 - U

Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
MA1102-1 Álgebra Lineal
Profesor: Alejandro Maass
Auxiliar: Felipe Salas.
Auxiliar 3
1. Considere el sistema Ax = b donde


−α 2
0
1
 α −3 2 −1

A=
 α −2 −1 1  ,
α −2 −4 β


1
 −2 

b=
 −1 
α+β+2
siendo x = (x1 x2 x3 x4 )t el vector incógnita.
Determine las condiciones sobre α y β para que el sistema:
No exista solución
Exista solución única
Existan infinitas soluciones
2. Sea A ∈ Mnn , demuestre que AX = XA ∀X ∈ Mnn ⇔ A = λIn , con λ ∈ R
3. Sea A a matriz de coeficientes reales definida por


1 1 1
A=a b c
a2 b2 c2
Demuestre que si la ecuación Ax = 0 tiene solución única, entonces (a 6= b) ∧ (a 6= c) ∧ (b 6= c).
4. Sea B ∈ Mnn (R) invertible y tal que satisface B 3 = 0.
Para cada λ ∈ R se define M (λ) ∈ Mnn (R) por
M (λ) = I + λB +
λ2 2
B
2
a) Pruebe que
∀λ, µ ∈ R,
M (λ + µ) = M (λ)M (µ)
y deduzca que M (µ)M (λ) = M (λ)M (µ)
b) Pruebe que M (λ) es invertible y que M (λ)−1 = M (−λ)
5. Sea A ∈ Mnn invertible tal que satisface la condición
A(A2 + 3A + I) = 0
Pruebe que A−1 = −A − 3I
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