PARTE VERDADERO O FALSO. De las afirmaciones

PARTE VERDADERO O FALSO.
De las afirmaciones siguientes usted deber decir si cada una de las mismas es verdadera o falsa.
Respuesta correcta
= 2 puntos.
Respuesta incorrecta
= -2 puntos.
No responde
= 0 puntos.
1. Las matrices
³
1
2
−1
0
1
1
2
4
−2
´
³
y
1
0
0
1
1
0
1
1
−2
´
son semejantes.
2. Sean V un espacio vectorial real, dim V = n y
T : V → V una transformación lineal. Entonces
T es diagonalizable solo si tiene n valores propios
distintos.
3. Sean V un espacio vectorial real, dim V = n y T :
V → V una transformación lineal con dim ImT =
n − 2. Entonces se cumple que el polinomio caracterı́stico de T se puede escribir como pT (λ) = λq(λ)
donde el grado de q es n − 1.
4. Si A y B son matrices semejantes entonces la matriz
A + B es semejante a A y B.
5. Dada T : V → V una transformación lineal en un
espacio vectorial con producto interno si existe v 6= 0
tal que T v = 0, entonces T no es ortogonal.
6. Sean V un espacio vectorial con producto interno,
B = {v1 , . . . , vn }, base ortonormal de V y C =
{w1 , . . . , wn } base de V . La única transformación
lineal T : V → V que cumple que T vi = wi ,
∀i = 1, . . . , n es ortogonal .
7. Dada T : V → V donde λ 6= µ son valores propios
de T . Si
Sλ = {v ∈ V / T v = λv}
Sµ = {v ∈ V / T v = µv}
cumplen que V = Sλ ⊕ Sµ , entonces T es diagonalizable.
8. En un espacio vectorial real de dimensión finita con
producto interno h , i consideramos una transformación lineal T : V → R. Existe wT ∈ V tal que
T (v) = hv, wT i ∀v ∈ V .
9. Sea V un espacio vectorial real con producto interno.
El conjunto W = {T : V → V /T es ortogonal} es un
subespacio vectorial del espacio de todas las transformaciones lineales de V en V .
10. Si B = {v1 , v2 , v3 } es una base ortonormal de V y
T : V → V es una transformación lineal con
³ 0 −1 2 ´
−1
1
0
B (T )B =
2
0
1
entonces T = T ∗ .
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. En W = {A ∈ M3×3 (R)/ AT = −A} consideramos la transformación lineal T : W → W definida por:

 

0
a b
0
a + c −2a + 2b + 2c
0 c =
−a − c
0
−2a + 4c  .
T  −a
−b −c 0
2a − 2b − 2c 2a − 4c
0
µ
¶
0
1 0
0 1
Calcule T −1
. Encuentre los valores propios y halle el subespacio propio asociado al valor de mayor
0
−1
0
multiplicidad algebraica. A partir de lo pedido anteriormente, explique en detalle si es posible concluir que T es
diagonalizable.15 puntos
2. Dada una matriz A ∈ Mn×n (C) muestre que los valores propios λ de A cumplen


n 
[
X 
λ∈
z ∈ C/ |z − aii | ≤
aik .


i=1
k6=i
Explique porque no basta el resultado anterior para mostrar que la matriz


−1008 200 −40

20 300
50 
100 233 1888
es diagonalizable. 10 puntos
PARTE MULTIPLE OPCION
De los siguientes ejercicios con cuatro opciones solo una de las mismas es correcta.
Respuesta correcta
= 11 puntos.
Respuesta incorrecta = -4 puntos.
No responde
= 0 puntos.
(a) α1 y12 + α2 y22 + α3 y32 con signo(α1 α2 α3 ) = 1.
1. Dado α ∈ R consideramos la matriz
µ
¶
1 14 α
Aα =
.
α+2
2
(b) α1 y12 + α2 y22 + α3 y32 con signo(α1 α2 α3 ) = −1.
(c) α1 y12 + α2 y22 + α3 y32 con (α1 α2 α3 ) = 0.
¿ Para que valores de α la matriz Aα es diagonalizable?
(a) Para todo α ∈ R.
4. En P3 el espacio vectorial de los polinomios de grado
menor o igual a 3 con coeficientes reales, consideramos el producto interno
(b) Sólo si α = −8/5.
(c) Para todo α 6= −1.
(d) Ninguna de las otras opciones.
2. Sea B = {v1 , v2 , v3 } es una base ortonormal de un
espacio vectorial complejo V y T : V → V definida
por
T (αv1 + βv2 + γv3 ) =
³α´
Si coordB (v) =
µ
(a)
µ
(b)
µ
(c)
µ
(d)
β
γ
−α−2iβ
α+(1+2i)γ
−iα+β
−α+2iβ
α+(1−2i)γ
iα+β
−α+β+iγ
2iα+γ
(1−2i)β
−α+β−iγ
−2iα+γ
(1+2i)β
(d) Los datos no son suficientes para garantizar
la existencia del cambio ortogonal de coordenadas.
(iγ + β − α)v1
+(2iα + γ)v2 + (1 − 2i)βv3 .
, cuales son las coordB (T ∗ v):
¶
hα3 x3 + α2 x2 + α1 x + α0 , β3 x3 + β2 x2 + β1 x + β0 i
= α3 β3 + α2 β2 + α1 β1 + α0 β0 .
Sea S el subespacio generado por x3 + x2 y x2 + x.
Entonces el subespacio S ⊥ es:
(a) {ax3 − ax2 + (a + b)x + b/ a, b ∈ R}.
(b) {(a + b)x3 − ax2 + ax + b/ a, b ∈ R}.
(c) {ax3 − ax2 + ax + b/ a, b ∈ R}.
.
(d) {ax3 − ax2 + bx + b/ a, b ∈ R}.
¶
5. Considere la secuencia de pares de datos obtenidos
en un experimento (wi , zi ) ∈ R2 . Se desea minimizar
( por mı́nimos cuadrados) el error que se comete
al aproximar la relación entre ellos por la curva
z = a2 w2 + a1 w + a0³. Sean
´ B la matriz cuyas filas
a2
2
son (wi , wi , 1), A = aa1 y Z el vector columna for0
mado con los números zi . Entonces la mejor elección
de los números a2 , a1 , a0 satisface:
.
¶
.
¶
.
3. Si consideramos la matriz

−10
2
2 100
A=
4 10

4
10 
120
(a) B T (Z − BA) = 0.
(b) AT (Z − AB) = 0.
y la forma cuadrática xT³Ax,´ existe un cambio ory1
togonal de coordenadas yy2 = y = P x tal que la
3
forma cuadrática resulta:
no .parcial
(c) B T BA = Z.
(d) Ninguna de las otras opciones.
Apellido, Nombre
Firma