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Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 1 Esta tarea es para entregar veirnes, el 2 de agosto al inicio de clase (10:00am). No aceptaré tareas después de esa hora. Es permitido discutir estos problemas con compa neros o con otros estudiantes, pero usted debe argumentar cada solución con sus propias palabras. Para todos estos problemas, una variable como x, y, etcétera denota un número real. Problema 1: Para la desigualdad abajo, encuentre el conjunto de soluciones para x y escríbalo como una combinación de intervalos y puntos. 1 1 + > 0. x x+1 Problema 2: Otra desigualdad para resolver, esta vez con un valor absoluto: |x − 1| + |x + 1| ≤ 4. Problema 3: Demuestre que para todos números reales a y b, 2ab ≤ a2 + b2 . Problema 4: Demuestre la Desigualdad Cauchy-Schwartz: para todos números reales x1 , x2 , y1 , y y2 , q q x1 y1 ≤ x21 + x22 y12 + y22 . Ayuda: Una manera es primero cuadrar cada lado (¿por qué se puede hacer esto?) y luego aplicar el resultado del Problema 3. Problema 5: ¿ Existe una función f : R → R (con dominio todo R) que es simultaneamente par y impar? ¿Existe más de una función así? Explique. Problema 6: Supongamos que f : R → R es una función impar, y sea g = f ◦ f . ¿Es la función g par, impar, o ningún de los dos? Problema 7: Escriba su propia pregunta acerca de los temas de esta semana (las desigualdades, los sistemas de números, las funciones) y intente dar una respuesta. 1
