LISTA DE RESULTADOS IMPORTANTES ´ALGEBRA II

LISTA DE RESULTADOS IMPORTANTES
ÁLGEBRA II
2015
Esta es una lista de resultados importantes de la materia, lo que no significa que sea lo único que tienen que
estudiar del teórico. El examen final en la parte teórica solicitará el enunciado de alguno de estos resultados
con sus demostraciones, o parte de ellos.
1. Las definiciones dadas en cada uno de los temas vistos en el curso.
2. Si A es la matriz m × n asociada a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con m¡n, entonces
el sistema AX=0 tiene solución no trivial. Si A es una matriz n × n, las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
a) A es invertible.
b) A es equivalente por filas a la matriz identidad.
c) A es producto de matrices elementales.
d ) El sistema lineal homogéneo AX = 0 tiene única solución X = 0.
e) El sistema lineal AX=Y tiene solución para todo Y matriz n × 1.
f ) det A es distitnto de 0.
3. Propiedades que vinculan el producto punto y el producto vectorial en R3 .
4. Áreas y volúmenes en términos del producto vectorial en R3 .
5. Todo subespacio de un espacio vectorial es espacio vectorial.
6. La suma de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.
7. Todas las bases de un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores tiene igual cantidad
de elementos.
8. Teorema de la dimensión de la suma de dos subespacios vectoriales.
9. Dadas dos bases B y B de un espacio vectorial existe una matriz invertible P tal que [α]B = P [α]B0 y
[α]B0 = P [α]B .
10. Dados dos espacios vectoriales V y W y bases ordenadas previamente fijadas en cada uno de ellos,
entonces existe una única transformación lineal que manda los elementos de la base ordenada de V en
los de la base ordenada de W .
11. El núcleo y la imagen de una transformación lineal son subespacios del espacio de partida y del de
llegada respectivamente.
12. Teorema de la dimensión: si T es una transformación lineal, dim V = dim Nu T + dim Im T.
13. Si T es una transformación lineal de V en W y dim V = dim W , son equivalentes:
a) T es un isomorfismo
b) T es inyectiva
c) T es sobreyectiva
d ) Nu T = {0}
e) Im T = W
f ) Dada una base de V , la imagen de sus elementos es una base de W .
14. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K de dimensión n, entonces V es isomorfo a Kn .
15. Teorema de cambio de bases de una transformación lineal.
16. Formas equivalentes de establecer que k es un autovalor de una trasformación lineal.
17. Los autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes. Si la transformación
lineal tiene tantos autovalores como la dimensión del espacio vectorial, entonces es diagonalizable.
18. Si W es un subespacio de un espacio vectorial V con producto interno, entonces V = W ⊕ W ⊥ .
19. Una matriz A es simétrica si y sólo si A es diagonalizable.