PARTE VERDADERO O FALSO. De las afirmaciones

PARTE VERDADERO O FALSO.
De las afirmaciones siguientes usted deber decir si cada una de las mismas es verdadera o falsa.
Respuesta correcta
= 1 punto.
Respuesta incorrecta
= -1 punto.
No responde
= 0 puntos.
1. Sea A una matriz real con el cero como uno de sus
valores propios. Entonces rangoA < n.
9. Sea v un vector propio de T asociado al valor propio
0 < |λ| < 1, entonces limn→+∞ ||T n v|| = 0.
2. La matriz ( α2 α2 ) es diagonalizable para todo α ∈ R.
10. Si v1 , . . . , vn forman una base ortonormal de vectores
propios de T se cumple que tambien forman una base
de vectores propios de T ∗ .
³ 900 102 98 ´
11. Dada A = 55 840 55 sus valores propios cumplen
80 100 20
0 ≤ |λ| ≤ 1200.
3. Si dos matrices n × n A y B cumplen que det A =
det B entonces son semejantes.
4. Dadas S, T : V → V donde V es un espacio con producto interno, si S y T conmutan entonces también
conmutan S ∗ y T ∗ .
5. Dado T : V → V donde V es un espacio con producto interno, si el subespacio S es invariante por T
entonces S ⊥ es invariante por T ∗ .
6. Sean V un espacio vectorial complejo y T : V → V
una transformación autoadjunta. Para todo α ∈ C
se cumple que αT es autoadjunta.
7. Sean {v1 , . . . , vn } una base de un espacio vectorial
con producto interno y k < n. Si S es el subespacio
generado por {v1 , . . . , vk } entonces S ⊥ está generado
por {vk+1 , . . . , vn }.
¡
¢
8. Dada la matriz A = 11 −1
se cumple que la matriz
1
³ iπ
´
2
T
0
e
A
A es unitaria.
− iπ
0
e
12. Si T es autoadjunto todo valor propio de T cumple
que sus multiplicidades algebraicas y geométricas coinciden.
13. Una rotación en R3 de eje Oy y ángulo 180o no posee
una base de vectores propios.
14. La forma cuadrática x2 + y 2 + 2xy no es definida
positiva en R2 .
15. Si v 6= 0 cumple hT v, wi = hv, wi para todo w entonces v es vector propio de T .
16. Si los valores propios de T son ei2jπ/4 , j = 1, . . . , 4
y existe una base ortonormal de vectores propios de
T entonces T es autoadjunto.
2
no .parcial
Apellido, Nombre
Firma
PARTE MULTIPLE OPCION
De los siguientes ejercicios con cuatro opciones solo una de las mismas es correcta.
Respuesta correcta
= 4 puntos.
Respuesta incorrecta = -1 punto.
No responde
= 0 puntos.
1. Dado α ∈ R consideramos la matriz
³ 1 α 0´
A= α10
(a) La forma cuadrática es definida positiva si
a2 + b2 < 1.
0 1 1
indique cual de las opciones es correcta.
(b) La forma cuadrática es definida positiva si
a2 + b2 > 1.
(a) La matriz A es diagonalizable para todo valor
de α.
(c) La forma cuadrática es definida positiva si
a2 + b2 ≤ 1.
(b) La matriz A es diagonalizable para todo valor
α ≥ 0.
(d) La forma cuadrática es definida positiva si
a2 + b2 ≥ 1.
(c) Si α 6= 0 entonces A es diagonalizable.
(d) Para ningun valor de α es diagonalizable la matriz A.
2. Sea V = {f : R → R, f continua} con el producto
p
R1
interno hf, gi = −1 f (s)g(s)ds. Si ||f || = hf, f i
cuales son los valores de a y b que minimizan
||t2 − t − at − b||2 .
5. Dado α un número real , en R3 con el producto
interno usual consideramos la transformación T :
R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (x + αy, x + z, αy + z).
En que caso T es autoadjunta?
(a) Para todo valor de α.
(a) a = −2/3, b = 2/3.
(b) a = 3/2, b = 1/6.
(b) Para ningun valor de α.
(c) a = −1, b = 1/3.
(c) Cuando α = 1.
(d) a = 2, b = −1.
(d) Cuando α = −1.
3. Dados los parámetros reales a y b consideramos la
matriz
µa 1 0 0¶
A = 10 a0 0b 02 .
0 0 0 b
En cuales de los siguientes casos A es diagonalizable.
(a) Para cualquier valor de a y b.
(b) Para todo valor de b y a = b − 1.
(c) Para todo valor de b y a = b + 1.
(a) t.
(d) Para ningun valor de a y b.
(b) t2 + t, 2t2 + 2t.
3
4. Dados a y b consideramos en R la forma cuadrática
2
2
6. Sean T : P2 → R3 la transformación definida por
T (p) = (p(−1), p(0), p(1)) y h , i el producto interno usual en R3 . Definimos un producto interno
[ , ] en P2 como [p, q] = h T (p), T (q)i.
Si S es el subespacio generado por los vectores t2 −t y
−t2 + 1, entonces el subespacio S ⊥ , para el producto
[ , ], está generado por:
2
x + y + z + 2axz + 2byz.
(c) t2 , t2 − 1.
(d) t2 .
Cual de las siguientes afirmaciones es correcta:
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. Dada una matriz compleja A = (aij ) ∈ Mn×n (C), sean
X
|aij | y Ci = {z ∈ C : |z − aii | ≤ ri }.
ri =
j6=i
Probar, dando todos los detalles que si λ es valor propio de A entonces λ ∈ ∪i Ci .
2. Probar que si las matrices A y B son semejantes entonces rangoA=rangoB.
Mostrar que el recı́proco es falso.