Soluciones a los ejercicios de la hoja 2

Soluciones a los ejercicios de la hoja 2
Ejercicio 1.
Ejercicio 4. ¿Es inyectiva?
(a) R \ {2, 3}.
(a) Sí. f −1 (y) =
(b) (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
).
(b) No. f ( 47 ) = f ( 2π+4
7
√
(c) Sí. f −1 (y) = 3 y − 2 − 1.
h
(c) −1, √12 ∪
i
√1 , 1
2
.
(d) Sí. f −1 (y) =
y+4
.
7
−(y−2)
.
y−1
(d) (0, e) ∪ (e, +∞).
(e) No. f (1) = f (2).
(e) (0, 1) ∪ (1, 5].
(f) No. f (2) = f ( 21 ).
(g) Sí. f −1 (y) = − log y.
(f) (0, 1).
(h) Sí. f −1 (y) = ey − 1.
Ejercicio 2. (a) impar; (b) par; (c) par; (d) par.
Ejercicio 3.
Ejercicio 6. (a) −3; (b) −6; (c)
(f) 21 .
1
√
;
2 2
(d) 43 ; (e) 12 ;
Ejercicio 7.
−1
Si f y g son impares: f + g es impar, f · g es (a) √
; (b) 9; (c) 0; (d) 2; (e) 1; (f) 0; (g) +∞; (h)
2
par y f ◦ g es impar.
0; (i) -1; (j) 1; (k) −∞;
Si f es par y g impar: f + g no es nada, f · g (`) no existe:
lı́m+ f (x) = 1.
es impar y f ◦ g es par.
lı́m f (x)
x→1−
=
−1 mientras que
x→1
Ejercicio 8.
(a) Continua en R \ {−2, 2}. Observar que tanto numerador como denominador se anulan en x = 2 (por
tanto, hay cancelación y la función se puede “arreglar” en x = 2). Sin embargo, en x = −2, solo se
anula el denominador (no podemos “arreglar” la función en x = −2).
(b) Continua en todo R salvo en los puntos x ∈ Z.
(c) Continua en R \ {2, 6}.
(d) Continua en R \ {0}.
(e) Continua en R \
n
π/2+kπ−2
3
o
|k∈Z .
(f) Continua en (−∞, 2] ∪ [3, +∞).
(g) Continua en (2, +∞).
(h) Continua en ( 38 , +∞).
(i) Si a = 0 o a = 2, la función es continua en todo punto. Para cualquier otro valor de a, la función es
discontinua en x = a (y continua en el resto de puntos).
(j) Continua en todo R. Observar en particular que lı́m− f (x) = lı́m+ f (x).
x→π
Ejercicio 9. k = 3.
x→π